[PDF] Intégration etÉquations différentielles Licence Mathématiques

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Integration et

Equations dierentielles

Licence Mathematiques (Parcours Ing. Math.), UE

K1MA4021, exercices de TD et annales 2011-2013

Alain Yger

Institut de Math

ematiques, Universite Bordeaux 1, Talence 33405,

France

E-mail address:Alain.Yger@math.u-bordeaux1.fr

Version du 20 juin 2014.

R esume.Ce polycopie complete le polycopie de cours de l'UE K1MA4021 (Integration et Equations dierentielles). On y trouve une liste d'exercices proposes en TP (en 2011-2012) par Stanislas Kupin, ainsi que les corriges du DS et de deux sessions d'examen (annales 2011-2012, 2012-2013).

Table des matieres

Annexe A. Exercices proposes en TD (2011-2012) 1

Annexe B. Annales 2011-2012, Texte et corrige du DS 11 Annexe C. Annales 2011-2012, Texte et corrige de l'examen de session 1 17 Annexe D. Annales 2011-2012, Texte et corrige de l'examen de session 2 23 Annexe E. Annales 2012-2013, Texte et corrige du DS 33 Annexe F. Annales 2012-2013, Texte et corrige de l'examen de session 1 39 Annexe G. Annales 2012-2013, Texte et corrige de l'examen de session 2 51

Bibliographie 61

v

ANNEXE A

Exercices proposes en TD (2011-2012)

I. Exercices en relation avec le chapitre 1.

Rappel theorique(denition de l'integrale de Riemann1). Soient | un intervalle [a;b] ferme et borne; | une fonctionf: [a;b]!R; | une subdivision de l'intervalle [a;b] :a=x0< x1< ::: < xn1< xn=b, le diametre de la subdivision etant deni par diam =kk= maxi=1;n(xixi1) ; | un systeme denpoints intermediairesxi1ixi. On denit la somme de Riemann associee a la subdivision et aux points (i)i=1;npar : (f;;i) =nX i=1f(i)(xixi1): On dit que la fonctionfest Riemann integrable sur [a;b] si et seulement si il existe une valeurIftelle que : pour tout" >0, il existe">0 de sorte que, pour toute division aveckk< ", j(f;;i)Ifj< ":

Dans ce cas, on note

Rb af(x)dx=Ifet on l'appelle l'integrale de Riemann defsur [a;b].

Exercice1 (integrale et sommes de Riemann).

(1) Donner une interpretation geometrique des sommes de Riemann et de l'integrale de Riemann. (2) Calculer avec la denitionRb atndt. Exercice2 (integrale et sommes de Riemann).En utilisant les sommes de Riemann pour une fonction convenable a choisir, trouver les limites | lim n!1

1n+1+1n+2+:::12n

| lim n!1

1p4n212+1p4n222+:::+1p4n2n2

Exercice3 (integrale et sommes de Riemann).1. Voir aussi le cours d'Analyse 1 [anal1], chapitre 3. 1

2 A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012)

(1) Soitx >0. Montrer que la limite suivante existe : lim n!+1xn n1X p=0epxn (2) En deduire que Rx

0etdt=ex1 pourx >0 quelconque.

Exercice4 (integrale et sommes de Riemann).

(1) Etablir les egalites suivantes, oux2Retn >0 est un entier : nX p=1sinx2nsinpxn =12 cosx2ncos2n+ 12nx n X p=1sinx2ncospxn =12 sinx2n+ sin2n+ 12nx (2) Utiliser ces resultats pour etablir pourx >0 quelconque :Zx 0 sin(t)dt= 1cosx;Z x 0 cos(t)dt= sinx: Exercice5 (integration de fonctions continues).Montrer que toute fonction continuef: [a;b]!Rest Riemann integrable sur [a;b]. Exercice6 (une fonction qui n'est pas Riemann-integrable).Soitfla fonction de [0;1] dansR, denie parf(x) = 1 pour toutx2[0;1]\Qetf(x) = 0 sinon. Mon- trer quefn'est pas Riemann-integrable sur [0;1] (l'integrale de Lebesgue corrige en fait ce defaut, carfest Lebesgue integrable etRb af(t)dt= 0).

Exercice7 (lemme de Riemann-Lebesgue).

(1) Pourf2C1([a;b]), demontrer que limn!1R b af(t)sin(nt)dt= 0. (2) Demontrer le m^eme resultat pour une fonctionfcontinue sur [a;b]. Exercice8 (formule de Leibniz-Newton).Soitf: [a;b]!Rune fonction que l'on suppose Riemann-integrable sur [a;b]. On suppose aussi qu'elle admet une primitiveF: [a;b]!R(Fcontinue sur [a;b], derivable sur ]a;b[ etF0(x) =f(x) pour toutx2]a;b[). En utilisant le theoreme des accroissements nis, montrer que Z b a f(t)dt=F(b)F(a): Exercice9 (calcul de primitives).Calculer les primitives suivantes (fonctions de la borne superieure de l'integrale de Riemann) dans leur domaine de denition :Zxt1 +t2dt;Z xt4+x2+ 1t1dt;Z x1(t1)(t2)(t3)dt; Z x2t+ 1(t1)(t3)(t4)dt;Z x1t(t2+ 1)dt;Z x1(t1)2(t+ 1)dt; Z xt(t2+ 1)(t1)dt;Z xt2+ 2(t+ 1)3(t2)dt;Z x1 + sin(t)1 + cos(t)dt; Z xe2t+ete

3te2tet+ 1dt:

A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012) 3

Exercice10 (calcul de primitives).Calculer les primitives suivantes (fonctions

de la borne superieure de l'integrale de Riemann) dans leur domaine de denition :Zx1t(1 + ln(t))3dt;Z

xt7(1 +t4)2dt;Z x1t

2+a2dt(a2R):

La fonction ln designe ici (comme log) le logarithme neperien). Exercice11 (calcul d'integrales ou de primitives).Calculer les integrales denies ou les primitives suivantes (fonctions de la borne superieure de l'integrale de Riemann) :Z 2 jsin(t)jcos(t)dt;Z 5 e ln(t)dt; Z x t alog(t)dt;Z x e att3dt(a2R) Z x sin(ln(t))dt;(x >0)Z 2 0 cos(2t)sin(3t)dt;Z 2 0 cos(4t)cos(3t)dt; Z 2 0 (sin(t))6dt;Z 2 0 (cos(t))5dt;Z x arctan(t)dt Z =8 0 (t2+ 7t5)cos(2t)dt;Z x e tcos(t)dt: La fonction ln designe ici (comme log) le logarithme neperien). Exercice12 (calcul de primitives).Calculer les primitives suivantes (fonctions de la borne superieure de l'integrale de Riemann) dans leur domaine de denition :Z xt2t

2+ 1dt;Z

x sin(t2 )cos(t2 )dt;Z x11 + tanh(t)dt; Z x t

4(1 +t5)5dt;Z

xln(t)t dt; Z x cos(2t)(sin(2t))4dt;Z xsin(t)(cos(t))2dt;Z x1(sin(t))2(cos(t))2dt:

Exercice13 (calcul de primitives).

(1) Soitf(t) =t1t

22t+2. Determiner la primitive defqui s'annule enx= 2.

(2) M^eme question pourx=2. Exercice14 (theoremes de convergence monotone ou dominee (TCM et TCD) en une variable). (1) Soit, pour toutn2N,gnune fonction denie sur ]0;1] par les relations g n(x) =npourx2i 0;1n i ; g n(x) = 0 pourx2i1n ;1i Pour toutx2]0;1], posonsg(x) = limn!1gn(x). Calculerg. La convergence est-elle simple? monotone? uniforme? (2) Calculer lim n!1Z 1 0 g n(t)dt;Z 1 0 g(t)dt: Le TCD est-il applicable dans cette situation? Justiez votre reponse.

4 A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012)

(3) Soitf2C([0;1];R). Demontrer que lim n!1Z 1 0 f(x)gn(t)dt=f(0): Exercice15 (theoremes de convergence monotone ou dominee (TCM et TCD) en une variable). (1) Soit 0 <1 et f n(x) =In(x)1x pourx2]0;1]; ouIest la fonction indicatrice de l'intervalleIetIn= [1=(n+ 1);1=n].

Calculer

lim n!1Z 1 0 f n(t)dt:

Le TCD est-il applicable dans cette situation?

(2) M^emes questions pour= 1.

Exercice16 (calculs d'aires de domaines plans).

(1) Calculer les aires des regions planes ainsi decrites : n (x;y); 0x; xyx+ 1;y2o n (x;y); 0x; x3yx2o n (x;y) :x2yx3; y8o n (x;y) : 0y; x2+y21o (2) Calculer les aires de regions planes bornees ayant leur frontiere sur les courbes suivantes :

4y=x24xoux=y+ 3 ;y2= 10x+ 5 ouy2= 96x:

Exercice17 (calculs de volumes de regions bornees dansR3).Calculer les volumes des regions bornees dont les frontieres sont incluses dans les surfaces sui- vantes : fy=x2g [ fy= 1g [ fz= 0g [ fz=x2+y2g fjx+yj< =2g \ fjxyj< =2g fz= 0g [ fz= cosxcosyg n nx2+y2(n+ 1)o fz= 0g [ fz= sin(x2+y2)g (n2N) fx+y+z=ag [ f4x+y=ag [ f4x+ 3y= 3ag [ fy= 0g [ fz= 0g(a >0) fx2+y2=R2g [ fx+y+z=ag [ fx+y+z=ag(R >0;a >0): Exercice18 (sommes de Riemann pour les integrales doubles).Soienta;b >0, X= [0;a][0;b], et la partition (Xij)i;j=0;:::;n1deXdonnee par X ij=ian ;(i+ 1)an jbn ;(j+ 1)bn Soient (ij)i;j=0;:::;n1les centres desXij. Calculer les sommes de Riemann X i;jf(ij)vol2(Xij)

A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012) 5

et leur limite (lorsquentend vers l'inni)ZZ X f(x;y)dxdy dans les situations suivantes (x= (x1;x2)) : f(x) =px+qy8(x;y)2X(p;q2R); f(x) =xy8(x;y)2X; f(x) =ex+y8(x;y)2X: Exercice19 (calcul d'integrales triples).Calculer les integrales suivantes : (1) I 1=ZZ D (x+y)exeydxdy;ouD=(x;y)2R2;x;y0;x+y1 (2) I 2=ZZ D (x2+y2)dxdy;ouD=(x;y)2R2;x2+y2< x;x2+y2> y (3) I 3=ZZ

Dxy1 +x2+y2dxdy;ouD=(x;y)2[0;1]2;x2+y21

(4) I 4=ZZ

D1ycos(x) + 1dxdy;ouD= [0;2

][0;12 (5) I 5=ZZZ D z dxdydz;ouD=(x;y;z)2(R+)3;y2+z1;x2+z1 (6) I 6=ZZ D xy dxdy;ouD= (x;y)2R2;x;y >0;x2a 2+y2b 21
aveca;b >0. Exercice20 (calcul d'integrales doubles par changement de variables, extrait du DM 1).Considerons :Z Z A f(x;y)dxdy; ouf(x;y) = (1 +x+y)2et la regionAest delimitee par les trois droitesx= 2y, y= 2x,x+y= 6. (1) Faire le dessin de la regionAet la parametrer. (2) Calculer l'integrale en question. Exercice21 (calcul d'integrales doubles par changement de variables, extrait du DM 1).

6 A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012)

(1) En passant aux coordonnees polaires, calculer Z Z A xdxdy; ouA=f(x;y); 2xx2+y26x; yxg. (2) En passant aux coordonnees cylindriques , calculerZ Z Z Bx

2+y2px

2+y2+z2dxdydz;

ouB=f(x;y;z);px

2+y2zag, aveca >0.

Exercice22 (theoremes de Fubini-Tonnelli et Fubini).Changer l'ordre d'inte- gration dans l'integraleZZ G f(x;y)dxdy=Z y Z x f(x;y)dx dy=Z x Z y f(x;y)dy dx (integree d'abord enx, puis eny) lorsque la frontiere du domaine borneGest decrite par les relations : y=x2oux+y= 2 x= 0 oux=pyoux=p2y y= 0 oux=pyoux+y= 6 x= 0 ou x= sinyoux= cosy;avecy2[0;=2] x= 0 oux= 1 oux=y2ouy=ex: Exercice23 (theoremes de Fubini-Tonnelli et Fubini, extrait du DM 1).Soit : Z x 0

Z2sin(x)

0 f(x;y)dy dx: (1) Faire le dessin de la region d'integration. (2) Changer l'ordre d'integration dans l'integrale. Exercice24 (theoremes de Fubini-Tonnelli et Fubini).Representer et calculer le volume du domaine :(x;y;z)2R3;1z1;x2+y2z2+ 1: Exercice25 (calcul d'integrales doublesviaFubini ou changement de va- riables).Calculer les integrales suivantes : (1) ZZ [0;1]2dxdy(x+y+ 1)2 (2) ZZ

D(0;1)(x2+y2)dxdy

(3) ZZ Dpx

2+y2dxdy;ouD=n

(x;y);x0; y0; x2+y22y0; x2+y210o

A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012) 7

(4) ZZ

Dpxy dxdy;ouD=f(x;y); (x2+y2)2xyg:

Exercice26 (calculs d'aire).Soienta;b >0. Calculer l'aire de l'ellipse pleine

E=nx2a

2+y2b 21o
de deux manieres dierentes (l'aire d'un domaine planDvalantRR

Ddxdy).

Exercice27 (calcul d'integrales multiples et theoremes de convergence).Soit, pourn2N, les sous-ensembles du planXn= [0;n]2,Yn=Xn+1nXn. Montrer que lim n!1ZZ Y nf(x;y)dxdy= 0 lorsque f(x;y) = (x2+y2)( >12 f(x;y) =xy(x+y)4 f(x;y) = (1 +xy)2 f(x;y) =ejxyj2: Exercice28 (integrales sur des surfaces, calculs de ux, extrait du DM 2). Faire le dessin des surfaces d'integration et calculer les integrales de surface sui- vantes : (1)Z Z S xyz dS:=Z Z S xyz d[vol2;S];Z Z S xyz dS:=Z Z S jxyjz d[vol2;S] lorsqueS=f(x;y;z);z=x2+y2;0z1g. (2) le ux =Z Z

Syz dydz+zxdzdx+xy dxdy

du champ de vecteurs (x;y;z)7!(yz;xz;xy) au travers de la surfaceS= f(x;y;z);x;y;z0; x+y+z= 1g, lorsque le vecteur normal aSest celui qui pointe vers lesz >0. Exercice29 (integrales sur des surfaces, calculs de ux, extrait du DM 2). Soit =f(x;y;z);x2+y2r2;0z1g(r >0) et la surfaceS=S1[S2\S3, ouS1designe la paroi laterale de , etS2;S3les faces respectivement superieure et inferieure. (1) Dessiner et les trois portions de surfaceS1;S2;S3. (2) Calculer le ux du champ de vecteurs (x;y;z)7!(x+y;y+z;z+x) au travers des surfacesS1,S2,S3, le vecteur normal a ces surfaces etant celui qui pointe vers l'exterieur de . Calculer le ux du champ au travers de la surfaceS, le vecteur normal a chaque portion de surfaceSjetant celui qui pointe vers l'exterieur de

8 A. EXERCICES PROPOS

ES EN TD (2011-2012)

(3) Enoncer la formule de Green-Ostrogradski. L'appliquer pour retrouver la valeur du ux calcule a la question 2.

II. Exercices en relation avec le chapitre 2.

Exercice30 (EDO a variables separees).

(1) Resoudre les quatre equations dierentielles suivantes par la methode de separation de variables : tan(x)(sin(y))2dx+ (cos(x))2cot(y)dy= 0 xy

0y=y3; xyy0= 1x2; y0tan(x) =y:

(2) Trouver les solutions des equations dierentielles suivantes, satisfaisant les connditions initiales imposees : (1 +ex)yy0=ex;avecy(0) = 1 (xy2+x)dx+ (x2yy)dy= 0;avecy(0) = 1 y

0sin(x) = cos(y);avecy(=4) = 1:

Exercice31 (EDO se ramenant a des EDO a variables separees).Ramener les trois equations dierentielles ci-dessous a des equations dierentielles a variables separees gr^ace a un changement de variables, puis les resoudre. y

0= (x+y)2; y0= (8x+ 2y+ 1)2

(2x+ 3y1)dx+ (4x+ 6y5)dy= 0:

Exercice32 (EDO homogenes (d'ordre 1)).

(1) Resoudre les quatre equations dierentielles homogenes (d'ordre un) sui- vantes par le changement de variablesy=xu(ou bienx=yu) : y

0=ey=x+yx

y0=yx 1 (xy)ydxx2dy= 0y0=x+yxquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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