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CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun

Si pour décrire la position d'un point trois dimensions sont nécessaires et suffisantes

Déterminer une matrice de passage et appliquer les formules de

Si l?on connaît la matrice X d?un vecteur x ? E dans l?une des bases b ou b ainsi que Calculer A/ à l?aide de la formule de changement de base.

Changement de base CM et séries discr`etes - J.

En particulier un élément semi-simple est elliptique si son centralisateur poss`ede un tore maximal anisotrope. 3 Formule des traces. 3.1 Le noyau intégral de

Chapitre 1 - Changements de bases.

Kn. Ensuite si on prend une autre base (e1

Le calcul tensoriel et différentiel : outil mathématique pour la

1.1.4 Formule de changement de base - Notion de représentation . XIX`eme si`ecle... et inventeur du « tenseur des contraintes de Cauchy » objet ...

determinant.pdf - Déterminants

3.4 Proposition (Changement de base dans le déterminant). Soient B et C deux bases ordon- nées de E. Alors on a la formule : detC = detC(B) detB.

Sommaire 1. Déterminant de n vecteurs dans une base B

Théorème : Si on a deux fois le même vecteur dans un déterminant celui-ci est Ce sont les formules de changement de base des déterminants de vecteurs.

Matrice de passage et changement de base

Si l'on travaille dans une autre base (ei) de E les vecteurs x et y sont représentés par de nouvelles matrices colonnes notées respectivement X et Y . Le

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Cette formule est à la base du développement d'un déterminant suivant une rangée (ligne ou colonne) Exemple: Développement suivant la ligne 2 du déterminant:

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Si l'on travaille dans une autre base (ei) de E les vecteurs x et y sont représentés par de nouvelles matrices colonnes notées respectivement X et Y Le

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Kn Ensuite si on prend une autre base (e1 en) de E la colonne des coordonnées 1 2 Formule de changement de base pour une application linéaire

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On dit que l'on a établi les formules de changement de repère On a exprimé les « anciennes » coordonnées (c'est-à-dire les coordonnées dans l'ancien repère

Changement de base [Calcul matriciel]

Si B et B ? sont deux bases orthonormées de E la matrice de passage P est dite orthogonale et vérifie : P ? 1 = t P (voir exemple ci-dessous : Matrice de

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BB × Mat(uB) × PBB Preuve Cette formule résulte de la proposition sur la matrice d'une composition appliquée à la composition des applications linéaires

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Le passage d'un repère à un autre est représenté graphiquement par des figures nommées figure plane de changement de base ou figure de calcul Sur cette figure

Formules de Changement de Repère PDF Plan (Géométrie) - Scribd

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1 1 4 Formule de changement de base - Notion de représentation XIX`eme si`ecle et inventeur du « tenseur des contraintes de Cauchy » objet

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La figure de changement de base est : Une base B2 est en rotation plane de direction ? par rapport à la base B1 si ? est

Comment calculer un changement de base ?
Mat(IdE,B ,B ) = Mat(IdE,B,B ) × Mat(IdE,B ,B) ?? In = PB ,B × PB,B , où In désigne la matrice identité de taille n. Évidemment, on obtient de même, en échangeant les rôles de B et B , que In = PB,B × PB ,B.
Comment changer de base pour les vecteurs ?
– L'application linéaire qui intervient dans un changement de base est l'identité, car on ne change rien aux vecteurs. On change seulement les coordonnées des vecteurs dans une base. – La matrice de passage contient en colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base (ei) exprimées dans l'ancienne base (ei) .
On écrit x dans la base b sous la forme : x = x1e1 + ··· + xnen, avec x1,,xn des scalaires. La matrice du vecteur x dans la base b est la matrice colonne à n lignes dont les coeffiY cients sont, de haut en bas, x1,,xn. On rappelle la définition suivante : Soit b et b? deux bases de E.

Le calcul tensoriel et dierentiel :

outil mathematique pour la physique des milieux continus parEmmanuel Plauta Mines Nancy

Version du 2 septembre 2021 Table des matieres

Introduction5

1 Algebre tensorielle9

1.1 Espace - Vecteurs - Bases et reperes

1.1.1 Remarque sur la notation:

eche vs barre. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2 Convention de sommation sur les indices repetes

10 Ex. 1. 1 : Su rl acon ventionde somm ationsu rl esi ndicesr epetes 10

1.1.3 Produit scalaire - Premiere rencontre avec le point de contraction

1.1.4 Formule de changement de base - Notion de representation

11 Ex. 1. 2 : V ericationd el acoh erencede l ad enitiond up roduitscal aire 13

1.1.5 Sur le caracteredes bases i.e. la notion d'orientation. . . . . . . . . . . . . 13

1.1.6 Tenseurs d'ordre 0 et 1

1.2 Denition des tenseurs comme applications lineaires

1.3 Les tenseurs d'ordre 2 comme applications lineaires

1.3.1 Representation par une matrice

1.3.2 Formule de changement de base

1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs

1.3.4 Application : ecriture intrinseque d'un tenseur d'ordre 2

15 Ex. 1. 3 : D el 'inter^etde la n otationp roduitt ensoriel 15

1.3.5 Tenseur identite

1.4 Les tenseurs d'ordre 2 comme applications bilineaires

1.4.1 Denition et exemple

1.4.2 Applications : denition de la transposition, tenseurs (anti)symetriques

17 Ex. 1. 4 : T ranspositiond 'unpr oduitt ensoriel 17

1.5 Les tenseurs comme applications multilineaires

1.5.1 Denition des tenseurs comme applications multilineaires

18 Ex. 1. 5 : App licationd el ad enitionm ultilineairer ecurrenteau cas n= 2. . . . . . . . . . . 18

1.5.2 Denition generale du produit tensoriel

18 1.5.3 Ecriture intrinseque et representation - Base - Changement de base. . . . . . . . . . . 19

2Table des matieresEx.1. 6: Ch angementde bas ep ouru nt enseurd 'ordre2 ap plicationbi lineaire. . . . . . . . . 20

1.5.4 Denition generale du produit contracte

20 Ex. 1. 7 : Pr oduitcon tracted ed euxv ecteurs 21
Ex. 1. 8 : Pr oduitcon tracted 'unt enseurd 'ordre2 et d 'unv ecteur 21
Ex. 1. 9 : Pr oduitcon tracted ed euxt enseursd 'ordre2 22
Ex. 1. 10 : Ass ociativitedu pr oduitd econ tractiond ansu nc asg eneral 22

1.5.5 Denition generale du produit doublement contracte

1.6 Tenseur alterne fondamental et applications

1.6.1 Denition du tenseur alterne fondamental

24
Ex. 1. 11 : Ut ilisationd ut enseural ternef ondamentalp ourcal culd' und eterminant 25

1.6.2 Produits mixte et vectoriel

1.6.3 Vecteur dual d'un tenseur d'ordre 2 - Tenseurs antisymetriques

27
Ex. 1. 12 : F ormulesp ortantsu rl ete nseuralt ernef ondamentale tle v ecteurd ual 27
Ex. 1. 13 : F ormuled udou blepr oduitv ectoriel 27
Ex. 1. 14 : V ecteurd uald 'unt enseurd 'ordre2 sy metrique 27
Ex. 1. 15 : T enseuran tisymetriqueen fon ctionde son v ecteurdu al 28

1.7 Exemples en mecanique des milieux continus

1.8 Notes personnelles

2 Analyse tensorielle31

2.1 Gradient d'un champ de tenseur

2.1.1 Denition intrinseque en tant que dierentielle

2.1.2 Calculs en coordonnees cartesiennes

2.2 Cas du gradient d'un champ de vecteur

2.2.1 Decomposition en parties symetrique et antisymetrique

2.2.2 Signication de la partie symetrique

2.2.3 Signication de la partie antisymetrique - rotationnel

2.3 Divergence d'un champ de tenseur

2.3.1 Denition intrinseque a partir du gradient

2.3.2 Calculs en coordonnees cartesiennes

2.4 Integration des champs de tenseurs

2.4.1 Denitions

2.4.2 Formule integrale du rotationnel

2.4.3 Formule integrale de la divergence

39
Ex. 2. 1 : D emonstrationd el af ormulede la d ivergencedan sl ec asg eneral 40

2.4.4 Application : signication physique de l'operateur divergence

2.5 Laplacien d'un champ de tenseur

2.5.1 Denition intrinseque a partir du second gradient

2.5.2 Calculs en coordonnees cartesiennes

2.6 Exercices visant a etablir un formulaire

44
Ex. 2. 2 : D ivergencee trot ationneld 'unp roduits calaire-vecteur 44
Ex. 2. 3 : Comp ositionsd 'operateursd ierentielsn ulles 44
Ex. 2. 4 : D ivergenced 'ungr adientt ranspose 44

Table des matieres3Ex.2. 5: D ivergencee trot ationneld 'unp roduitv ectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Ex. 2. 6 : D ivergenced 'unp roduitt ensoriel 44
Ex. 2. 7 : D ivergenced ed iversp roduits 45
Ex. 2. 8 : F ormuled udou blerot ationnele tapp lication 45
Ex. 2. 9 : F ormulesde Na vieren elasticite 46
Ex. 2. 10 : R eecrituresdu t ermenon l ineaired el 'equationd eNa vier-Stokes 46
Ex. 2. 11 : D eriveep articulaired el ad ensited 'energieci netique 46

2.7 Calculs en coordonnees cylindriques

2.7.1 Systemes a symetrie cylindrique - Principe de Curie

2.7.2 Denition des coordonnees cylindriques

2.7.3 Expressions du gradient

2.7.4 Expression du rotationnel

2.7.5 Expressions de la divergence

2.7.6 Expressions du laplacien

51
Ex. 2. 12 : Su rl ecal culd ul aplaciend' unc hampv ectoriele nc ylindriques 51
Pb. 2. 1 : Asp ectsmat hematiquesd el 'etuded' unt uyaus ouspr ession 52
Pb. 2. 2 : Asp ectsmat hematiquesd el 'etuded' unr heometred eCou ettec ylindrique 53

2.8 Calculs en coordonnees spheriques

2.8.1 Denition des coordonnees spheriques

2.8.2 Expressions du gradient

2.8.3 Expression du rotationnel

2.8.4 Expressions de la divergence

2.8.5 Expressions du laplacien

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