[PDF] Corrigé de la feuille TD N?4 - semaine du 17/03/2008 (les énoncés

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Université de Nice Sophia AntipolisL1 Sciences économiques - GestionMathématiques 2(DL1EMA2)-Unité U5

Année 2007/2008

Enseignant: J. YAMEOGO

Chargés de TD: F. BARKATS, F.-X. DEHON, J. YAMEOGO Corrigé de la feuille TD Nř4 -semaine du 17/03/2008 (les énoncés sont en bleu) Exercice 1. (calculer et majorer une intégrale double sur unrectangle) On considère dansR2le rectangleD={(x, y)?R2/0?x?1,-1?y?1}et la fonction f:D ?Rdéfinie parf(x, y)=x-y+1⎷. a) Expliquer pourquoifest bien définie et continue surD. b) Montrer que pour tout(x, y)?Don af(x, y)<74 c) CalculerI=? ? D f(x, y)dxdy. d) Expliquer pourquoi on aI <72

Solution:

a) On a1?x+1?2et-1?-y?1. En additionnant ces deux inégalités on trouve0?x-y+1?3, ce qui entraîne quex-y+1⎷ est bien définie sur le rectangle en question. fest la composéef2◦f1des fonctions continuesf1:D ?R+etf2:R+?R+définies par: f

1(x, y)=x-y+1,f2(t)=t⎷

fest donc continue en tant que composée de fonctions continues. b) De l"inégalité0?x-y+1?3, il vient que pour tout(x, y)?D, on a0?f(x, y)?3⎷ (car la fonction racine carrée est croissante surR+). Il nous suffit maintenant de vérifier que

3⎷

<74. Ce qui revient à prouver (après élévation au carré), que3<4916. Cette dernière inéga-

lité est évidente car 49
16 =3+1 16. c) Pour calculer l"intégraleI=? ? D f(x, y)dxdy, on utilise le théorème de Fubini: I=? -11 01 x-y+1⎷ dx? dy. On trouveI=4

15(9 3⎷-4 2⎷-1).

d) Sur le rectangleDon a0?f(x, y)<74 (d"après la question b)).

D"où0?I D74 dxdy=74×2=72. 1

Exercice 2. (calculer une intégrale double sur un triangle)SoitΔle domaine deR2, bordé par le triangle dont les sommets sont les pointsA,B, etCde

coordonnées respectives(0,-1),(3,1)et(0,1). a) La droite joignant les pointsAetBadmet une équation ayant l"une des formes suivantes: x=αy+βouy=ax+b(α,β,aetbsont des réels). Donner explicitement une de ces équations (en trouvantαetβouaetb). b) Calculer l"intégraleI=? ? xy2dxdy.

Solution:

a) Les coordonnées du pointAvérifient l"équationx=αy+βsi et seulement si0 =-α+β.

De même les coordonnées du pointbvérifient l"équationx=αy+βsi et seulement si

3=α+β.

Pour trouverαetβil nous suffit de résoudre le système de deux équations à deux inconnues?-α+β=0

α+β=3.

On trouve facilement que ce système admet pour unique solution(α, β)=(32 ,32). La droite joignant les pointsAetBadmet donc pour équationx=32 y+32.

Cette droite admet aussi pour équationy=23

x-1. b) Nous avonsΔ=? (x, y)?R2/-1?y?1,0?x?32 y+32

Poury?[-1,1]fixé, posonsI(y)=?

032
y+32 xy2dx. Par le théorème de Fubini nous obtenonsI=? ? xy2dxdy=? -11

I(y)dy.

On a? 032
y+32 xy2dx=y2?12x2? 032
y+32 =98y2(y+1)2. On en déduitI=98 -11 (y4+2y3+y2)dy. Comme -11 y3dy=0(pour raison de parité), on aI=2×98 01 (y4+y2)dy.

Il ne reste plus qu"à calculer?

01 (y4+y2)dypour conclure. 01 (y4+y2)dy=?15 y5+13y2? 01 =15+13=8 15.

Conclusion:I=65

2 Exercice 3. (dessiner un domaine et calculer une intégrale double dessus) Dans le planR2muni d"un repère orthonormé, on considère le domaineDdéfini par D=? (x, y)?R2/-2?y?2,12 y-1?x?y2? a) Dessiner ce domaine et calculer son aire. b) Soitf:D ?Rdéfinie parf(x, y)=x+y. Calculer l"intégraleI=? ? D f(x, y)dxdy.

Solution:

a)Dest le domaine délimité par les deux droites horizontales d"équationy=-2,y= 2, la droite oblique d"équationx=12 y-1et la parabole d"équationx=y2.

On obtient le dessin suivant:

Calculer l"aire du domaineDrevient par exemple à calculer? ? D dxdy(intégrale double surDde la fonction constante(x, y) ?1). On obtient, par la définition même deD, aire(D)=? -22 (y2-(12 y-1))dy=2? 02 (y2+1)dy(pour des raisons de parité).

D"oùaire(D)=2?13

y3+y? 02 =28

3unités d"aire.

b) La fonctionfest polynomiale, donc continue surDqui est fermé borné.

En utilisant le théorème de Fubini on aI=?

-22 1 2 y-1y 2 (x+y)dx? dy.

PosantI(y)=?

1 2 y-1y 2 (x+y)dx, on trouveI(y)=?12 x2+xy? x=12 y-1x=y2 =12y4+y3-58y2+32y-12.

On en déduitI=?

-22

I(y)dy=2?

02 (12 y4-58y2-12)dy(pour des raisons de parité des termes de

I(y)). Reste donc à calculer?

02 (12 y4-58y2-12)dy.

On obtient?

02 (12 y4-58y2-12)dy=?1

10y5-5

24y3-12y?

02 =3210-4024-1=8 15.

Conclusion:I=1615

3 Exercice 4. (dessiner un domaine et choisir judicieusementun ordre d"intégration) SoitDle domaine du planR2formé des couples(x, y)vérifiant le système:?|y-2|?1 (x-1)(x-y)?0. DessinerDet calculer l"intégraleI=? ? D e(3-x)2dxdy. Solution: L "inégalité|y-2|?1équivaut à-1?y-2?1, c"est-à-dire1?y?3. De même l"inégalité(x-1)(x-y)?0équivaut à???(x-1?0)et(x-y?0) ou (x-1?0)et(x-y?0). En traçant les quatre droites d"équations respectivesy= 1,y= 3,x= 1etx=y, les différentes

inégalités nous permettent de voir queDest le triangle fermé dont les sommets ont pour coordon-

nées(1,1),(3,3)et(1,3),illustré ci-dessous: On peut ainsi écrire:D=?(x, y)?R2/1?x?3,x?y?3?. En utilisant le théorème de Fubini on obtient I=? 13 x3 e(3-x)2dy? dx=? 13 e(3-x)2(3-x)dx=-12 e(3-x)2?

13=e4-1

2 4 Exercice 5. (un changement de variables en coordonnées polaires)

On considère dans le plan muni d"un repère orthonormé, les deux cercles concentriquesΓ1etΓ2

de centreω=(1,1)et de rayons respectifsR1=2etR2=3. SiCest la couronne fermée comprise entre ces deux cercles, on noteKla demi-couronne fermée située dans le demi-plan fermé défini parx?1.

DessinerKet calculerI=? ?

K xydxdy.(On pourra faire un changement de variables en posant: 2 2.) Solution: Pour dessiner le domaineK, il suffit de tracer les deux cercles concentriquesΓ1,Γ2et la droite d"équationx=1. SiMest un point de coordonnées(x, y)appartenant au domaineK, la distancer, deMau pointωde coordonnées(1,1)est comprise entre2et3. Si nous prenonsωcomme origine d"un nouveau repèreR?= (O?, i K, j

K), le vecteurωM=O?M

s"écrit de manière uniqueωM=r(cos(θ)i

K+sin(θ)j

K), avec-π

2?θ?π

2. Ceci justifie le changement

de variablesx=1+rcos(θ),y=1+rsin(θ)avec2?r?3et-π 2 2.

L"application?:[2,3]×?

2 2 ?Kdéfinie par?(r,θ)=(1+rcos(θ),1+rsin(θ))est bijective de classeC1et de jacobienr. En utilisant la formule de changement de variables dans les intégrales doubles puis le théorème de Fubini, on obtient I=? 23
2 2 (1+rcos(θ))(1+rsin(θ))×rdθ? dr. Tenant compte du fait que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire, on a? 2 2 0π

2=2r(π

2+r).

Nous avons doncI=?

23

2r(π

2 +r)dr=?23r3+π 2r2? 23
=38

3+5π

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