Quelques corrigés dexercices des feuilles 5 et 6
2011-2012. Quelques corrigés d'exercices des feuilles 5 et 6. Calculer l'intégrale double. ??. R xcos(x + y) dxdy R région triangulaire de som-.
INTÉGRALES DOUBLES
dx dy sur D = {(xy) ? R2
Corrigé de la feuille TD N?4 - semaine du 17/03/2008 (les énoncés
Exercice 2. (calculer une intégrale double sur un triangle). Soit ? le domaine de R2 bordé par le triangle dont les sommets sont les points A
Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques
Annexe C. Annales 2011-2012 Texte et corrigé de l'examen de session 1 Exercice 20 (calcul d'intégrales doubles par changement de variables
Intégrales doubles
16-Oct-2015 Calculer l'aire intérieure délimitée par cette courbe. Intégrales doubles sur un produit d'intervalles. Exercice 41 [ 02919 ] [Correction].
Exercices sur les intégrales doubles.
2012/2013. Semestre de printemps. Université Lyon I. Calcul différentiel et intégral. Exercices sur les intégrales doubles. Exercice 1. Calculer.
Intégrales curvilignes intégrales multiples
Exercice 2 **. Soit ? = x2dx+y2dy. Calculer l'intégrale de ? le long de tout cercle du plan parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Même question avec ?
examens-corriges-integrales-multiples.pdf
Examen corrigé. François DE MARÇAY Exercice 1. (a) Avec : ... (b) Avec un paramètre réel ? > 0 on introduit l'intégrale double : I?(?) :=.
Corrigé des concours et propositions de concours national daccès
idée sur la manière de traité ce genre d'intégrale double. Pour répondre aux question no 1 et no 2 de cet exercice nous nous intéresserons.
Calculs
27-Apr-2010 Exercice ƒ : intégrales doubles et triples. [17 points]. 1. [2 points] Soit la plaque homogène représentée dans la figure 13a.
Calculs d’intégrales - CNRS
Feuille de TD no 2 : Primitives et intégrales (CORRIGÉ) Version provisoire à véri?er — Calculs d’intégrales Exercice 1 Calculer les intégrales suivantes I 1 = ? 2 1 3 x2 + 3 x2 4 dx Primitives : ? 3 x2 + 3 x2 4 dx = ? (x2 +3x?2)dx = x3 3 +3 x?1 ?1 +C = 1 3 x3 ? 3 x +C (C œ R) Intervalles de dé?nition : ]?Œ0
Intégrales doubles [Correction] - Tissemsilt electronics
Exercice 13 [ 01951 ] [Correction] Calculer I= ZZ D cos(x2 + y2)dxdy oùDestledisq?entreOetderayonR Exercice 14 [ 01952 ] [Correction] Calculer ZZ D sin(x2 + y2)d d oùDdésigneledisq?entreOetderayon ? ? Exercice 15 [ 01953 ] [Correction] Calculer I= ZZ D x2 + y2 x+ p x2 + y2 dx y oùDestlequartdedisqueunitéinclusdansR+ ×R+
Intégrales doubles et triples - M— - univ-toulousefr
l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples 2) Deuxième Décomposition • D un domaine borné de IR2 de frontière ?D intersectée au plus en deux points par toute droite d’équation y=cte
TD n 4 : Int egrales doubles - Cergy-Pontoise University
Exercice 2 Calculer I= ZZ D dxdy (x+ y)3 ou D= f(x;y) 2R2; x 1; y 1; x+ y 3g Exercice 3 Calculer I= ZZ D ln(1 + x2 + y)dxdy ou D= f(x;y) 2R2; x 0; y 0; x2 + y 1g Exercice 4 Pour chacune des int egrales suivantes repr esenter graphiquement le domaine d’int egration
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Corrigé de l’exercice 2 1 On calcule en faisant deux intégrations successives : ZZ D dxdy (1 + x 2)(1 + y ) = Z 1 0 1 1 + x2 Z x 0 dy 1 + y2 dx = Z 1 0 1 1 + x2 arctan(y) x 0 dx = Z 1 0 arctan x 1 + x2 dx: Cette intégrale est du type R u0u où u(x) = arctan x donc se primitive en 1 2 u2: ZZ D dxdy (1 + x2)(1 + y2) = " 1 2 (arctan x)2 # 1
I : Incontournable
Exercice 1**Calculer l" intégrale de la forme différentiellewle long du contour orientéCdans les cas suivants :
1.w=xx
2+y2dx+yx
2+y2dyetCest l"arc de la parabole d"équationy2=2x+1 joignant les points(0;1)et
(0;1)parcouru une fois dans le sens desycroissants.2.w= (xy3)dx+x3dyetCest le cercle de centreOet de rayon 1 parcouru une fois dans le sens direct.
3.w=xyzdxetCest l"arcx=cost,y=sint,z=costsint,tvariant en croissant de 0 àp2
trigonométrique. Même question avecw=y2dx+x2dy.1.I=ZZ
D2.I=ZZ
[1;1]2jx+yjdxdy.3.I=ZZ
D xy dxdyoùDest la partie du plan limitée par les paraboles d"équations respectivesy=x2et x=y2.4.I=ZZ
x2+y26111+x2+y2dxdy.
5.I=ZZ
x6x2+y261dxdy(1+x2+y2)2.6.I=ZZZ
06x6y6z61xyzdxdydz.
7.I=ZZZ
px+py+pz61zdxdydz.R+¥
0sinxx
dx). 11.retRsont deux réels strictement positifs tels quer w=eyx 2+y2((xsinxycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy)
le long de ce contour orienté. 2. En déduire
RR rsinxx dxen fonction d"une autre intégrale. 3. En f aisanttendre rvers 0 etRvers+¥, déterminer la valeur deR+¥ 0sinxx
dx. Calculer l"aire du domaineD=f(x;y)2R2=2p1x6y262p2xet 2q2y6x262q2yg. y2+34 z2+xz=1. longueur etAl"aire délimitée par la courbe fermée(C). Montrer que A6L24p.
Pourcela, onsupposeratoutd"abordL=2petonchoisirauneparamétrisationnormaledel"arc. Onappliquera ensuite la formule de PARSEVALaux intégrales permettant de calculerLetAet on comparera les sommes des séries obtenues. CalculerI=ZZ
x 2a 2+y2b 261(x2y2)dxdy.
Correction del"exer cice1 N1.Cest l"arc paramétrét7!t212 ;t ,tvariant en croissant de1 à 1. Z C w=Z 1 10 B @(t21)=2 t212 2+t2t+t
t212 2+t21 C Adt =0(fonction impaire): R Cw=2ln2.2.
Z C w=Z 2p 0((costsin3t)(sint)+cos3t(cost))dt=Z
2p 0(cos4t+sin4tcostsint)dt
Z 2p 0((cos2t+sin2t)22cos2tsin2tcostsint)dt=Z
2p 0 1sin(2t)2
sin2(2t)2 dt Z 2p 0 1sin(2t)2
14 (1cos(4t)) dt=2p 114
=3p2 R Cw=3p2
.3. Z C w=Z p=2 0(costsintcostsint)(sint)dt=Z
p=2 0cos2tsin3t dt
Z p=2 0(cos2tsint+cos4tsint)dt=cos3t3
cos5t5 p=2 0 =13 +15 =215 R Cw=215
en déduit quewest exacte surR2d"après le théorème de SCHWARZ. Par suite, l"intégrale dewle long
de tout cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique est nulle. quewn"est pas exacte surR2. L"intégrale dewle long d"un cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique n"est plus nécessairement nulle. On parcourt le cercleCle cercle de centre(a;b)et de rayonR>0 une fois dans le sens trigonométrique
ou encore on considère l"arc paramétrég:t7!(a+Rcost;b+Rsint),tvariant en croissant de 0 à 2p.
4 Z g w=Z 2p 0(b+Rsint)2(Rsint)+(a+Rcost)2(Rcost)dt
=RZ 2p =R2Z2p 0(2acos2t2bsin2t+R(cos3tsin3t))dt
=R2Z2p =R2Z2p 0(ab+R(costsint)(1+costsint))dt
=R2 2p(ba)+Z
2p 0R(costsint+cos2tsintcostsin2t)dt
=2pR2(ba):Correction del"exer cice3 N1.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=x61;y61;x+y>1g.1 1I=ZZ D (x+y)dxdy=Z 1 0 Z1 1x(x+y)dy
dx(ou aussiZ 1 0 Z1y 0(x+y)dx
dy) Z 1 0 xy+y22 y=1 y=1xdx=Z 1 0 x+12 x(1x)(1x)22 dx Z 1 0 x22 +x dx=16 +12 =23 ZZ D (x+y)dxdy=23 .2.Si on pose pour (x;y)2=mbr2,f(x;y)=jx+yjalors pour tout(x;y)2R2,f(x;y)=f(x;y)ou encore fprend les mêmes valeurs en deux points symétriques par rapport àO. Puisque le pointOest centre de
symétrie de[1;1]2, on en déduit que 5 I=ZZ 16x;y61;x+y>0f(x;y)dxdy+ZZ
16x;y61;x+y60f(x;y)dxdy
=2ZZ 16x;y61;x+y>0(x+y)dxdy=2Z
1 1 Z1 x(x+y)dy dx =2Z 1 1 xy+y22 y=1 y=xdx=2Z 1 1 x+12 +x2x22 dx =212 23
+12 2 =83 ZZ [1;1]2jx+yjdxdy=83 .3.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=06x61;06y61;x26y6pxg.1 2 3 412 12 1 2I=Z 1 0 Zpx x 2y dy x dx=Z 1 0xy22 y=px y=x2dx=12 Z 1 0x(xx4)dx=12
13 16 112
4. En passant en polaires, on obtient
I=ZZ x 2+y26111+x2+y2dxdy=ZZ
06r61;06q62p11+r2rdrdq
Z1 0r1+r2dr
Z2p 0dq (intégrales indépendantes) =2p12 ln(1+r2) 1 0 =pln2: ZZ x 2+y26111+x2+y2dxdy=pln2.5.Posons D=f(x;y)2R2=x6x2+y261g. Puisquex6x2+y2,x12
2+y2>14
,Dest l"intersection de l"intérieur du disque de centreOet de rayon 1, bord compris, et de l"extérieur du disque de centre12
;0et de rayon12 , bord compris. SoitMun point du plan. On note(r;q)un couple de coordonnées polaires deMtel quer>0 etq2[0;2p]. 6 M2D,rcosq6r261,r=0 ou(0cosq.11
1 1En passant en polaires, on obtient
I=2ZZ x6x2+y261;y>01(1+x2+y2)2dxdy=2 Zp=2 0 Z1 cosqr(1+r2)2dr dq+Z p p=2 Z1 0r(1+r2)2dr
dq =2 Zp=2 0 12(1+r2)dr
1 cosqdq+Z p p=2 12(1+r2)dr
1 0 dq! Z p=2 0 11+cos2q12
dq+Z p p=212 dq=Z p=2 011+cos2qdq
Z p=2 011 cos 2q+1dqcos
2q=Z p=2 012+tan2qd(tanq) =Z
01t 2+2dt=1p2
arctantp2 0 =p2 p2 RR x6x2+y2611(1+x2+y2)2dxdy=p2 p2 .6. I=ZZZ 06x6y6z61xyzdxdydz=Z
1 0 Z1 xquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30
2+y2((xsinxycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy)
le long de ce contour orienté. 2.En déduire
RR rsinxx dxen fonction d"une autre intégrale. 3. En f aisanttendre rvers 0 etRvers+¥, déterminer la valeur deR+¥0sinxx
dx. Calculer l"aire du domaineD=f(x;y)2R2=2p1x6y262p2xet 2q2y6x262q2yg. y2+34 z2+xz=1. longueur etAl"aire délimitée par la courbe fermée(C). Montrer queA6L24p.
Pourcela, onsupposeratoutd"abordL=2petonchoisirauneparamétrisationnormaledel"arc. Onappliquera ensuite la formule de PARSEVALaux intégrales permettant de calculerLetAet on comparera les sommes des séries obtenues.CalculerI=ZZ
x 2a 2+y2b261(x2y2)dxdy.
Correction del"exer cice1 N1.Cest l"arc paramétrét7!t212 ;t ,tvariant en croissant de1 à 1. Z C w=Z 1 10 B @(t21)=2 t2122+t2t+t
t212 2+t21 C Adt =0(fonction impaire): RCw=2ln2.2.
Z C w=Z 2p0((costsin3t)(sint)+cos3t(cost))dt=Z
2p0(cos4t+sin4tcostsint)dt
Z 2p0((cos2t+sin2t)22cos2tsin2tcostsint)dt=Z
2p 01sin(2t)2
sin2(2t)2 dt Z 2p 01sin(2t)2
14 (1cos(4t)) dt=2p 114=3p2 R
Cw=3p2
.3. Z C w=Z p=20(costsintcostsint)(sint)dt=Z
p=20cos2tsin3t dt
Z p=20(cos2tsint+cos4tsint)dt=cos3t3
cos5t5 p=2 0 =13 +15 =215 RCw=215
en déduit quewest exacte surR2d"après le théorème de SCHWARZ. Par suite, l"intégrale dewle long
de tout cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique est nulle. quewn"est pas exacte surR2. L"intégrale dewle long d"un cercle parcouru une fois dans le sens trigonométrique n"est plus nécessairement nulle.On parcourt le cercleCle cercle de centre(a;b)et de rayonR>0 une fois dans le sens trigonométrique
ou encore on considère l"arc paramétrég:t7!(a+Rcost;b+Rsint),tvariant en croissant de 0 à 2p.
4 Z g w=Z 2p0(b+Rsint)2(Rsint)+(a+Rcost)2(Rcost)dt
=RZ 2p =R2Z2p0(2acos2t2bsin2t+R(cos3tsin3t))dt
=R2Z2p =R2Z2p0(ab+R(costsint)(1+costsint))dt
=R22p(ba)+Z
2p0R(costsint+cos2tsintcostsin2t)dt
=2pR2(ba):Correction del"exer cice3 N1.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=x61;y61;x+y>1g.1 1I=ZZ D (x+y)dxdy=Z 1 0 Z11x(x+y)dy
dx(ou aussiZ 1 0 Z1y0(x+y)dx
dy) Z 1 0 xy+y22 y=1 y=1xdx=Z 1 0 x+12 x(1x)(1x)22 dx Z 1 0 x22 +x dx=16 +12 =23 ZZ D (x+y)dxdy=23 .2.Si on pose pour (x;y)2=mbr2,f(x;y)=jx+yjalors pour tout(x;y)2R2,f(x;y)=f(x;y)ou encorefprend les mêmes valeurs en deux points symétriques par rapport àO. Puisque le pointOest centre de
symétrie de[1;1]2, on en déduit que 5 I=ZZ16x;y61;x+y>0f(x;y)dxdy+ZZ
16x;y61;x+y60f(x;y)dxdy
=2ZZ16x;y61;x+y>0(x+y)dxdy=2Z
1 1 Z1 x(x+y)dy dx =2Z 1 1 xy+y22 y=1 y=xdx=2Z 1 1 x+12 +x2x22 dx =212 23+12 2 =83 ZZ [1;1]2jx+yjdxdy=83 .3.Représentons le domaine D=f(x;y)2R2=06x61;06y61;x26y6pxg.1 2 3 412 12 1 2I=Z 1 0 Zpx x 2y dy x dx=Z 1 0xy22 y=px y=x2dx=12 Z 1
0x(xx4)dx=12
13 16 1124.
En passant en polaires, on obtient
I=ZZ x2+y26111+x2+y2dxdy=ZZ
06r61;06q62p11+r2rdrdq
Z10r1+r2dr
Z2p 0dq (intégrales indépendantes) =2p12 ln(1+r2) 1 0 =pln2: ZZ x2+y26111+x2+y2dxdy=pln2.5.Posons D=f(x;y)2R2=x6x2+y261g. Puisquex6x2+y2,x12
2+y2>14
,Dest l"intersectionde l"intérieur du disque de centreOet de rayon 1, bord compris, et de l"extérieur du disque de centre12
;0et de rayon12 , bord compris. SoitMun point du plan. On note(r;q)un couple de coordonnées polaires deMtel quer>0 etq2[0;2p]. 6M2D,rcosq6r261,r=0 ou(0cosq.11
1 1En passant en polaires, on obtient
I=2ZZ x6x2+y261;y>01(1+x2+y2)2dxdy=2 Zp=2 0 Z1 cosqr(1+r2)2dr dq+Z p p=2 Z10r(1+r2)2dr
dq =2 Zp=2 012(1+r2)dr
1 cosqdq+Z p p=212(1+r2)dr
1 0 dq! Z p=2 011+cos2q12
dq+Z p p=212 dq=Z p=2011+cos2qdq
Z p=2 011 cos2q+1dqcos
2q=Z p=2012+tan2qd(tanq) =Z
01t2+2dt=1p2
arctantp2 0 =p2 p2 RR x6x2+y2611(1+x2+y2)2dxdy=p2 p2 .6. I=ZZZ06x6y6z61xyzdxdydz=Z
1 0 Z1 xquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30[PDF] intégrale double exemple
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