1 Calcul vectoriel dans le plan et dans lespace - 1.1 Vecteurs du plan
Remarque : Le scalaire est placé avant le vecteur : on écrit u et non u. Dans la littérature
Droites et plans de lEspace Calcul vectoriel dans lEspace
3.1 Caractérisation vectorielle d'un plan de l'Espace . 1. Par deux points distincts A et B passe une seule droite notée (AB).
Plan et espace
19 nov. 2014 et le produit vectoriel. Table des matières. 1 Cours. 1 ... Un plan vectoriel est un espace vectoriel contenant deux vecteurs non ...
1) Produit vectoriel
Page 1. Exposé 39 : Produit vectoriel dans l'espace euclidien orienté de dimension 3. repere et base du plan et de l'espace (notamment base orthonormé).
Produit vectoriel dans lespace euclidien orienté de dimension 3
18 mai 2009 Ces deux plans ont chacun des avantages et des inconvénients `a vous de vous servir de tout cela pour faire votre propre plan. 1 Premiere façon ...
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
Calcul de l'aire d'un parallélogramme (1). le déterminant de ( u v) dans une base quelconque d'un plan vectoriel qui les contient.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux. II. Vecteur normal à un plan. 1) Définition et propriétés. Définition : Un vecteur non nul
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Si BAC est un angle droit alors cos ? = 0 et ?. u v = 0. Vecteurs orthogonaux. 1 Définition. Soit u et v deux vecteurs du plan. u et v
Espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel. 1. Soient F et G deux sous-espaces de E. Montrer que A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle de R3 ...
Calcul vectoriel barycentres
Plan : I Calcul vectoriel dans l'espace. II Barycentres. 1) Barycentre de deux points. 2) Barycentre de trois points. III Barycentre de n points.
Droites et plans de l"Espace
Calcul vectoriel dans l"Espace
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2019/2020Table des matières
1 Positions relatives3
1.1 Positions relatives de deux droites
31.2 Positions relatives de deux plans
31.3 Positions relatives d"une droite et d"un plan
41.4 Deux résultats supplémentaires sur le parallélisme
42 Vecteurs de l"Espace5
2.1 Extension de la notion de vecteur à l"Espace
52.2 Calcul vectoriel dans l"Espace
52.3 Colinéarité, applications
63 Vecteurs coplanaires6
3.1 Caractérisation vectorielle d"un plan de l"Espace
63.2 Vecteurs coplanaires
74 Repérage dans l"Espace7
4.1 Définition - Coordonnées
74.2 Calcul sur les coordonnées
84.3 Colinéarité, coplanarité
9 ?Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX
Table des figures
1 Un plan
32 Plans parallèles
43 Intersection avec deux plans parallèles
54 Théorème du toit
55 Relation de Chasles
66 Règle du parallélogramme
67 Coordonnées dans un repère de l"Espace
8Liste des tableaux
1 Positions relatives de deux droites
32 Positions relatives de deux plans
43 Positions relatives d"une droite et d"un plan
4 21 POSITIONS RELATIVES
Quelques rappels
Règles d"incidences :Les règles suivantes sont valables dans l"espace : 1. P ar deux p ointsdistincts AetBpasse une seuledroite , notée(AB). 2. P ar trois p ointsnon alignés A,BetCpasse un seulpl an,noté (ABC). 3. Si un plan con tientdeux p ointsAetB, il contient toute la droite(AB). 4. Dans tout p lande l"espace , tout résultat de géométrie planes"applique. Remarques :1.Un plan est une " surface » plane " illimitée ». Elle est représen téeen p erspectivepar un
parallélogramme (voir figure 1 ).Figure1 - Un plan 2.La dernière règle indique que, dans tout plan de l"e space,tout se passe comme dans " LE » plan de
la géométrie plane. On cherchera donc très souvent à se placer dans un plan de l"espace.1 Positions relatives de droites et de plans
1.1 Positions relatives de deux droites
Les résultats sont résumés dans le tableau 1.Positions relatives deD1etD2CoplanairesNon coplanairessécantesstrictement parallèlesconfondues
un point commun uniquepas de point communtous les points sont communsil n"existe pas de plan contenant les deux droitesTable1 - Positions relatives de deux droitesRemarques :1.A ttention!Dans l"espace, il existe des droites qui n eson tni p arallèles,n isécan tes.
2.Deux droites son t
parallèles lorsqu"elles son t coplanaires et non sécan tes1.2 Positions relatives de deux plans
Les résultats sont résumés dans le tableau 2Remarque :Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. Il suffit donc de déterminerdeux
points appartenant simultanément aux deux plansp ourd éterminerce ttedroite. Propriété : (admise)Deux plans sontparallèles si et seulemen tsi d euxdroites sécan tesde l"un son t
parallèles deux droi tessécan tes de l"autre. (v oirfigure 2 )31.3 Positions relatives d"une droite et d"un plan 1 POSITIONS RELATIVES
Positions relatives des plansP1etP2sécantsparallèles confondusstrictement parallèlesou disjointsleur intersection est la droiteDleur intersection est un planleur intersection est vide Table2 - Positions relatives de deux plansFigure2 - Plans parallèles1.3 Positions relatives d"une droite et d"un planPositions relatives deDetPsécantsparallèles
DetPont un seul point
communDetPn"ont aucun point communDest incluse dans le planP.Table3 - Positions relatives d"une droite et d"un planRemarque :Unedroite est parallè leà un plan si et seulemen tsi elle est parall èleà une droite de ce plan .
1.4 Deux résultats supplémentaires sur le parallélismeThéorème 1 : (admis)Si un planQcoupe deux plans parallèlesPetP?alors les droites d"intersection
sont parallèles (v oirfigure 3 ).Théorème 2 : (admis)(aussi appelée " théorème du toit ») SoitDetD?deux droites parallèles.Pest un plan contenantDetP?un plan contenantD?(voir figure 4 Si les plansPetP?sont sécants, leurdroite d"in tersectionΔestparallèle à Det àD?.42 VECTEURS DE L"ESPACE
Figure3 - Intersection avec deux plans parallèlesFigure4 - Théorème du toitExercices :1, 2, 3 page 270 et 22, 23, 24, 26 page 2781- 5, 6 page 271 et 27, 2, 29 page 2792[TransMath]
Activité :Section d"un plan sur un cube (sur feuille polycopiée) Exercices :13 page 274; 31, 32, 34 page 279 et 46 page 2813[TransMath]2 Vecteurs de l"Espace
2.1 Extension de la notion de vecteur à l"Espace
Dans le plan, un vecteur
--→ABest défini par : sa direction (la droite (AB)); son sens (du p ointAvers le pointB); sa longueur ou norme (la distance AB).Cette notion se généralise sans problème à l"Espace, avec les mêmes propriétés. Par exemple :Propriété :Égalité de vecteurs--→AB=--→CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme.2.2 Calcul vectoriel dans l"Espace
L"addition de deux vecteurs et la multiplication d"un vecteur par un réel sont définies comme dans le plan et
ont les mêmes propriétés. Par exemple :Propriété 1 :Relation de ChaslesPour tous pointsA,BetCde l"Espace :-→AC=--→AB+--→BC(voir figure5 ).Propriété 2 :Règle du parallélogramme
OMRNest un parallélogramme si et seulement si--→OR=--→OM+--→ON(voir figure6 )1. Intersection d"une droite et d"un plan.
2. Intersections de deux plans.
3. Section d"un polyèdre par un plan.
52.3 Colinéarité, applications 3 VECTEURS COPLANAIRES
Figure5 - Relation de ChaslesFigure6 - Règle du parallélogrammeRemarques :1.Ces deux propriétés donnen tles deux mani èresde construire une somme v ectorielle
(" bout-à-bout » ou à l"aide d"un parallélogramme). 2.Les règles de calculs sur les sommes de v ecteurset sur les m ultiplicationsde v ecteurspar un réel son t
les mêmes que sur les nombres. Exercices :43, 44, 46, 47, 48, 51 page 3074[TransMath]2.3 Colinéarité, applicationsDéfinition :Deux vecteurs-→uet-→vsontcoliné airessi et seulemen tsi l"un est le pro duitde l"autre par
un réelk(c"est-à-dire-→u=k-→vou-→v=k-→u).Propriété :Soit-→uet-→vdeux vecteurs non nuls.-→uet-→vsontcolinéaires si et seulemen tsi l esv ecteurs-→uet-→vontmê medirection .Applications :-Les droites (AB)et(CD)sontparallèles si et seulemen tsi les v ecteurs--→ABet--→CDsont
colinéairesLes p ointsA,BetCsontalignés si et seulemen tsi les v ecteurs--→ABet-→ACsontcolinéaires .
Exercice :1, 2 page 295 et 60, 61 page 3095[TransMath]3 Vecteurs coplanaires
3.1 Caractérisation vectorielle d"un plan de l"EspaceThéorème :SoitA,BetCtrois points de l"Espacenon alignés .
Un pointMest dans le plan(ABC)si et seulement si il existe deux réelsxetytels que :AM=x--→AB+y-→ACDémonstration :
Puisque les pointsA,BetCne sont pas alignés, le triplet?A,--→AB;-→AC?
forme un repère du plan(ABC).4. Vecteurs de l"Espace.5. Colinéarité, applications.
64 REPÉRAGE DANS L"ESPACE 3.2 Vecteurs coplanaires
SiM?(ABC), il existe deux réelsxetytels que le couple(x;y)soit les coordonnées deM dans le repère?A,--→AB;-→AC?
. On a donc :--→AM=x--→AB+y-→AC.Réciproquement, si
--→AM=x--→AB+y-→AC, on noteNle point du plan(ABC)de coordonnées (x;y)dans le repère?A,--→AB;-→AC?
. On a donc :--→AN=x--→AB+y-→ACet, par suite--→AN=--→AM. Les pointsMetNsont donc confondus. D"oùM?(ABC).Remarque :On peut donc définir un plan par la donnée d"un pointAet de deux vecteurs-→uet-→vnon
colinéaires . On dit alors que-→uet-→vsont lesv ecteursdirecteurs du plan.3.2 Vecteurs coplanairesDéfinitions :1.On d itque quatr ep ointsA,B,CetDde l"espace sontcopl anairess"ils son tdans u n
même plan. 2. Soit -→u,-→vet-→wtrois vecteurs de l"espace.Il existe quatre pointsA,B,CetDde l"espace tels que-→u=--→AB,-→v=-→ACet-→w=--→AD.
On dit que les vecteurs-→u,-→vet-→wsontcoplanaires si et seulemen tsi les quatre p ointsA,B,Cet
Dle sont.Remarques :1.Deux v ecteurs(ou trois p oints)son ttoujour scoplanaire s. 2.Si les v ecteurs--→ABet--→CDsontcol inéaires, les droites(AB)et(CD)sont parallèles et, donc, les points
A,B,CetDsontcoplanaire s. Par suite, si deux vecteurs-→uet-→vsontcolinéaire s, les vecteurs-→u,-→vet-→wsonttoujours c oplanaires.Théorème :1.Soit -→u,-→vet-→wtrois vecteurs de l"espace, tels que-→uet-→vne soient pas colinéaires.
Alors, les vecteurs-→u,-→vet-→wsontcoplanaires si e tseulemen tsi il existe deux réels aetbtels
que :-→w=a-→u+b-→v 2. Soit A,B,CetDquatre points de l"espace, tels queA,BetCne soient pas alignés. Alors, les pointsA,B,CetDsontcoplanaires si et seulemen tsi il existe deux réels aetbtels que :--→AD=a--→AB+b--→ADDémonstration:Il faut d"abord remarquer que le 2. n"est qu"une application du 1. aux vecteurs-→u=--→AB,-→v=-→AC
et-→w=--→AD. Il suffit donc de montrer la première assertion.On pose-→u=--→AB,-→v=-→ACet-→w=--→AD. Comme-→uet-→vne sont pas colinéaires, les pointsA,
BetCforment un plan.
D"après
3.1 ,D?(ABC)si et seulement si il existe deux réelsaetbtels que :--→AD=a--→AB+b--→AD.Par suite, les vecteurs-→u,-→vet-→wsont coplanaires si et seulement si il existe deux réelsaetb
tels que-→w=a-→u+b-→v. Exercices :3, 4, 5 page 296; 62, 63 page 308 et 64 page 3096[TransMath]4 Repérage dans l"Espace
4.1 Définition - CoordonnéesDéfinition :On appellerep èrede l"Esp acetout quadruplet ?
O;-→ı;-→?;-→k?
oùOest un point de l"Espace et où -→ı,-→?et-→ksont trois vecteursnon coplanaires .Si les vecteurs
-→ı,-→?et-→ksont deux à deuxorthogonaux , le repère est ditorthogonal .Si, de plus, les vecteurs sont
unitai res( ?-→ı?=?-→??=???-→k???= 1), on dit que le repère estorthonormal .6. Coplanarité.
74.2 Calcul sur les coordonnées 4 REPÉRAGE DANS L"ESPACE
Remarque :Le triplet?-→ı;-→?;-→k? est appelé base de v ecteurs de l"Espace. Théorème :Soit?O;-→ı;-→?;-→k?
un repère de l"Espace. 1.Soit Mun point de l"Espace.
Il existe un unique triplet(x;y;z)tel que--→OM=x-→ı+y-→?+z-→k(voir figure7 ).Ce triplet est appelé
co ordonnées de M. On noteM(x;y;z). 2. Soit -→uun vecteur de l"Espace.Il existe un unique pointMtel que-→u=--→OM. On appelle coordonnées du vecteur-→ules coordonnées
de ce pointM. Par conséquent : Il existe un unique triplet(a;b;c)tel que-→u=a-→ı+b-→?+c-→k.Ce triplet est appelé
co ordonnées de -→u. On note-→u( (a b c) .Figure7 - Coordonnées dans un repère de l"EspaceDémonstration (partielle) :
On note(P)le plan passant parOet de vecteurs directeurs-→ıet-→?.Comme-→ı,-→?et-→kne sont pas coplanaires, la droite passant parMet de vecteur directeur-→k
coupe le plan(P)en un point notéM?. On a donc :--→OM=---→OM?+---→M?M. Comme---→M?Met-→ksont colinéaires, il existe un réelztel que---→M?M=z-→k. CommeM??(P), d"après3.1 , on a---→OM?=x-→ı+y-→?. On obtient donc :--→OM=x-→ı+y-→?+z-→k.L"unicité de cette écriture est admise.
Remarques :1.xest appeléabscisse ,yest appeléordonnée et zest appelécote . 2.On vien ten fait de v oirque tout v ecteurp eutse d écomposerd emanière unique en fonction de trois
vecteurs non coplanaires.4.2 Calcul sur les coordonnées
Les résultats sont identiques à ceux du plan.On a, par exemple :
Si A(xA;yA;zA)et siB(xB;yB;zB)alors :
les co ordonnéesdu v ecteur --→ABsont :--→AB( (x B-xA y B-yA z B-zA) les co ordonnéesdu milieu Idu segment[AB]sont :I?xA+xB2 ;yA+yB2 ;zA+zB2 Si -→u( (a b c) et si-→v( (a? b c alors : 8 RÉFÉRENCES 4.3 Colinéarité, coplanarité les co ordonnéesde -→u+-→vsont :-→u+-→v( (a+a? b+b? c+c?) Si kest un réel, les coordonnées du vecteurk-→usont :k-→u( (k×a k×b k×c)On se p lacedans un rep ère
O;-→ı;-→?;-→k?
orthonormalSi le v ecteur
-→ua comme coordonnées( (a b c) , alors sa norme est : -→u?=?a2+b2+c2
Si A(xA;yA;zA)et siB(xB;yB;zB)alors :
AB=???--→AB???=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2+ (zB-zA)2
Exercices :46, 77, 78, 80, 81 page 3097- 82, 83 page 3108[TransMath]4.3 Colinéarité, coplanaritéMéthode :-Deux v ecteurs-→uet-→vnon nuls sontcoliné airessi et seule mentsi il existe un réel ktel
que-→u=k-→v.T roisv ecteurs-→u,-→vet-→w(tels que-→uet-→vnon colinéaires) sontcoplanaires si et se ulementsi il
existe deux réelsaetbtels que-→w=a-→u+b-→v.Il s"agit donc, grâce aux coordonnées des vecteurs, de trouver ces réels pour montrer la colinéarité ou
la coplanarité.Remarque :Dans l"Espace, il n"existe pas, au niveau de la classe de Terminale S, de propriété simple
équivalente à celle des " produits en croix » de coordonnées pour des vecteurs colinéaires du plan.
Exercices :53, 54, 56, 57, 59 page 3099- 30 page 30210- 6, 8, 9, 10, 11, 13, 15 page 298 et 70, 73 page
30911- 98, 100, 101 page 311 et 102 page 31212
Références
[TransMath] transMA THT ermS, p rogramme2012 ( Nathan) 5 6 79 7. Distances dans l"Espace.
8. Plan médiateur.
9. Colinéarité, applications.
10. Droites sécantes.
11. Coplanarité.
12. Positions relatives de droites et de plans.
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