[PDF] Les principes en mécanique des milieux continus





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Géométrie dans un repère 1. Repères et coordonnées dans le plan

distance est l'unité de cet axe. Définition. On considère un repère du plan et un point quelconque. • En traçant la parallèle à.



VECTEURS ET REPÉRAGE

Repère orthonormé. ?. O ?. Repère quelconque. ?. ? Définition : Soit deux vecteurs H? = . ? et ? -.



Repérage Problèmes de géométrie

Figure 5 – Des repères particuliers. 4. Page 5. Définition : Soit (OI



REPERAGE I Repérage sur une droite Définir un repère sur une

Dans le repère ( O I ) le point M a pour abscisse 5 et le point N a pour a) Repère quelconque : Le triangle OIJ est quelconque ... 1°) Définition.



Les principes en mécanique des milieux continus

R (t) étant une rotation fonction quelconque du temps. Tl' qui sera à la fois repère de définition et repère d'expres-.



2 Géométrie dans un repère

Si (OI) ? (OJ) et OI = OJ (c'est-à-dire si le triangle. OIJ est rectangle et isocèle en O) on dit que le repère. (O



Repère et coordonnées

Définir un repère du plan c'est choisir 3 points non alignés



Coordonnées dans un repère 1 Coordonnées dun point

Définition 1 Deux axes gradués de même origine et perpendiculaires définissent un Propriété 1 Dans un repère quelconque soit A et B deux points de ...



Généralités sur les matériaux composites

Apr 6 2010 ou les déformations dans un repère quelconque. ... Par définition



LES VECTEURS

Définition : Soit M un point quelconque d'un repère (O ?



1ère S Le plan muni d’un repère

On appelle repère (cartésien) du plan tout triplet O i j où O est un point fixé du plan et i et j deux vecteurs non colinéaires du plan 3°) Différents types de repère On distingue 3 types de repère (selon le maillage obtenu) : O On obtient O O Repère quelconque ou repère oblique (repère « penché ») La maille est un



Géométrie dans un repère 1 Repères et coordonnées dans le plan

Soit un repère Si le triangle est rectangle en on dit que est un repère orthogonal Si le triangle est rectangle et isocèle en on dit que est un repère ortho-normal ou orthonormé Les axes du repère sont perpendiculaires et l’unité est la même sur les deux axes



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- Un repère est dit orthogonal si !? et &? ont des directions perpendiculaires - Un repère est dit orthonormé s’il est orthogonal et si !? et &? sont de norme 1 Repère TP info : Lectures de coordonnées : http://www maths-et-tiques fr/telech/Lecture_coord pdf Partie 2 : Coordonnées d’un vecteur Exemple :

Quelle est la notion de repère?

Notion de repère. On se limitera ici aux repères cartésiens. Pour repérer un point dans le plan ou l'espace, et donc pour faire un calcul de distance ou plus généralement du calcul vectoriel, il est indispensable de fixer un repère. En physique, on utilisera principalement les repères de type "orthonormé".

Quelle est l’unité d’un repère?

Les axes du repère sont perpendiculaires et l’unité est la même sur les deux axes. Géométrie dans un repère –Classe de Seconde Page 2

Qu'est-ce que le repère?

Repère est un nom masculin qui désigne une marque servant à retrouver un lieu ou à se situer. Dans son sens figuré, repère indique ce qui permet de retrouver quelque chose dans un tout, comme dans la locution point de repère. Les mots repérer, repéré, repérage et repérable sont dérivés de repère.

Quelle est la différence entre un repère et un point ?

On note ce repère et : le point est l’origine du repère ; l’axe orienté de vers est l’axe des abscisses et la dis-tance est l’unité de cet axe ; l’axe orienté de vers est l’axe des ordonnées et la distance est l’unité de cet axe. Définition. On considère un repère du plan et un point quelconque.

Communication

présentéeauComitéTechnique delaSociétéHydrotechniquedeFrance le19mars1970 LES

PRINCIPESENMÉCANIQUE

DESMILIEUXCONTINUS

PRINCIPED'ISOTROPIEDEL'ESPACE

D'OBJECTIVITÉ,

DESREPÈRESRHÉOLOGIQUES

PARP.ANGLÈSD'AURIAC*

Principe

despropriétéslocales

Principe

d'isotropie del'espace locales.Cetteloi peutfaireintervenirladéformationetla d'unmêmecorpsidentiquespar contrainte.

LepremiersuituncheminT

(t)auquelcorrespondleche minC (t),lesecondTauquelcorrespondC'.

Leprincipeaffirmequesil'ona :

T'=TR o

C'estpourquoi

del'espace.Ilest connudepuisfortlongtempssousle nomdeprinciped'isotropiedel'espace.

Conséquence.

savoirlatransformationidentique; ilenrésulterapourC part dupointCopourt=O. rotationinstantanéeRosuivieducheminT : (3)(2) T=R.T

C'=R.C.R-l

onaaussi: l'espacedesCestdéterminé. déterminées parT. culiers. ponctuelle. mationsàvolumeconstant,etc. (l) loidecomportement. de: avons:

*ProfesseuràlaFacultédesSciencesdeGrenoble.Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1970029

P.ANGLÈSD'AURIAC

:E'etT'avec:

C'=RoCRo-l

(8)

Ilenrésultequ'autemps0nousavons:

aétantlarotationRo

Enportantcesexpressionsdans

(7)ilvient:

D'oùl'énoncé:

rotation instantanéedelacontrainte. (8) (9) (9)C/!.:'C'=(T'i'j') repère ol N#A: qu'ellereste "formellement»lamême. Si pliqueaussibien dansOlquedansol

Ellemontresim-est

identiquedansOletol

Appelonscecil'énoncé

El.

Leprinciped'isotropiedel'espacea

pourconséquence qu'uneloide comportementnepeutpasfaireintervenir derepère Ol o définiapriori.

EneffetsiuntelOl

o existait,soitoletol deuxrepères d'expressioncoïncidant

àl'instantinitialetmobilesl'un

àol

n'estpaslemêmequelemouvementdeOl o par etol doncOl o nepeutintervenir.

Réciproque.

faitpasintervenirderepèredéfini apriori,ellesatisfait auprinciped'isotropie del'espace.

Exemples.

deT à Cdevientponctuellesinoussupposonscetterelation linéaire. rons

écrire:

sairement parlesloisdelavariance(orthovariance,co= contra) etcelaquellequesoitlaloidumatériau.

Onexprimeparfoiscefait

endisantqueetsont formellementlesmêmes.

Supposons

Prenons

pourcetterotationleRdesformules(2)et(3).

Onvoitquel'expressiondeT'dansol

estidentiqueà l'expressiondeTdansol;demêmeC'dansol amême expressionqueCdans ol. cer:Larelationfonctionnelle: (7)(5) (4)T'=TR o lI.C'=lI.C

Autreexpressiondel'isotropied'uneloi.

sià: faitR (t)=Cte=-=Roilvient: tandis queR,de(2),estunefonctiondutemps. On isotropie peutavoirlieuounon.

Lefait

que o

Onpeutconclure:

sià: entraîne: auprécédent.

Isotropied'uncorps.

contrainteCo.Soittoujoursdeuxéchantillonsdece corps identiques pardéfinition. Le croissement decontrainte lI.C(t)aveclI.C= C -Co.Le second:T'etlI.C'.

Onditquelecorpsauneloiisotropesi:

Changementderepère.

Introduisonsmaintenantdesrepères,

tousorthonormés. décalésde larotationRo.

Si,dans

ollaloidecomportements'écrit: 428
iso A'=A. et linéaire: (9bis) mationpure.

Prenonsdeux

tial. repères.Or,quand lR'atournéparrapportàlR,Set@ l'ontire

A'=A.D'oùcetteconclusionqu'uneloide

viscosité tropiedel'espace.

Sétantundéviateur,

onendéduitqueAestunsimple scalaire(viscositénewtonienne).

L'impossibilitéde

(9bis)pourAnonisotropesevoit "réci

Principed'objectivité

quelachosedécriterestelamême. pas acception tropiedel'espace.

Unedéfinitionclassiqueestlasuivante:

E 2 quiexclutl'interventiondu mouvementd'untrièdredéfini En tivitéausenslarge.Mais sionnelasous-entendpas, lesdeuxidéescontenuesdansle motobjectivitéetnous lesystèmederéférencen'agitpas surcequ'onrepèreet cequ'ilcontient.

LAHOUILLEBLANCHE/N°5-1970

différentescontenuesdanslemot "objectivité»sontl'une etl'autreexactes.

Grandeursobjectives.

différentes:soit définirdesgrandeursphysiques,soitles exprimer(parleurscomposantes). certaintrièdreditfixe.Soit

Tl'Pourexprimercette

vitesse, sion. autrerepère mobileparrapportàTl.Lachoseest fréquenteenmécanique.

Sinouschangeonslerepèred'expressionT

sanschan gerlerepèrededéfinition

Tl,nousnechangeonspasla

vitesse,maissimplementleprocédé pourladécrire. nie selonlerepèrequisertàladéfinir.

Cecise

produitdansdeuxcas: nition. tives. Mais ves,

Parlonsdesnaturellementobjectives:

Lamasseestobjec

tensorielles decontact. estobjectif.

Uneforcedited'inertien'estpasobjective.

Touteslestransformationslinéaires

d'unespaceenlui sontdestenseursobjectifs.Car, pardéfinition,onprendle

Définissonsvitessedetransformation

par:

Appelons:

fixe: mobile; fixe,exprimédans lemobile. (10) expressiondanslesdeuxrepères).

Cetteformulemontreque'0

jj n'estpasobjectifàcause du termeen'0 jj adoncbesoind'unrepèrededéfinition.

P.ANGLÈSD'AURIAC

pure par: @..=@..-1-OY';)

1)JI2oX;OXj

Ona alors: (11)

Repèrerhéologique

qu'elleneseréduitpasà @,quecettedérivée,ellenon plus,n'estpasobjective.

Donnonsmaintenantdesexemplesdelois

pourillustrer tivité.

Ssadéri

vée parrapportautemps,

Exemples.

Considéronsl'équation:

danslaquelle: (17) (15) w..=1.-(0'\7';_0'\7';) lJ2 \oX;OXj raisondel'isotropiedel'espace,mais toutsimplement parcequ'elleestcontradictoire. unrepèrequelconqueR (orthonormé) parY j (x;,t). mationpure. quel'onconservelanotiondetransformation continuese faisant males.

Ondiraalors:unrepèreestrhéologique

silestrans engénéralirrotationnelles.

Toutrepèreattachéàunpoint

matérielet mêmerhéologique.

Iln'yaaucuneraison

pourqu'ilexisteunmêmerepère dérés. pasdéfinis apriorimaisparlemouvementlui-même. danslequel repèreestdéfini. défini apriori. (15) ontrouve: (19)(18) portaurepèred'expressiondelaloi. senteladérivéedeSdéfiniedans

R'etexpriméedansR.

C'estàcetitrequ'ilfautlarejeter.

Considéronsmaintenant

l'équation: précisant lerepèredanslequelonladéfinit. gique. lerepèrerhéologiquechoisi.

Leproblèmeseposed'écriredans

unrepèred'expression de définitionrhéologique.

Ondémontrequecetteexpression

est: et autempsparunpoint (cr).Ondémontrelaformule:

DérivéedeJaumann.

L'existencedutermeen

'\7dans(12)montrequela (naturellement).

OEU-1-l(aV"_OV;)

2OXjOXA'

430
(20) fonctionnelle deTàC,ilimportedevoirquellecondi tionimpose Tdoit symétriques. que.Illeserait pourdesdéformationspuresayanttoutes mêmesdirectionsprincipales. compliquée: dTXT-l=symétrique

Malgrécela,

unexemple.

Or,l'écriture

laloi physique. est unesimplequestiondemathématique. mathématique. Ily adoncintérêtàécrirelaloiendeuxétapespour riencesfictives résulte pourtelleautregrandeur.Onexaminealorsce jevoudraisdireàquoiilsneserventpas. newtonien,ily adeuxfaçonsdenepasl'être: mationetcontrainte; -oubienlarelationestfonctionnelle. Si Si

élasticité,

vousrisquezd'écriredesbêtises. Si commerepèresrhéologiques.»

LAHOUILLEBLANCHE/N°5-1970

blable.

Biensouvent,ceprocédésuffit

pourécarterdeslois quel'onavaitenvisagées apriori. mentplusfacileàfaire enrepèresrhéologiques. Mais, ily aaussilesexpériencesréelles.Pourcelles-ci, ilfautdistinguerdeuxcas: l'espace(éprouvettehomogène),alors onatoutintérêtà façonpluscompliquée; -Deuxième cas:expenencecomplexe.L'étatn'est pashomogène(appareildeWeissemberg,quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44
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