[PDF] Changement de base CM et séries discr`etes - J.

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Changement de base CM et s´eries

discr`etes

J.-P. Labesse

Institut Math´ematique de Luminy

UMR 6206

1 Pr´esentation

SoitFun corps de nombres totalement r´eel etEune extension quadra- tique totalement imaginaire deF. On s"int´eresse aux groupes unitairesU relatifs `aE/F. L"objectif est d"´etudier le changement de base quadratique E/Fpour les repr´esentations automorphes deUqui sont cohomologiques aux places archim´ediennes. Cet article g´en´eralise des r´esultats et des techniques d´ej`a pr´esents dans [C3],[CL1] et [HL]. Contrairement aux articles pr´ec´edents, le th´eor`eme prin- cipal 5.1 ne fait appel `a aucune hypoth`ese suppl´ementaire de ramification, ni sur le groupeU, ni sur les repr´esentations aux places finies; toutefois nous supposerons queFest de degr´e au moins 2 surQ.1Pour les th´eor`emes de multiplicit´e un 5.4 et de stabilit´e 5.5, nous supposerons de plus que les repr´esentation sont non ramifi´ees `a toutes les places finies inertes. L"outil essentiel est la stabilisation d"une formule des traces tordue. Des progr`es spectaculaires ont ´et´e faits r´ecemment. La preuve du lemme fon- damental, due `a Laumon et Ngˆo pour les groupes unitaires [LN], a ´et´e

g´en´eralis´ee par Ngˆo `a tous les groupes r´eductifs; la variante pond´er´ee est

annonc´ee par Chaudouard et Laumon. Ces travaux, compl´et´es par ceux de Waldspurger ([W1] et [W2]), font que la stabilisation dans le cas non tordu, obtenue par Arthur [A6], est devenue inconditionnelle pour tous les groupes1 Les r´esultats principaux (section 5) devraient encore ˆetre vrais dans le casF=Q, mais ce cas n"est pas trait´e ici : il demanderait un travail suppl´ementaire (voir les remarques

3.12 et 5.2). Nous esp´erons y revenir dans un article ult´erieur.

1

1 Pr´esentation2r´eductifs. Toutefois la preuve de la stabilisation dans le cas tordu n"a pas en-

core ´et´e r´edig´ee en toute g´en´eralit´e, quoique le principal obstacle - `a savoir

le lemme fondamental tordu [W3], ainsi que sa variante pond´er´ee - soit lev´e. Nous proposons une version ad hoc de la stabilisation sous des hypoth`eses simplificatrices : en nous limitant au cas des repr´esentations automorphes ne faisant intervenir que des s´eries discr`etes aux places r´eelles pour un groupe unitaire nous donnons, pour le changement de base, une d´emonstration de la stabilisation pour la trace dans le spectre discret ind´ependante de la preuve du lemme fondamental pond´er´e. On en d´eduit des propri´et´es du changement de base sous la forme n´ecessaire pour les applications qui sont au coeur de ce livre. L"hypoth`ese queFest de degr´ed≥2 surQ, permet l"utilisation de la formule des traces simple et all`ege ainsi beaucoup les preuves et les pr´e-requis. On aurait pu, comme dans [BLS], se contenter d"utiliser la formule des traces sous sa forme primitive (non invariante) et ´eviter ainsi d"avoir recours `a la forme invariante de la formule des traces d"Arthur dont l"´etablissement est plus technique. C"´etait le point de vue adopt´e dans des versions ant´erieures de ce texte, mais d"une part cela alourdit un peu les arguments donn´es ici et d"autre part, puisque nous prenons la formule des traces comme donn´ee, cela n"aide en rien pour la compr´ehension des preuves; nous y avons renonc´e. Comme d´ej`a dit plus haut ce papier reprend des techniques famili`eres. Nous avons cependant fait des rappels assez longs pour le confort du lecteur inexp´eriment´e, la litt´erature sur le sujet ´etant vaste et parfois difficilement p´en´etrable, mais aussi pour fixer les notations. Nous ferons ces rappels dans le cadre d"un espace tordu sous un groupe r´eductif g´en´eral mais nous donnerons la forme explicite des divers objets pour les cas utiles dans nos applications. Nous avons propos´e des preuves aussi ´el´ementaires que possible et, sauf dans le dernier paragraphe, nous n"avons fait appel qu"a des r´esultats as- sez anciens d"Arthur concernant la formule des traces. De mˆeme en ce qui concerne le transfert et le lemme fondamental nous avons indiqu´e, chaque fois que cela ´etait possible, des arguments anciens et plus ´el´ementaires que ceux r´ecemment obtenus par Laumon, Ngˆo et Waldspurger.

2 Groupes et espaces en question32 Groupes et espaces en question

2.1 Groupes unitaires et espaces associ´es

Les exemples essentiels pour toute la suite sont les suivants. SoitFun corps de nombres totalement r´eel etEune extension quadratique totalement imaginaire deF. Soitαnl"automorphisme non trivial deGL(n) qui fixe l"´epinglage canonique : n(x) =Jntx-1J-1n avecx?→txla transposition et J n=( (((0···0-1

0···1 0...···......

(-1)n···0 0) Soitx?→xl"automorphisme non trivial du groupe de Galois deE/F. Le groupe G n= ResE/FGL(n) admet un automorphismeθnd"ordre 2 : n(x) =αn(x).

On notera

?Gnl"ensemble d´efini par la classe deθndans le groupe produit semi-directGn?< θn>:

Gn=Gn?θn.

C"est un espace tordu suivant la terminologie de [Lab5] rappel´ee ci-dessous. On noteU?n=U?(n,E/F) le sous-groupe des points fixes deθndansGn. C"est le groupe unitaire quasi-d´eploy´e attach´e `aE/Fen dimensionn. On noteraUnune forme int´erieure deU?n. Pour all´eger les notations on omettra parfois les indicesnsi le contexte est clair.

2.2 Espaces tordus

Pour l"´etude de la formule des traces tordue, qui est l"outil essentiel de cet article, il est commode d"utiliser le langage des espaces tordus introduit

2 Groupes et espaces en question4dans [Lab5]. Cela permet en particulier de traiter de mani`ere uniforme le cas

tordu et le cas ordinaire c"est-`a-dire le cas d"un groupe. C"est une variante du point de vue utilis´e par Arthur, dans [Ar2] par exemple, o`u il d´eveloppe la formule des traces invariante pour une composante non neutre d"un groupe non connexe. Rappelons qu"un espace tordu (dans la cat´egorie des ensembles) est la donn´ee d"un groupeG, d"unG-espace principal homog`ene?G`a gauche et d"une application?Ad :?G→Aut(G) qui estG-´equivariante c"est-`a-dire que pour toutx?Get toutδ??Gon a

Ad(xδ) = Ad(x)◦?Ad(δ)

o`u Ad(x) est comme d"habitude l"automorphisme int´erieur d´efini parx. Choi- sissons un ´el´ementδ0de?Get posons

θ=?Ad(δ0)?Aut(G).

On d´efinit une action `a droite deGsur?Gen posant xδ

0y=xθ(y)δ0,

ce qui fournit une action par conjugaison deGsur?Get la notion de classe deG-conjugaison dans?G. Ces actions sont ind´ependantes du choix deδ0. On a un isomorphisme d"espace tordus

G?G?θ?G?Aut(G)

d´efini parxδ0?→x?θpourx?G, mais en g´en´eral cet isomorphisme d´epend du choix deδ0. En identifiant, via cet isomorphisme,Get?G`a des sous-ensembles du groupeG?Aut(G) on a

0xδ-10=θ(x).

On appellera repr´esentation d"un espace tordu dans un espace vectoriel Vla donn´ee d"un couple (?π,π) o`u?πest une application ?π:?G→GL(V)

2 Groupes et espaces en question5etπune repr´esentation deGdansV:

π:G→GL(V)

v´erifiant pourx,y?Getδ??G ?π(xδy) =π(x)?π(δ)π(y). La donn´ee de?πd´etermineπ: on dira queπest la restriction de?π`aG. Si Vest un espace de Hilbert on dira que?πest unitaire si?πprend ses valeurs dans le groupe unitaire deV. Les repr´esentationsπque nous rencontrerons seront soit unitaires soit de dimension finie; dans tous les cas le lemme de Schur sera valable. On dira que?πestG-irr´eductible siπest irr´eductible. Dans ce cas on a

π(θ(x)) =?π(δ0)π(x)?π(δ0)-1

et donc et on dit queπestθ-invariante (ouθ-stable). R´eciproquement, dire que l"au- tomorphismeθpr´eserve une repr´esentation irr´eductible (π,V) signifie qu"il existe un op´erateurIθ?GL(V) tel que I

θπ(x) =π(θ(x))Iθ.

Ceci permet de prolongerπen une repr´esentation?πde?Gen posant ?π(xδ0) =π(x)Iθ; toutefois un tel prolongement n"est pas canonique carIθn"est d´efini parπ qu"`a un scalaire pr`es.

2.3 Cas des groupes r´eductifs

On d´efinit de mani`ere analogue la notion d"espace tordu dans la cat´egorie des vari´et´es alg´ebriques. Par un abus de notation classique on notera par la mˆeme lettre une vari´et´e alg´ebrique et son ensemble de points sur une clˆoture alg´ebriqueFchoisie une fois pour toutes.

2 Groupes et espaces en question6Dans toute la suiteGsera un groupe r´eductif connexe d´efini sur un corps

de nombresFet?GunG-espace tordu. Nous supposerons donn´e un isomor- phisme, d´efini surF?G→G?θ o`uθest unF-automorphism deG. On choisitθde sorte qu"il pr´eserve un sous-groupe paraboliqueP0et un sous-groupe de LeviM0?P0minimaux surF. On notera le plus souventδ0(mais aussi parfoisw0) l"´el´ement de?G(F)

image r´eciproque de 1?θpar l"isomorphisme. On dispose de l"espace tordu?G(AF) des points ad`eliques de?G. Tout ´el´ementy??G(AF) est de la forme

y=xδ0 avecx?G(AF). On noteAGle tore d´eploy´e maximal de la restriction des scalaires `aQ du centreZGdeG. On noteAGla composante neutre deAG(R) etaGson alg`ebre de Lie. On suppose que l"automorphisme induit parθsurAGest d"ordre fini. On noteraAeG(resp.aeG) le sous-groupe (resp. la sous-alg`ebre) des points fixes sousθdansAG(resp.aG). On dit qu"un ´el´ementδ??Gest semi-simple si?Ad(δ) est un automor- phisme semi-simple. On noteraGδson centralisateur etIδle centralisateur stable [Lab5, D´efinition II.1.3] qui est un sous-groupe deGδcontenant sa composante neutre. Dans les exemples ci-dessous on auraIδ=Gδle cen- tralisateur d"un ´el´ement semi-simple ´etant connexe. On dit qu"un ´el´ement δ??G(F) est elliptique (cf. [Lab5, section IV.1]) si il est semi-simple et si de plusAIδ=AeG. Les groupes ad`eliques seront munis de la mesure de Tamagawa et on noteraτ(G) le nombre de Tamagawa deG. Les centralisateurs stables des ´el´ements semi-simples ´etant quasi-connexes (au sens de [Lab4]) mais non connexes en g´en´eral il est n´ecessaire de g´en´eraliser la notion de mesure de Tamagawa pour de tels groupes; c"est ce qui est fait dans [KS] pour les centralisateurs des ´el´ements fortement r´eguliers (ce sont des groupes diago- nalisables) et dans [Lab4] pour le cas g´en´eral. Mais, dans les exemples qui nous occuperons ici, ce sera inutile les centralisateurs ´etant connexes. Pour les applications que nous avons en vue ici on aura soit (A) ?G=?Gn=Gn?θ,G=Gn,θ=θn soit (B) ?G=G=U,θ= 1.

3 Formule des traces7On rencontrera aussi des produits d"espaces tordus et de groupes d"un des

types ci-dessus. Dans tous les casδ0= 1?θ. Dans ces exemples les centralisateurs des ´el´ements semi-simples sont con- nexes et le groupeAeGest trivial. En particulier, un ´el´ement semi-simple est elliptique si son centralisateur poss`ede un tore maximal anisotrope.

3 Formule des traces

3.1 Le noyau int´egral de la formule des traces

On reprend les notations du cas g´en´eral au paragraphe 2.3. L"espace ho- mog`ene X

G=AGG(F)\G(AF)

est de volume fini; il est compact siGder, le groupe d´eriv´e, est anisotrope. La repr´esentation r´eguli`ere gaucheρdeG(AF) dansL2(XG) admet un pro- longement naturel en une repr´esentation?ρde?G(AF); elle est d´efinie par ?ρ(gδ0)?(x) =?(θ-1(xg)) pour??L2(XG),g?G(AF),δ0??G(F),θ=?Ad(δ0) etx?XGce qui peut aussi s"´ecrire ?ρ(y)?(x) =?(δ-10xy) siy=gδ0. La repr´esentation?ρest ind´ependante du choix deδ0. Une repr´esen- tation automorphe irr´eductibleπdu spectre discret, c"est-`a-dire r´ealis´ee dans un sous-espaceG(AF)-invariant deL2(XG), et qui est de plusθ-invariante, admet un prolongement canonique?π`a?G(AF), dit prolongement automorphe, par restriction de?ρ`a l"espace deπ. On consid`ere une fonctionφ? C∞c(?G(AF)) et l"op´erateur?ρ(φ) d´efini par la repr´esentation r´eguli`ere gauche de ?G(AF) dansL2(XG). L"op´erateur?ρ(φ) est donn´e par le noyau int´egral

K(x,y) =?

z?AG?

δ?eG(F)φ(x-1δ z y)dz .

LorsqueXGest compact la formule des traces est l"´egalit´e entre l"int´egrale sur la diagonale du noyau que l"on peut d´evelopper en une somme index´ee par les classes de conjugaisons dans?G(F), appel´ee d´eveloppement g´eom´etrique,

3 Formule des traces8et d"autre part la trace de?ρ(φ) d´evelopp´ee suivant la d´ecompositions spectrale

deL2(XG). Dans le cas g´en´eral o`uGdern"est plus n´ecessairement anisotrope, la for- mule des traces est l"´egalit´e du d´eveloppement g´eom´etrique et du d´evelop- pement spectral pour la "trace renormalis´ee" de cet op´erateur. Du point de vue g´eom´etrique une renormalisation est n´ecessaire car l"int´egrale du noyau sur la diagonale est divergente. Du point de vue spectral une renormalisation est n´ecessaire car l"op´erateur?ρ(φ) n"est tra¸cable que dans le spectre discret. Or la d´ecomposition spectrale comporte en g´en´eral un spectre continu. La renormalisation se fait au moyen de troncatures qui d´ependent de divers choix : outre le choix d"un sous-groupe de Levi minimalθ-invariant M

0, il convient de choisir un bon sous-groupe compact maximalK. Cette

d´ependance implique que la distribution obtenue n"est pas invariante par conjugaison. Pour pallier cet inconv´enient un avatar invariant de cette distri- bution a ´et´e construit par Arthur (cf. [Ar2]). La preuve dans le cas tordu en est d´esormais inconditionnelle grˆace au th´eor`eme de Paley-Wiener scalaire tordu de Delorme et Mezo [DM]. On noteraTeG(φ) cette trace renormalis´ee (elle est not´eeIeG(φ) chez Arthur). On renvoie le lecteur `a [Ar5] pour une introduction d´etaill´ee.

3.2 Termes g´eom´etriques

Le d´eveloppement g´eom´etrique pour la trace renormalis´ee est donn´e par l"int´egrale du noyau sur la diagonale mais dont on a retranch´e des contre- termes pour la rendre convergente puis invariante. Il est la somme de deux termes :

TeG(φ) =TeGe(φ) +TeGne(φ)

Le premier termeTeGe(φ) est la contribution des ´el´ements elliptiques, le second est la contribution des ´el´ements non elliptiques. Le termeTeGe(φ) est la distribution invariante d´efinie par l"int´egrale ab- solument convergente sur la diagonale de la partie du noyau donn´ee par la somme sur l"ensemble?G(F)edes ´el´ements elliptiques dans?G(F) : T eGe(φ) =? X G( A G?

δ?eG(F)eφ(x-1δ z x)dz)

dx .

3 Formule des traces9On pose

0(δ) =?

A eGφ(δ z)dz et O I

δ(AF)\G(AF)φ(x-1δ x)dx

d´esigne l"int´egrale orbitale. Un calcul ´el´ementaire (voir par exemple [Lab3,

4.1]) montre que

Proposition 3.1:

T eGe(φ) =J(?G)?

δ?eGea

eG(δ)Oδ(φ0) o`u

?Geest un ensemble de repr´esentants des classes de conjugaison dans?G(F)e. Le nombreaeG(δ) est d´efini par

a eG(δ) =ι(δ)-1vol (AeGIδ(F)\Iδ(AF)) o`uι(δ) est l"ordre du quotientGδ(F)/Iδ(F); enfin

J(?G) =|det (θ-1|aG/aeG)|.

Dans les exemples qui interviendrons dans la suite, le groupeAeGest trivial et comme de plus les centralisateurs sont connexes, on aura donc simplement T eGe(φ) =J(?G)?

δ?eGeτ(Iδ)Oδ(φ).

On prendra garde que le facteurJ(?G) n"apparaˆıt pas dans les formules d"Arthur par suite d"un choix l´eg`erement diff´erent de l"op´erateur dont on calcule la trace renormalis´ee. Nous suivons ici les conventions de [KS], [Lab3] et [Lab5]. Le second termeTeGne(φ) fait intervenir les avatars invariants des int´egrales orbitales pond´er´ees des ´el´ements semi-simples non elliptiques et des variantes d"icelles pour les ´el´ements ayant une composante unipotente non triviale. Nous n"en donnerons pas l"expression ici; pour son ´etude nous renvoyons le lecteur `a [Ar5] par exemple. Pour les applications que nous avons en vue on choisira des fonctionsφtelles que ce second termeTeGne(φ) soit nul.

3 Formule des traces103.3 Termes spectraux

L"expression spectrale pour la trace renormalis´ee comporte une partie discr`ete et une partie continue T eG(φ) =TeGdisc(φ) +TeGcont(φ). Dans les applications que nous avons en vue nous choisirons des fonctions φtelles que la partie continue, qui est l"avatar invariant d"une expression faisant intervenir des int´egrales de caract`eres pond´er´es, sera nulle : T eGcont(φ) = 0. Ici encore on renvoie le lecteur `a [Ar5] pour une ´etude de ces termes. La partie discr`eteTeGdiscest une distribution qui contient, entre autre, la trace dans le spectre discret. T eGG,disc(φ) = trace??ρ(φ)|L2disc(XG)?=? eπ?Πdisc(eG)m(?π) trace?π(φ) o`u Π disc(?G) est l"ensemble des classes d"´equivalence de repr´esentation?πde l"espace tordu ?G(AF) dont la restrictionπ`aG(AF) reste irr´eductible et qui interviennent dans le spectre discret L

2disc(XG).

En effet, seules les repr´esentations?πqui par restriction `aG(AF) restent irr´eductibles donnent une contribution non triviale. Enfinm(?π) est la multi- plicit´e de?πdans le spectre discret. Nous avons omis la sommation partielle - utilis´ee chez Arthur - suivant les modules des caract`eres infinit´esimaux `a l"infini, d´esormais inutile puisque, grˆace `a M¨uller, nous savons que le spectre discret est tra¸cable et donc la s´erie est absolument convergente [M¨u]. En fait grˆace aux travaux r´ecents de Finis, Lapid et M¨uller on sait maintenant que le d´eveloppement spectral tout entier est absolument convergent. Remarque 3.2:Soit?πune repr´esentation de?G(AF) dont la restrictionπ`a G(AF) reste irr´eductible. Si on notem(π) la multiplicit´e deπdans le spectre discret, on a

3 Formule des traces11Comme n"y a pas unicit´e du prolongement deπ`a?G(AF) il n"est pas clair

`a priori que l"on ait l"´egalit´em(?π) =m(π) sauf bien entendu siG=?Gou [Lab3, section 4.4, pages 106-107] pour une discussion de cas plus g´en´eraux. D"autres termes discrets, quoique provenant du spectre continu, peuvent apparaˆıtre dans la trace renormalis´ee; nous allons les d´ecrire. On noteL0 l"ensemble des sous-groupes de Levi deGcontenant le sous-groupe de Levi minimalθ-invariante fix´eM0. On noteWeGl"ensemble de Weyl de?Gc"est-`a- direWG?θ. SoitM? L0un sous-groupe de Levi deG; on noteraWeG(M) le quotient de l"ensemble dess?WeGtels ques(M) =MparWM, le groupe de Weyl deM. On observera queWG(M) est un groupe. On noteraWeG(M)reg le sous-ensemble desstels que det (s-1|aM/aG)?= 0. On fixe un tels, et soitQun sous-groupe parabolique deG, admettantM comme sous-groupe de Levi. Nous allons rappeler la d´efinition de l"op´erateur d"entrelacementMQ|s(Q)(0) et de l"op´erateurρQ(s,0,φ) utilis´es par Arthur dans [Ar2,§4]. Soit?une fonction surG(AF) invariante `a gauche par Q(F)N(AF) et telle que pour toutx?G(AF) la fonction m?→?(mx) soit une forme automorphe du spectre discret deM. On pose, avec des no- tations standard,

λ(x) =e<λ+rQ|HQ(x)>?(x)

o`urQest la demi-somme des racines positives pourQ. On noteraVQ(λ) l"espace des?λ. Soitwsun repr´esentant desdans?G(F). Par abus de notation on notera encoresl"automorphisme deMd´efini parws. Arthur introduit [Ar2, p 516] un op´erateurρQ(s,λ,y) qui envoieVQ(λ) dansVs(Q)(s(λ)) :

Q(s,λ,y)?λ(x) =?λ(w-1sxy).

On d´efinit un op´erateur entreVQ(λ) etVQ(s(λ)) en le composant avec l"op´era- teur d"entrelacement usuelMQ|s(Q)(s(λ)) (cf. [Ar1, p. 1292]) : M

Q|s(Q)(s(λ))ρQ(s,λ,y)?λ(x) =?

N s(AF)?

λ(w-1snsxy)dns

3 Formule des traces12o`u

N s=N∩s(N)\N . L"int´egrale ne converge que pourλdans le translat´e d"un cˆone mais admet un prolongement m´eromorphe qui, d"apr`es [Langlands2], est holomorphe en λ= 0. On obtient ainsi un endomorphisme deVQ(0) qui, par int´egration contreφfournit l"op´erateur M

Q|s(Q)(0)ρQ(s,0,φ).

On pose

T eGM,disc(φ) =? s?WeG(M)reg|det (s-1|aM/aG)|-1trace (MQ|s(Q)(0)ρQ(s,0,φ)). L"´enonc´e suivant est emprunt´e `a [Ar2,§4] (voir aussi [Ar5] pages 133 et 237). Proposition 3.3:La partie discr`ete de la formule des traces d"Arthur peut s"´ecrire : T eGdisc(φ) =?

M?L0|WM||WG|TeGM,disc(φ)

ou si on pr´ef`ere T eGdisc(φ) =?

M?L0/WG1|WG(M)|TeGM,disc(φ)

o`u la somme porte sur un ensemble de repr´esentants des orbites deWGdans L 0. Comme pour le d´eveloppement g´eom´etrique, notre formule et celle d"Ar- thur, diff`erent par le facteurJ(?G). En effet, le d´eterminant de (s-1) est calcul´e chez Arthur sur le quotientaM/aeGalors que nous le calculons sur le quotientaM/aG.

3.4 Normalisation d"Arthur

SoitπMune repr´esentation automorphe deMappartenant au spectre discret. Soit comme ci-dessus un sous-groupe paraboliqueQde LeviMet de

3 Formule des traces13radical unipotentN. On noteraVQ(λ,πM) le sous-espace deVQ(λ) form´e des

fonctions?λo`u?est telle que pour toutx?G(AF) la fonction m?→?(mx) soit une forme automorphe de l"espace deπM. Supposons que l"op´erateur M

Q|s(Q)(0)ρQ(s,0,y)

laisse stableVQ(0,πM). C"est le cas si et seulement siπMests-invariante, c"est-`a-dire que l"automorphismespr´eserve l"espace deπMet s(πM)?πM. En d"autres termes,πMse prolonge, au moyen du prolongement automorphe, en une repr´esentation ?πMde?Ms(AF) o`u?Msest l"espace tordu engendr´e par Metws. Seules de telles repr´esentations peuvent fournir une contribution non triviale `a la formule des traces. On notera alors I

Q(?πM)(y)

la restriction de l"op´erateur ci-dessus `aVQ(0,πM). Nous dirons que la repr´e- sentationIQ(?πM) de?G(AF) ainsi obtenue est d´efinie au moyen de la norma- lisation d"Arthur. Il convient parfois de remplacer l"op´erateur d"entrelacement qui intervient dans la d´efinition de l"op´erateurIQ(?πM)(y) par un op´erateur normalis´e de sorte que I

Q(?πM)(y) =n(?πM)RQ(?πM)(y)

o`un(?πM) est un facteur de normalisation. (C"est n´ecessaire par exemple si on souhaite utiliser des op´erateurs locaux satisfaisant de bonnes ´equations fonctionnelles; voir par exemple [Ar4,§2]). Ce qui pr´ec`ede nous permet de reformuler la proposition 3.3 : Proposition 3.4:La partie discr`ete du d´eveloppement spectral de la formule des traces est donn´ee par T eGdisc(φ) =?

M?L0/WG?

s?WL(M)reg? g

πM?Πdisc(fMs)a

eG disc,fMs(?πM) traceRQ(?πM)(φ)

3 Formule des traces14avec

a eG disc,fMs(?πM) =m(?πM)n(?πM)|det (s-1|aM/aG)| |WG(M)| o`u Πquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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