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Géométrie affine

Peter Haïssinsky, Université de Paul Sabatier

2014-2015

L"objet de ce chapitre est de mettre en place la géométrie euclidienne à partir de l"algèbre linéaire.

Dans un premier temps, on se concentre sur la notion d"espaces affines, dans lequel on peut parler

d"alignement, de parallélisme, de barycentre, de convexité et d"intersection de sous-espaces (affines). Un

espace affine peut être vu comme un espace vectoriel "dont on a oublié l"origine».

Ensuite, cette notion est décorée par l"ajout d"un produit scalaire pour aboutir à la notion d"espace

affine euclidien. On peut ainsi parler d"angles et de distances.

1 Introduction

On se donne un espace vectoriel

!Ede dimension finiensur un corps commutatifKque l"on peut penser comme étantRouC. Dans la suite, on mettra une flèche sur les données vectorielles. Définition 1.1 (Espace affine).-Un espace affine de direction!Eest un ensemble non videAmuni

d"une applicationqui à chaque bipoint(A;B)deA, associe un élément de!E, noté!ABvérifiant les

deux propriétés suivantes: (A1) pour tousA;B;C2A, on a!AB +!BC =!AC(relation de Chasles); (A2) pour toutA2A, pour tout~v2!E, il existe un unique pointB2Atel que!AB =~v.

L"espace vectoriel

!Eest appelé direction de l"espace affineA. La direction deAest souvent notée~A.

Ladimension d"un espace affineest la dimension de l"espace vectoriel qui lui est associé. En particulier

un espace affine de dimension1est appelédroite affine, un espace affine de dimension 2plan affine.

La propriété (A2) assure, pour tout pointAet tout vecteur~u, l"existence et l"unicité d"un pointB

vérifiant!AB =~u, que l"on nommetranslaté deApar~u; on écritB = A +~uou~u= BA. Étant donné

un vecteur~ude!E, l"applicationT!uqui à un pointAdeAassocie son translaté par le vecteur~uest appeléetranslation de vecteur~u. Exemple d"espace affine.-Tout espace vectoriel!Eest canoniquement muni d"une structure d"espace affine de direction!Epar:

E!E!!E

(v;w)7!wv: C"est, à isomorphisme près, le seul espace affine de direction isomorphe à !E. Il arrive d"ailleurs que ce que l"on a noté dans un espace affine!ABsoit notéBA, et quand cet

espace affine est un espace vectoriel muni de sa structure affine canonique, les notations sont cohérentes,

de même qu"avec la notation de Grassmann, qui donneB = A + (BA). Si!E =Kn, on noteAn(K)l"espace affine modelé sur!E.

Propriétés élémentaires.-Les propriétés suivantes découlent directement de la définition d"espace

affine, c"est-à-dire des axiomes (A1) et (A2). SoientAetBdeux points quelconques d"un espace affine ;

on a!AB =~0,A = Bet!BA =!AB.

On peut également généraliser la relation de Chasles à un nombre fini de pointsA0;:::;An:

A0An=nX

i=0!

Ai1Ai:

1 Université Paul Sabatier, 2014-2015, cours L2 spécial, Algèbre linéaire2

Repères cartésiens et affines.-Si on fixe un point origineO, par définition d"un espace affine, il

existe une applicationO:A!!Equi à un pointMdeAassocie le vecteur!OM. La propriété (A2) énonce que cette applicationOest bijective pour tout pointO. Cette correspondance permet donc,

par choix d"une origine, de munir (de façon non canonique) l"espace affineAd"une structure d"espace

vectoriel isomorphe à!E, dite structure vectorielle d"origineO, et que l"on note!EO. Cette opération est

lavectorialisationde l"espace affineA. L"étude des problèmes de géométrie affine se ramène souvent à

une étude en géométrie vectorielle, par choix convenable d"une origine de l"espace affine. Unrepère cartésiend"un espace affineAest la donnée d"une origineO2Aet d"une baseB= (e

1;:::;en)de son espace directeur!Ede sorte que pour toutM, il existex1;:::xntels que

OM =nX

j=1x jej:

Les scalaires(x1;:::;xn)s"appellent lescoordonnées cartésiennes du pointMdans le repère(O;e1;:::;en).

Unrepère affineest la donnée de(n+ 1)points(A0;:::;An)tels que(A0;!A0A1;:::;!A0An)est un repère cartésien.

Si les pointsAetBdeAont pour coordonnéesXetYrespectivement dans le repère(O;B), alors!ABa pour coordonnéesYXdansB.

Le repère affine(O;B)permet d"établir un isomorphisme (affine) entreAet l"espace affine canonique

A

n(K). En effet, l"applicationT :A!An(K)qui à un pointM2Aassocie ses coordonnées cartésiennes

Xdans le repère(O;B)remplit cette fonction.

Supposons que(O0;B0)est un autre repère cartésien deA. SoientO0= (o1;:::;on)les coordonnées

cartésiennes deO0etPla matrice de passage deBversB0. NotonsX;X02Knles coordonnées cartésiennes

d"un pointMdans les deux repères. En écrivant!OM =!OO0+!O0M, on trouve

X = PX

0+ O0:

Plus généralement, on dit que des pointsA0;:::;;Ansontaffinement indépendantssi les vecteurs!A0A1;:::;!A0Anforment une famille libre de!E. Notons que la relation de Chasles montre que la manière

de former les vecteurs ne comptent pas.

2 Sous-espaces affines

SoitAun espace affine de direction!E. Une partie non videFdeAest un sous-espace affine s"il existe

un sous-espace!Fde!Eet un pointA2Ftel queF = A +!F. Autrement dit, pour toutM2F, on a!F =f!AM;M2Fg. Ladimension deFest par définition la dimension de son espace directeur!F.

Cas particuliers.-Deux points distinctsAetBde l"espace affineAdéfinissent un sous-espace affine

de dimension1, la droite affine passant parAde direction la droite vectorielle engendrée par le vecteur!AB. Cette droite affine est l"unique droite passant parAetB. Trois points non alignésA,BetCde

l"espace affineAdéfinissent un sous-espace affine de dimension2, le plan affine passant parAde direction

le plan vectoriel engendré par les deux vecteurs non colinéaires!ABet!AC. Un hyperplan affine deAest

un sous-espace affine deAdont la direction est un hyperplan de!E.

2.1 Parallélisme

Il existe deux notions de parallélisme entre sous-espaces affines, l"une n"est valide qu"entre deux sous-

espaces de même dimension (deux droites, deux plans, etc.), l"autre est plus générale. SoientFetGdeux sous-espaces affines. On dit queFetGsont parallèles, ou parfoisfortement

parallèles, quand ils ont la même direction. On dit aussi queFest faiblement parallèle àG, quand la

direction deFest un sous-espace vectoriel de celle deG. Université Paul Sabatier, 2014-2015, cours L2 spécial, Algèbre linéaire3

La relation de parallélisme fort est une relation d"équivalence. La relation de parallélisme faible

n"est pas symétrique, mais reste réflexive et transitive (c"est un préordre).

L"axiome des parallèles (variante du cinquième postulat d"Euclide) - par un point il passe une et

une seule droite parallèle à une droite donnée - est une conséquence immédiate de la définition même

de sous-espace affine qui assure l"unicité d"un sous-espace affine passant par un point et de direction un

sous-espace vectoriel donné (une droite vectorielle en l"occurrence).

Deux sous-espaces affines parallèles (fortement) sont soit confondus, soit d"intersection vide. Un

sous-espace affine faiblement parallèle à un sous-espace affine est soit inclus dans ce dernier soit d"intersection

vide avec celui-ci.

2.2 Intersections de sous-espaces

Nous avons vu ci-dessus que deux sous-espaces affines parpallèles étaient soit confondus, soit disjoints,

de sorte que l"intersection de sous-espaces n"est pas toujours un sous-espace. Proposition 2.1.-SoitAun espace affine surKd"espace directeur!Eet soit(Ei)i2Iune famille de

sous-espaces affines deA(indexée par un certain ensembleI) ; si!Eidésigne pour toutil"espace directeur

deEialors\Eiest ou bien vide, ou bien un sous-espace affine deAdirigé par\!Ei. Démonstration. -Supposons que l"on aitF =\Ei6=?et prenonsAun point de l"intersection. CommeAappartient à chacun desEi, on aEi= A +!Eipour touti. Du coup, pour toutM2F, on a!AM2 \!Ei. Réciproquement, siMest tel que!AM2 \!Ei, alorsM2Eipour touti, doncM2F. Il

découleF = A +\!Ei.SiEAest une partie, il existe un plus petit espace affineFcontenantE: c"est l"intersection de

tous les sous-espaces affines contenantE. Cette intersection est non vide puisqu"elle contientE. On dit

queFestengendréparE. On écritF = A(E). SiEest un ensemble fini de cardinalk+ 1, alorsdimA(E)k, avec égalité si et seulement s"ils sont affinement indépendants.

2.3 Représentations de sous-espaces

On se donne un sous-espaceF = A +!F. On décrit deux représentations standard deFqui ont chacune

leur intérêt, classiques dansR2etR3.

2.3.1 Représentation paramétrique

On se donne une base("1;:::;"k)de!F. Un pointM2Aest dansFsi!AMest dans!F, autrement s"il existe des scalaires1;:::;ktels que!AM =Pk j=1j"j. SiAest muni d"un repère cartésien(O;e1;:::;en)deA, on peut alors écrire, pourj= 1;:::;k, j=nX i=1 i;jei: SiA = (a1;:::;an)etM = (x1;:::;xn)alors on obtientM2Fsi et seulement s"il existe des scalaires (j)tels que8>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>:x

1=a1+kX

j=1 j1;j x i=ai+kX j=1 ji;j x n=an+kX j=1 jn;j Université Paul Sabatier, 2014-2015, cours L2 spécial, Algèbre linéaire4 On décrit doncFcomme l"image de!Fpar l"application':Rk!Fqui à(1;:::;k)associe le point

M = (x1;:::;xn)2F.

Une telle représentation permet de construire facilement des points deF.

2.3.2 Représentations cartésiennes

On complète la base de

!Fen une base("1;:::;"n)de!E. On considère la base duale("1;:::;"n). Un pointMest dansFsi!AMest dans!Fc"est-à-dire si k+1(!AM) =:::="n(!AM) = 0: Avec le repère précédent, il existe des scalaires(i;j)1in;k+1jntels que"j=Pn i=1i;jei. Donc un pointM = (x1;:::;xn)est dansFsi et seulement si

8>>>>>>>>>>>><

>>>>>>>>>>>:n X i=1 i;k+1(xiai) = 0 nX i=1 i;j(xiai) = 0 nX i=1 i;n(xiai) = 0 Ici, on décritFcomme les solutions d"un système linéaire. Une telle représentation permet de vérifier facilement si un point donné est dansFou non.

3 Applications affines

SoientEetFdeux espaces affines de directions!Eet!F. Une application affinef: E!Fest une

transformation telle qu"il existe une application linéaire!f2L(!E;!F)telle que, pour tous pointsA;B2

E, on ait!f(A)f(B) =!f(!AB). L"application!fest la partie linéaire defou sa direction.

SiO2Eest une origine, on a

f(M) =f(O) +!f(!OM): Exemples. -SoitAun espace affine de direction!E. On définit des applicationsf:A!Aparticulières mais classiques.

1.La translation de vecteur~u2!Eest l"applicationf(M) = M +~u.

2.L"homothétie de centreAet de rapportk(6= 1)2Kest l"applicationf(M) = A +k!AM.

3.La symétrie centrale de centreAest l"applicationf(M) = A!AM.

4.La projection sur le sous-espaceF = A +!Fparallèlement à!G, où!E =!F!G, est l"application

f(M) = A +!f(!AM), où!fest le projecteur sur!Fparallèlement à!G.

5.La symétrie par rapport au sous-espaceF = A +!Fparallèlement à!G, où!E =!F!G, est

l"applicationf(M) = A +!f(!AM), où!fest la symétrie par rapport à!Fparallèlement à!G. Lorsque l"on s"intéresse aux espacesAn(K), alors toute application affinef:An(K)!Am(K)est de la forme f(X) = AX + B oùA2Matm;n(K)etB2Kn. Université Paul Sabatier, 2014-2015, cours L2 spécial, Algèbre linéaire5 Remarque 3.1.-Sif:A!Aest affine et admet un point fixeO, alors on obtient, pour toutM2A, f(M) =!f(!OM). Une telle application affine n"est rien d"autre qu"une application linéaire. La composition d"applications affines est affine: sif: E!Fetg: F!Gsont deux applications affines alorsgf: E!Gest aussi affine. En effet, on a!f(A)f(B) =!f(!AB)donc !(gf)(A)(gf)(B) =!g(f(A))g(f(B)) =!g(!f(A)f(B)) =!g!f(!AB) =!gf(!AB): Par conséquent, la partie linéaire degfest!g!f. Représentation matricielle. -On se fixe un repèreR= (O;B)deEetR0= (O0;B0)un repère deF. On considèref: E!Fune application affine. On noteA = Mat(!f ;B;B0) = (ai;j). SiMest un point deEde coordonnées(x1;:::;xn)etf(O)de coordonnées(b1;:::;bm)et si on écritf(M) = (y1;:::;ym) alors on remarque qu"en sachant quef(M) =f(O) +!f(!OM), on obtient 0 B BB@y 1... y m 11 C CCA=0 B BB@b 1 A... b m

0:::0 11

C CCA0 B BB@x 1... x n 11 C CCA

Du coup, on définit

Mat(f;R;R0) =0

B BB@b 1 A... b m

0:::0 11

C

CCA=Mat(f;B;B0)f(O)

0 1

2Mm+1;n+1(K)

On laisse en exercices les remarques suivantes.

1.On aMat(Id;R;R) = In+1;

2.Sif: (E;RE)!(F;RF)etg: (F;RF)!(G;RG)sont des applications affines, alors

Mat(gf;RE;RG) = Mat(g;RF;RG)Mat(f;RE;RF);

3.SidimE = dimF, alors on a aussidetMat(f;R;R0) = detMat(!f :B;B0)doncfest inversible si et

seulement si!fl"est. Dans ce cas, on aMat(f1;R0;R) = Mat(f;R;R0)1qui est de la forme

Mat(f1;R0;R) =0

B BB@b 01 A 1... b

0m0:::0 11

C

CCAoù0

B @b 01... b 0m1 C A=A10 B @b 1... b m1 C A: Matrices de passage. -On se fixe deux repèresR= (OE;B)etR0= (O0E;B0)deE.

On définit la matrice de passagePdeRàR0par

P =passage(R!R0) = Mat(IdE;R0;R) =0

B BB@o 01 P 0... o

0m0:::0 11

C CCA

oùP0est la matrice de passage deBversB0et(o01;:::;o0m)sont les coordonnées deO0Edans le repèreR.

SiXetX0sont les coordonnées d"un pointMdans les repèresRetR0respectivement, alors X 1 = PX0 1 Université Paul Sabatier, 2014-2015, cours L2 spécial, Algèbre linéaire6 On considère maintenant aussi deux repèresS= (OF;C)etS0= (O0F;S0)d"un espace affineF, ansi qu"une application affinef: E!F. SiQdésigne la matrice de passage deSversS0alors Mat(f;R0;S0) =passage(S0!S)Mat(f;R;S)passage(R!R0) = Q1Mat(f;R;S)P:

4 Barycentres

La notion de barycentre est, à bien des égards, l"analogue affine de celle de combinaison linéaire. On

introduit aussi les coordonnées barycentriques. Le calcul en coordonnées barycentriques est particulière-

ment adapté au travail dans un repère affine dont tous les points jouent le même rôle (par exemple, un

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