[PDF] Sommaire 1. Déterminant de n vecteurs dans une base B





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CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 6.1. Coordonnées dun

Si pour décrire la position d'un point trois dimensions sont nécessaires et suffisantes



Déterminer une matrice de passage et appliquer les formules de

Si l?on connaît la matrice X d?un vecteur x ? E dans l?une des bases b ou b ainsi que Calculer A/ à l?aide de la formule de changement de base.



Changement de base CM et séries discr`etes - J.

En particulier un élément semi-simple est elliptique si son centralisateur poss`ede un tore maximal anisotrope. 3 Formule des traces. 3.1 Le noyau intégral de 



Chapitre 1 - Changements de bases.

Kn. Ensuite si on prend une autre base (e1



2.1 Changement de base

nées sur la base B



Le calcul tensoriel et différentiel : outil mathématique pour la

1.1.4 Formule de changement de base - Notion de représentation . XIX`eme si`ecle... et inventeur du « tenseur des contraintes de Cauchy » objet ...



determinant.pdf - Déterminants

3.4 Proposition (Changement de base dans le déterminant). Soient B et C deux bases ordon- nées de E. Alors on a la formule : detC = detC(B) detB.



Sommaire 1. Déterminant de n vecteurs dans une base B

Théorème : Si on a deux fois le même vecteur dans un déterminant celui-ci est Ce sont les formules de changement de base des déterminants de vecteurs.



Matrice de passage et changement de base

Si l'on travaille dans une autre base (ei) de E les vecteurs x et y sont représentés par de nouvelles matrices colonnes notées respectivement X et Y . Le 



[PDF] CHANGEMENT de BASE

Cette formule est à la base du développement d'un déterminant suivant une rangée (ligne ou colonne) Exemple: Développement suivant la ligne 2 du déterminant:



[PDF] Matrice de passage et changement de base

Si l'on travaille dans une autre base (ei) de E les vecteurs x et y sont représentés par de nouvelles matrices colonnes notées respectivement X et Y Le 



[PDF] Changements de bases

Kn Ensuite si on prend une autre base (e1 en) de E la colonne des coordonnées 1 2 Formule de changement de base pour une application linéaire



[PDF] Formules de changement de repèrepdf

On dit que l'on a établi les formules de changement de repère On a exprimé les « anciennes » coordonnées (c'est-à-dire les coordonnées dans l'ancien repère 



Changement de base [Calcul matriciel]

Si B et B ? sont deux bases orthonormées de E la matrice de passage P est dite orthogonale et vérifie : P ? 1 = t P (voir exemple ci-dessous : Matrice de 



[PDF] 21 Changement de base

BB × Mat(uB) × PBB Preuve Cette formule résulte de la proposition sur la matrice d'une composition appliquée à la composition des applications linéaires 



[PDF] CHAPITRE 6 CINÉMATIQUE DU SOLIDE 61 Coordonnées dun

Le passage d'un repère à un autre est représenté graphiquement par des figures nommées figure plane de changement de base ou figure de calcul Sur cette figure 





[PDF] Le calcul tensoriel et différentiel : outil mathématique

1 1 4 Formule de changement de base - Notion de représentation XIX`eme si`ecle et inventeur du « tenseur des contraintes de Cauchy » objet 



[PDF] Cours C02 : - Les Sciences Industrielles de lIngénieur

La figure de changement de base est : Une base B2 est en rotation plane de direction ? par rapport à la base B1 si ? est 

  • Comment calculer un changement de base ?

    Mat(IdE,B ,B ) = Mat(IdE,B,B ) × Mat(IdE,B ,B) ?? In = PB ,B × PB,B , où In désigne la matrice identité de taille n. Évidemment, on obtient de même, en échangeant les rôles de B et B , que In = PB,B × PB ,B.

  • Comment changer de base pour les vecteurs ?

    – L'application linéaire qui intervient dans un changement de base est l'identité, car on ne change rien aux vecteurs. On change seulement les coordonnées des vecteurs dans une base. – La matrice de passage contient en colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base (ei) exprimées dans l'ancienne base (ei) .
  • On écrit x dans la base b sous la forme : x = x1e1 + ··· + xnen, avec x1,,xn des scalaires. La matrice du vecteur x dans la base b est la matrice colonne à n lignes dont les coeffiY cients sont, de haut en bas, x1,,xn. On rappelle la définition suivante : Soit b et b? deux bases de E.

Déterminants1-1Sommaire

1. Déterminant denvecteurs dans une base

B1

1.1. Formen-linéaire alternée surE. . . . . .1

1.2. Déterminant dans une baseB. . . . . .1

1.3. Propriétés élémentaires . . . . . . . . . .2

1.4. Déterminant dans une baseB0. . . . .2

1.5. Caractérisation des bases . . . . . . . .2

2. Déterminant d"un endomorphisme3

2.1. Déterminant dans une baseB. . . . . .3

2.2. Déterminant d"un endomorphisme . . . .3

2.3. Caractérisation des automorphismes . .3

2.4. Déterminant de la composée . . . . . . .4

3. Déterminant d"une matrice carrée43.1. Déterminant d"une matrice carréeA

dans une base . . . . . . . . . . . . . . .4

3.2. Déterminant d"un produit . . . . . . . . .4

3.3. Déterminant de 2 matrices semblables .5

3.4. Déterminant d"une matrice carréeA. .5

3.5. Déterminant de la transposée . . . . . .5

4. Calcul de déterminants5

4.1. En dimension 2 et 3 . . . . . . . . . . . .5

4.2. Dét. d"une matrice triangulaire . . . . . .6

4.3. Dév. selon une ligne ou colonne . . . . .6

4.4. Opérations sur les lignes et colonnes . .7

4.5. Dét. d"une mat. triangulaire par blocs . .7

4.6. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

5. Compléments9

5.1. Produit de matrices définies par blocs . .9

5.2. Colbert, lycée numérique . . . . . . . . .9

5.3. Les mathématiciens du chapitre . . . . .11Dans tout le chapitre, E est un espace vectoriel surK(RouC), etB=(e1;e2;:::;en)est une base.

1. Déterminant denvecteurs dans une baseB

1.1. Formen-linéaire alternée surE

Définition :E un espace vectoriel de dimensionnsurK,f:8 >><>>:E n!K (u1;u2;:::;un)7!f(u1;u2;:::;un)

On dit quefestn-linéaire alternée

8 >><>>:f(u1;u2;:::;:ui+:u0i;:::;un) =:f(u1;u2;:::;ui;:::;un)+:f(u1;u2;:::;u0i;:::;un) f(u1;u2;:::;ui;:::;uj;:::;un) =f(u1;u2;:::;uj;:::;ui;:::;un) pour tous les vecteursu1;:::;un, tous les scalaires;et pouri,j

C"est à dire qu"elle est linéaire par rapport à chacune des variables et que l"échange de 2 variables la

transforme en son opposé.Ainsi, quand on a 2 fois le même vecteur, la forme est égale à son opposée et donc nulle...

1.2. Déterminant denvecteurs dans une baseB

Théorème :Sifestn-linéaire alternée et sif(e1;e2;:::;en) = 1, alorsfest complètement définie.

Démonstration :Il sut en eet de développer parn-linéarité et d"utiliser le caractère alterné pour

remettre les vecteurs dans le " bon » ordre. Le résultat s"exprime donc en fonction def(e1;e2;:::;en)

car les autres termes sont nuls. Le coecient ne dépend que des règles de calcul et non pas def. On

a donc le résultat dès qu"on fixe la valeur def(e1;e2;:::;en).Définition :Le déterminant de (u1;u2;:::;un) dansBestf(u1;u2;:::;un) oùfest la formen-linéaire

alternée vérifiantf(e1;e2;:::;en) = 1. On le note det(u1;u2;:::;un)BCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

1-2Déterminants1.3. Propriétés élémentaires

Théorème :Échanger 2 vecteurs multiplie le déterminant par1.Théorème :Si on a deux fois le même vecteur dans un déterminant, celui-ci est nul.Théorème :Si un vecteur est combinaison linéaire des autres vecteurs, le déterminant est nul.Démonstration :En développant par linéarité par rapport à ce vecteur, on n"obtient que des détermi-

nants qui contiennent 2 fois le même vecteur, et sont donc nuls.Théorème :Ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs ne change pas le

déterminant.Démonstration :Ceci est une conséquence immédiate du théorème précédent.Théorème :Multiplierun seuldes vecteurs parmultiplie le déterminant par.1.4. Déterminant dans une baseB0=e01;e02;:::;e0n

Théorème :2 formesn-linéaires alternées sont proportionnelles.

Démonstration :Les règles de calcul qui permettent de tout exprimer en fonction def(e1;e2;:::;en)

restent les mêmes que l"on travaille avec la formen-linéaire alternéefoug. Ainsi, on a :f(u1;u2;:::;un) = Kf(e1;e2;:::;en) et :g(u1;u2;:::;un) = Kg(e1;e2;:::;en). K est le même dans les deux cas, il ne dépend que deu1;u2;:::;un, pas defoug.

On a donc bien untel que :g(u1;u2;:::;un) =f(u1;u2;:::;un) pour tous lesu1;u2;:::;un.Or les déterminants dans diérentes bases sont des formesn-linéaires alternées et sont donc propor-

tionnels. Ceci nous donne : det(u1;u2;:::;un)B0=det(u1;u2;:::;un)Bpour tout (u1;u2;:::;un).

Et enfin :8

>><>>:det(u1;u2;:::;un)B0= det(u1;u2;:::;un)Bdet(e1;e2;:::;en)B0 det(u1;u2;:::;un)B= det(u1;u2;:::;un)B0det(e01;e02;:::;e0n)B Ce sont les formules de changement de base des déterminants de vecteurs. Pour la première relation, on calculeen remplaçant (u1;u2;:::;un) par (e1;e2;:::;en).

Pour l"autre, on échange simplement les rôles deBet deB0.Si on applique ce dernier résultat à (e1;e2;:::;en),

on obtient : 1 = det(e1;e2;:::;en)B0det(e01;e02;:::;e0n)B Ce qui prouve qu"un déterminant d"une base dans une autre est non nul.

1.5. Caractérisation des basesThéorème :(u1;u2;:::;un) est une base de E,det(u1;u2;:::;un)B,0Démonstration :Si la famille est liée, le déterminant est clairement nul.

Si la famille est libre, (u1;u2;:::;un) est une base qu"on noteB0, d"où : det(u1;u2;:::;un)B0= det(u1;u2;:::;un)Bdet(e1;e2;:::;en)B0= 1.

Ce qui entraîne det(u1;u2;:::;un)B,0, comme on vient de le voir.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Déterminants1-32. Déterminant d"un endomorphisme

2.1. Déterminant d"un endomorphisme dans une baseB

Définition :': E!E un endomorphisme etBune base de E, det (')B= det('(e1);'(e2);:::;'(en))B

2.2. Déterminant d"un endomorphisme

Théorème :SiBetB0sont 2 bases de E,

det (')B= det(')B0

Démonstration :Comme'est linéaire, l"application (u1;u2;:::;un)7!det('(u1);'(u2);:::;'(un))Best une formen-linéaire alternée!

C"est donc un déterminant. Ainsi, comme deux déterminants sont proportionnels : det et de plus, en remplaçant lesuiparei:= det('(e1);'(e2);:::;'(en))B= det(')B

Ce qui donne :8

>><>>:det ('(u1);'(u2);:::;'(un))B= det('(e1);'(e2);:::;'(en))Bdet(u1;u2;:::;un)B det ('(u1);'(u2);:::;'(un))B= det(')Bdet(u1;u2;:::;un)B De même, dans la baseB0: det('(u1);'(u2);:::;'(un))B0= det(')B0det(u1;u2;:::;un)B0. Propriété qu"on applique aux vecteurseid"où le premier résultat : det ('(e1);'(e2);:::;'(en))B0= det(')B0det(e1;e2;:::;en)B0

On utilise maintenant la propriété générale de changement de base avec les vecteurs'(ei), ce qui

donne le second résultat : det ('(e1);'(e2);:::;'(en))B0= det('(e1);'(e2);:::;'(en))Bdet(e1;e2;:::;en)B0 det ('(e1);'(e2);:::;'(en))B0= det(')Bdet(e1;e2;:::;en)B0

On égale et on simplifie par det(e1;e2;:::;en)B0dont on a montré qu"il est bien non nul, ce qui nous

permet de conclure : det

(')B= det(')B0Conclusion :On peut parler du déterminant d"un endomorphisme puisqu"il ne dépend pas de la

base choisie. On a donc le libre choix de la base pour calculer ce déterminant.

2.3. Caractérisation des automorphismesThéorème :Soit'un endomorphisme de E,

'est un automorphisme,det('),0Démonstration :On sait que'est un automorphisme,('(e1);'(e2);:::;'(en))est une base.

Ce qui équivaut à : det

('(e1);'(e2);:::;'(en))B,0, c"est à dire det('),0Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

1-4Déterminants2.4. Déterminant de la composée de 2 endomorphismes

Théorème :'et deux endomorphismes de E, alors det

(' )= det(')det( )Démonstration :La propriété est immédiate quand n"est pas inversible car alors' ne l"est pas

non plus et les deux termes sont nuls. Si est inversible, on noteB0=e01;e02;:::;e0n=( (e1); (e2);:::; (en)). Alors det (' )= det('(e01);'(e02);:::;'(e0n))B = det = det (')det( (e1); (e2);:::; (en))B = det (')det( )3. Déterminant d"une matrice carrée

3.1. Déterminant d"une matrice carréeAdans une base

Une matrice carréenns"interprète comme la matrice d"un endomorphisme'de E dans la baseB.

On pose donc :

Définition :det(A)B= det(')

3.2. Déterminant d"un produit de 2 matrices, de la matrice inverse d"une matrice inversible

Théorème :A;B2Mn(K)

det (AB)B= det(A)Bdet(B)B

Démonstration :A =MB('), B=MB( ), alors :

AB=MB(' )

det (' )= det(')det( ) det (AB)B= det(A)Bdet(B)BThéorème :A2GLn(K) det A1

B=1det

(A)B Démonstration :AA1= In, det(In)B= det(IdE)= det(e1;e2;:::;en)B= 1, d"où : det (A)BdetA1

B= 1Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Déterminants1-53.3. Déterminant de 2 matrices semblables On rappelle que deux matrices sont semblables si et seulement si : elles son tles ma tricesd"un même endomorphisme dans deux bases di érentes, ou bien,

il existe P 2GLn(K)telle que B= P1APThéorème :A et B, 2 matrices semblables deMn(K), alors : det(A)B= det(B)BDémonstration :On a P2GLn(K)telle que B= P1AP, d"où :

det (B)B= detP1

Bdet(A)Bdet(P)B

= detP1

Bdet(P)Bdet(A)B

= detP1P

Bdet(A)B

= det (A)B3.4. Déterminant d"une matrice carréeA

Le problème est de montrer que le calcul du déterminant d"une matrice ne dépend pas de la base

choisie.

C"est à dire que : det

(A)B= det(A)B0.

Soit : A =MB(')=MB0( )

Soit aussi : A

0=MB0(')et P la matrice de passage deBversB0.

On a alors : A

0= P1AP, et donc : det(A0)B0= det(A)B0en appliquant la propriété déjà montrée à la

nouvelle base.

Enfin : det

(A0)B0= det(')= det(A)B0= det( ).

Mais on a aussi : det

(A)B= det(')= det(A)B0. Ce qui achève la démonstration. La notion de déterminant d"une matrice carrée a maintenant bien un sens.

3.5. Déterminant de la transposée d"une matriceThéorème :A2Mn(K), alors

det tA= det(A)La démonstration est ici admise.

4. Calcul de déterminants

4.1. En dimension 2 et 3

On va d"abord retrouver un résultat bien connu : a c b d = det(u1;u2)= det(a:e1+b:e2;c:e1+d:e2)B

= 0+adbc+0 =adbcCours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

1-6DéterminantsEn dimension 3, on peut utiliser la règle de Sarrus, qui se montre de la même façon, en n"oubliant pas

qu"elle n"estabsolument pas généralisableà un ordre autre que 3... a d g b e h c f i =aei+dhc+gbfcegf haibd

4.2. Déterminant d"une matrice triangulaire.Théorème :=

a 1x y

0a2::::::

::::::an1z 0 0an

=a1a2:::an1anDémonstration :On factorise para1, et, en enlevant le bon nombre de fois le premier vecteur aux

autres, on amène des 0 sur la première ligne et on obtient : a 1x y

0a2s t

::::::an1u 0 0an =a1 1x y

0a2s t

::::::an1u 0 0an =a1

1 0 0 0 0

0a2s t

::::::an1u 0 0an On recommence ensuite aveca2. On obtient ainsi de suite par une récurrence admise : =a1a2:::an1an 1 0 0 0 1 ::::::1 0 0 0 1 =a1a2:::an1an4.3. Développement suivant une ligne ou une colonne

La règle des signes est :

++ (1)n+1 ++ (1)i+j (1)n+1+

Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Déterminants1-7On remarque qu"on a (1)i+jeni`emeligne etj`emecolonne.

On développe suivant une ligne ou une colonne en tenant compte de la règle de signes (1)i+jaijijoù

a ijest le coecient de la matrice etijest le déterminant obtenu en enlevant la ligneiet la colonnej

correspondante. On admet ce résultat.Théorème :On peut développer selon lajèmecolonne :

=n Xquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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