Fiches de math (MPSI/MP) PDF Fiches de math (MPSI/MP)

Ordre 2 avec terme d'ordre 1. Page 13 M10. De la sinusoïde à la notation complexe. Page 2. A 2 maths

Formulaire : Trigonométrie

Formulaire : Trigonométrie. Toutes le formules de trigo se retrouvent à partir de l'exponentielle complexe et des règles de calcul sur les puissances.

Fiches de math (MPSI/MP)

Fiches de math (MPSI/MP) Formule du binôme de Newton : si f et g commutent : (f + g)n = ?n ... Formule de Gibbs : (a ? b) ? c = <a

Formulaire PanaMaths (CPGE) Développements en séries entières

Formulaire PanaMaths (CPGE). Développements en séries entières usuels. Fonction. Développement en série entière. (DSE). Intervalle de validité du DSE.

Formulaire de maths # révisions # entrée en CPGE

Formulaire de maths # révisions # entrée en CPGE. Ce formulaire est destiné aux élèves entrant en première année de CPGE MPSI ou PCSI au lycée Michelet.

formulaire.pdf

Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de définition de la formule : par exemple ?a sous-entend a ? 0 n ? N?

LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES

La somme de n v.a. indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p suit une loi binomiale B(n p). • La somme de deux v.a. indépendantes suivant

Formulaire PanaMaths (CPGE) Formules de Taylor

Formule locale : le développement de Taylor-Young. Soit f une application d'un intervalle I dans R (ou plus généralement

Le Formulaire PCSI - PTSI - PC - PSI - PT

Le livre est scindé en quatre parties : mathématiques informatique

Fichesdemath(MPSI/MP)

SamuelMIMRAM

2000-2002

Tabledesmatières

1Divers

jA[Bj=jAj+jBjjA\Bj jFj=p,jP(F)j=2p P

X2P(F)jXj=p2p1

2Algèbregénérale

2.1Divers

Signaturede2n:"()=Q

fi;jg2P(j[1;n]j)(j)(i) ji

ThéorèmedeGauss:(a^b=1etajbc))ajc

2.2Groupes

Hsous-groupedeG,8

:H,?

8(x;y)2H2;xy2H

8x2H;x12H

Transportdestructure:

Lesss-groupesdeZsontlesnZ

H[Kgroupe,HKouKH

Pluspetitss-groupecontenantH[K:H+K

finjective,Kerf=f0g

Décompositioncanonique:Ef!F:ilexiste

f,bijective,tq:E f!F s? yx ?i E=Rf f!f(E)

Groupecyclique:monogènefini

1 (G;)estungroupe (Z=nZ)estungroupedecardinal'(n)'(n)=nQ i11 pi

Sim^n=1alors'(mn)='(m)'(n)

démo:: kmn7!(km;kn)etdimIm=mnm^ncarm^n=dimKer pgcd:générateurdeP iaiZppcm:générateurdeT iaiZ

EQDIOPH

2.3Groupeopérantsurunensemble

(Ag)1=Ag1

Automophismeintérieur:a:x1

x2E=RGjOxj=jE=RGjjGj

SijGj=nalors8g2G;gn=eG

xinvbds(Z=nZ),x^n=1,Gr(x)=Z=nZ

Centre:Z(G)=fg2G=8x2G;gx=xgg

Touteorbiteeststablesousl'actiondeG

8a2Ox;Card(Ox)Card(Stab(a))=Card(G)

ThdeBurnside:NjGj=P

Ilyap+1

2.4Anneaux-corps

Anneau(A;+;):

Bsous-anneaudeA,8

:1 A2B

8(x;y)2B2;xy2B

aestrégulier:ax=ay)x=yetxa=ya)x=y arégulier,anondiviseurde0 (A;):groupedesélémtsinversibles aestnilpotent:9n2N;an=0

Idéalprincipal:9a2A;I=aA

Caractéristique:ordredeeAdans(A;+)

démo:(x+y)p=Pp k=0Ck pxkypket8k2j[1;p1]j;pjCk p

Corps(K;+;):

Lsous-corpsdeK,8

:1 K2L

8(x;y)2L2;xy2L

8x2Lnf0g;x12L

Uncorpsestunanneauintègre

Toutcorpsfiniestcommutatif

Toutcorpsfiniapourcardinalpnavecppremier

2.5Polynômes

dimKn[X]=n+1

K[X]estunanneauprincipal

PjQ)[P(x)=0)Q(x)=0]

nxi) attentionàlanormalisationdeP -parité,conjugaison? -calculerlapartieentièredeP -siN(X) -valeursparticulières!équations Si p q(avecp^q=1)estracinedePalorspja0etqjan Poly avecP2K[X]tqdegP=n1:deg(kP)=nkdoncnP=0 surCn[X]:Ker=C0[X]etIm=Cn1[X] T nP(X)=P(X+n)etT=TdoncnP(X)=(TId)nP(X)=Pn k=0(1)kCk nTk=Pn k=0(1)kP(X+k) )P(n+1)sionconnaittslesP(k)aveck2j[1;n]j 3

2.6PolynômesetK-algèbres

Algèbre(A;+;;):

Bsous-algèbredeA,8

:12B

8(x;y)2B2;x+y2Betxy2B

82K;8x2B;x2B

Poly

3Algèbrelinéaire

3.1Espacesvectoriels

Espace-vectoriel(E;+;:):

Fsous-evdeE,8

:F,?

8(x;y)2F2;x+y2F

82K;8x2F;x2F

PourmontrerFss-evdeE,onpeutmontrerF=Ker'

normed'algèbre:N(ab)N(a)N(b) jN(x)N(y)jN(x+y)N(x)+N(y) doncx7!kxkestcontinuecar1-lipschitzienne

Normesusuelles:kxk1=Pjxijkxk2=q

Px2 ikxk1=maxjxij

Dsunevn:

B(x;r)=Bf(x;r)etviceversa

x2Bf(0E;1)N[f(x)]=sup x2S(0E;1)N[f(x)]=sup x2Enf0EgN[f(x)] kxk

N[f(x)]kjfkjkxkkjgfkjkjgkjkjfkj

SiFevncalors(Lc(E;F);kjkj)evnc

(x;y)7!x+yet(;x)7!xsontcontinues

Fss-evdedimfiniedeE)FevncetfermédeE

UnK-evdedimfinieestunespacedeBanach

Surunproduitd'evdedimfinies,uestcontinue

Fss-evdeE:siH,HalorsEH

1\H2ss-evH1+H2ppss-evcontenantH1etH2

,8k;Pk1i=1Ei\Ek=f0g,8j;Ej\Pn i=1i,jE i=f0g E

1+E2=E1E2,E1\E2=f0g,dimE1+dimE2=dimE

Familleorthogonaledeprojecteurs:

si(fi)2L(E)htqPh i=1Imfi

Sisestunesymétrie,s+IdE

2estunprojecteur...

SiFEalorsdimF=dimE,F=E

dim(F+G)=dimF+dimGdim(F\G) dimKergfdimKerg+dimKerf

Codimension:dimensiondusupplémentaire

finjective,Kerf=f0g k=0Ck nfkgnk

Sifggf=Idalors,parréc:fgngnf=(n1)g

3.2Matrices

SiC=ABalorsci;j=Pn

k=1ai;kbk;jt(AB)=tBtA M

B1B3(vu)=MB2B3(v)MB1B2(u)

AestsemblableàB:B=P1AP(!mêmetrace)

M n(K)=Sn(K)An(K)démo:':M7!(M+tM

2;MtM2)isom

Pourunprojecteur:trp=rgp

E i;jEk;l=j;kEi;l detA=P

2n"()a(1)1:::a(n)n

det(AB)=detAdetBdet AB 0C! =detAdetCdémo: AB 0C! = IB

0C! A0

0I!

AtCom(A)=(detA)InA1=1

detA(tCom(A))

FormuledeCramer:xi=detB(v1;:::;b;:::;vn)

detA 5 (tA)1=t(A1)A2Sn(K)\GLn(K))A12Sn(K) pIn;1pCorol:SpMSn i=1DiavecDi=fz2C=jaiizjPnj=1 j,ijaijjg

DéterminantsdeVanderMonde:

1111
x

1xnxn:

x n11xn12xn1n Q

1i
K[A](A)(commutant)

3.3Réductiondesendomorphismes
E (f)=Ker(fIdE)SpK(f):ensbdesvlprdef finversb,festdevaluationnulle
SiP(f)=0,ttvlprdefestracinedeP
Poly
ˆninterpolateursdeLagrange:
W k(X)=n Q i=0i,k(Xi) nQ i=0i,k(ki)Wk(j)=jk8P2Kn[X];P(X)=Pn k=0P(k)Wk(X):basedeKn[X] k=0Wk(f)(x) endim2:M(X)=X2(trM)X+detM dimEestaupluslamultiplicitédedansf
Diagonalisation:M=PDP1

MatricesdeFroebenius:A=0
B B B B B B B B B B B B B B B B B B @0:::0a1 1 :a2: ::::0:
0:::1an1
C C C C C C C C C C C C C C C C C C
Drapeau:(Ei)tqdimEi=ietEiEi+1
6 )(f0;f1;:::;fn)estliée Sifestnilpotentd'indicen=dimEalorsilexisteunebaseBtqfB !0 B B B B B B B B B B B B B B B B B B @010 :::1 001 C C C C C C C C C C C C C C C C C C A fnilpotent,f(X)=(1)nXn,9B;fB !0 B B B B B B B B B B @0? 001 C C C C C C C C C C A u enparticulier:siKeru=Keru2alorsE=KeruImu fscindé:f(X)=(1)nQ i(Xi)mi
E=Kerf(f)=L

3.4Dualité

EestisomorpheàE(ontˆmdimension)

Baseduale:(e
i)1intqe i(ej)=ijf=Pn i=1f(ei)e !siontrouve(ei)et(e i)tqe i) i:P7!P(ai))labasedualeassociée
8'2E;9!a2E;8x2E;'(x)=8M2M
n;9!A2Mn;'(M)=tr(AM) démo:mq:Mn!M n=A7![M7!tr(AM)]estinjective cesontdesss-evdeE F (Ker')?=Vect' démo:prendreunebasedeEetmqF?F=E doncF7!F?estbijectivederéciproqueG7!G
SiFetGss-evalorsF=G,F?=G?

Vect(ei)=E,Vect(ei)?=f0g(=E?)

Vect('i)=(PVect('i))=TVect('i)=TKer('i)

Intersectiond'hyperplans:dimT

1stHsnt(égalitéssi(fs)1stlibre)
démo:siH=Ker'=Ker mq='(x) (x)convientavecxdsEH Transposéedef2L(E;F):l'uniquetf2L(F;E)tq:8 2F;tf( )= f
8 2F;8x2E;=< jf(x)>

Fstableparf,F?stablepartf
7
4Algèbrebilinéaire
g ':x7!'(x;:)d':y7!'(:;y) 'symétrique,g'=d' L
2(E)=S2(E)A2(E)dimL2(E)=n2dimS2=n(n+1)

2démo:':M7!(M+tM2;MtM2)isom

Identitédepolarisation:'sym(x;y)=1

2[q(x+y)q(x)q(y)]=14[q(x+y)q(xy)]
q(x)=Pn i=1x2 i'(ei;ei)+2P iAetBsontcongruentes:9P2GLn(K);B=tPAP

8(X;Y)2M2

n;1(K);tXAY=tXBY,A=B 8X2M2 n;1(K);tXAX=tXBX,ABestantisym xetyst'-orthogonaux:'(x;y)=0x?'y A ?'=fx2E=8y2A;'(x;y)=0gss-evdeE

AB)B?A?A?B,AB?,BA?

Rangde':rgd'

dim(Rad')=nrg' x+y2C',x?'yRad'C''(x;x)=0,Kx(Kx)? 'estdéfinie:C'=f0Eg

Recherchedelasignature:

-parachuterlasolution:E=F?G -utiliserunedécompositiondeGauss

4[(a+b)2+(ab)2]ex:Pn

i;j=1ixixj=(Pn i=1ixi)(Pn i=1xj) -aveclesvlpr

ConditiondeSylvester:M2S++

Gauss:formecanonique/produit

avectZMZ

Thspectral:

8M2Sn(R);92On(R);9D2Dn(R);D=1M=tM

hp:8S2S++ n(R);9!p

S;(pS)2=Sdémo:induits

Thderéductionsimultannée:

8A2S++

(x+y)p(x)+p(y) siestdéfiniepositive,p (x+y)=p(x)+p(y),(x;y)positivementliée

Si'estpositive:Cône=Raddémo:ics

4.1Espaceseuclidiens

Normeeuclidienne:p

Normes:(f;g)7!Rb

afg(P;Q)7!R1

0PQet2(P;Q)7!R1

0PQ poly

Sif2C0([a;b];R)esttq8p2N;Rb

kPx2 ikkPxik2

8f2E;9!y2E;8x2E;f(x)='(x;y)

Thdelabaseorthogonaleincomplète

M:mij=tr(u)=P

E=F?G)E=F??G?etF??=G?=F

E=F?G,F?GetF??G?

E=Vect(ei),[Vect(ei)]?=f0g

Adjoint:=

(u)=u(u)1=(u1)u(H)H)u(H?)H?Keru=(Imu)?

Dsunebon:Mat(uM)=tM

dscecas:E=Keru+Imu fautoadjointpositif: kjfjk=Sup kjfjk2=kjfjk2=kjffjkkjfjk=Sup kxk1;kyk1jjdémo:kxk=sup kyk=1jj kjMjk2;2=p (tMM)

Endomorthogonalu(2O(E)GL(E)):

)detM2f1;1g

SiFstableparualorsF?stableparu

Dansunbonr,si

=Matr(u)alorsttvlprde estdemodule1 9 i=1viwk+1=vk+1

Topologiematricielle:

-S++ n:partieferméedeMn(R) -On(R):partiecompactedeMn(R) -GLn(R):partiedensedeMn(R) S n(R);M=OS tMMetO=MS1conviennent

AvecH2S++

netK2Sn,HKnilpotent,K=0 démo:92S++

DécompositiondeCholeski:8A2S++

ralors:

A=tSInSavecS2Tsupn

':Mn(R)!R=M7!Sup

O2On(R)jtr(OM)j:normedeMn(R)

'-matricedeGram:G=('(vi;vj))'[(xi)]=detG '(f1;:::;fn)quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] formulaire maths bac pro

[PDF] formulaire maths terminale es

[PDF] formulaire mecanique bts

[PDF] formulaire mécanique des fluides

[PDF] formulaire medecin de famille cnam

[PDF] formulaire nis pdf

[PDF] formulaire non affiliation cnas algerie

[PDF] formulaire ofii regroupement familial

[PDF] formulaire openoffice calc

[PDF] formulaire p11 des nations unies en français doc

[PDF] formulaire p11 des nations unies en français word

[PDF] formulaire p11 des nations unies word

[PDF] formulaire p11 monusco

[PDF] formulaire p11 monusco word

[PDF] formulaire p11 pam

[PDF] Fiches de math (MPSI/MP) Fiches de math (MPSI/MP)

Fichesdemath(MPSI/MP)

SamuelMIMRAM

2000-2002

Tabledesmatières

1Divers

X2P(F)jXj=p2p1

2Algèbregénérale

2.1Divers

Signaturede2n:"()=Q

ThéorèmedeGauss:(a^b=1etajbc))ajc

2.2Groupes

Hsous-groupedeG,8

8(x;y)2H2;xy2H

8x2H;x12H

Transportdestructure:

Lesss-groupesdeZsontlesnZ

H[Kgroupe,HKouKH

Pluspetitss-groupecontenantH[K:H+K

Décompositioncanonique:Ef!F:ilexiste

Groupecyclique:monogènefini

Sim^n=1alors'(mn)='(m)'(n)

EQDIOPH

2.3Groupeopérantsurunensemble

Automophismeintérieur:a:x1

SijGj=nalors8g2G;gn=eG

Centre:Z(G)=fg2G=8x2G;gx=xgg

Touteorbiteeststablesousl'actiondeG

8a2Ox;Card(Ox)Card(Stab(a))=Card(G)

ThdeBurnside:NjGj=P

Ilyap+1

2.4Anneaux-corps

Anneau(A;+;):

Bsous-anneaudeA,8

8(x;y)2B2;xy2B

8(x;y)2B2;xy2B

Idéalprincipal:9a2A;I=aA

Caractéristique:ordredeeAdans(A;+)

Corps(K;+;):

Lsous-corpsdeK,8

8(x;y)2L2;xy2L

8(x;y)2L2;xy2L

8x2Lnf0g;x12L

Uncorpsestunanneauintègre

Toutcorpsfiniestcommutatif

Toutcorpsfiniapourcardinalpnavecppremier

2.5Polynômes

K[X]estunanneauprincipal

PjQ)[P(x)=0)Q(x)=0]

2.6PolynômesetK-algèbres

Algèbre(A;+;;):

Bsous-algèbredeA,8

8(x;y)2B2;x+y2Betxy2B

82K;8x2B;x2B

3Algèbrelinéaire

3.1Espacesvectoriels

Espace-vectoriel(E;+;:):

Fsous-evdeE,8

8(x;y)2F2;x+y2F

82K;8x2F;x2F

PourmontrerFss-evdeE,onpeutmontrerF=Ker'

Normesusuelles:kxk1=Pjxijkxk2=q

Dsunevn:

B(x;r)=Bf(x;r)etviceversa

N[f(x)]kjfkjkxkkjgfkjkjgkjkjfkj

SiFevncalors(Lc(E;F);kjkj)evnc

Fss-evdedimfiniedeE)FevncetfermédeE

UnK-evdedimfinieestunespacedeBanach

Surunproduitd'evdedimfinies,uestcontinue

Fss-evdeE:siH,HalorsEH

1\H2ss-evH1+H2ppss-evcontenantH1etH2

1+E2=E1E2,E1\E2=f0g,dimE1+dimE2=dimE

Familleorthogonaledeprojecteurs:

Sisestunesymétrie,s+IdE

2estunprojecteur...

SiFEalorsdimF=dimE,F=E

Codimension:dimensiondusupplémentaire

Sifggf=Idalors,parréc:fgngnf=(n1)g

3.2Matrices

SiC=ABalorsci;j=Pn