1 Calcul vectoriel dans le plan et dans lespace - 1.1 Vecteurs du plan
Remarque : Le scalaire est placé avant le vecteur : on écrit u et non u. Dans la littérature
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Produit vectoriel dans lespace euclidien orienté de dimension 3
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Plan : I Calcul vectoriel dans l'espace. II Barycentres. 1) Barycentre de deux points. 2) Barycentre de trois points. III Barycentre de n points.
f~u+~vj;2[0;1]g~u ~v ~u+~v h b bh ?~u?? ?? ???? ?????? ?? ????? ??? j~v~u0j=h k~uk=hb=A hb ~u~u 0 A=jx1y2y1x2j
?????? ???????a;b;c;d?a c b d :=adbc ??(~u;~v)???? ?? ????B?? ?????? DetB(~u;~v) :=x
1x2 y 1y2 =x1y2y1x2 DetB(~{;~{+~|) =1 1
0 1 = 1101 = 1 DetB(~{+ 2~|;3~{+ 4~|) =1 3
2 4 = 1423 =2 ??DetB(~u;~u) = 0? DetB(~u;~v) + DetB(~s;~v)?
DetB(~u;~v) + DetB(~u;~s)?
~v+~s~u~v ~u ~v (x2;y2)?????? ??~v??(a;b)?????? ??~s? ?? ? DetB(~u;~v) =x
1x2 y 1y2 =x1y2y1x2 DetB(~v;~u) =x
2x1 y 2y1 =x2y1y2x1=(x1y2y1x2) DetB(~u;~u) =DetB(~u;~u)
DetB(~u;~v) = (x1)y2(y1)x2
=(x1y2y1x2) =DetB(~u;~v) DetB(~u+~s;~v) = (x1+a)y2(y1+b)x2
= (x1y2y1x2) + (ay2bx2) = DetB(~u;~v) + DetB(~s;~v)
DetB(~u;~v) =DetB(~v;~u)
=DetB(~v;~u) =DetB(~u;~v) DetB(~u;~v+~s) =DetB(~v+~s;~u)
=DetB(~v;~u)DetB(~s;~u) = Det DetB(~u;~v+~u) = DetB(~u;~v)
DetB(~u;~v+~u) = DetB(~u;~v) +DetB(~u;~u)
= DetB(~u;~v) + 0~u
~v ~v+~u h b DetB(~u;~v) = 0,~u0~v= 0
,~v?~u0 f~u+~v+ ~wj;;2[0;1]g~u
~w ~v ?? ????? ????B h h ~u 0 ~w B B ????~u0??? ????? ??z1=z2= 0? ?? ????? ?? ??????? ?????~u0???? ?? ????? (0;0;z)? ????jzj=B? ???? ????? ??????? ???? ?? ???? ???? ?????? ????? ~u 0= 0;0;x 1x2 y 1y2 ~u^~v:= y 1y2 z 1z2 ;z 1z2 x 1x2 ;x 1x2 y 1y2 1 y 1 z 1 x 1 y 1y 2 z 2 x 2 y 2x 2 ??~u^(~v+~u) =~u^~v? ~u=x1~{+y1~|+z1~k ~v=x2~{+y2~|+z2~k ~w=x3~{+y3~|+z3~k ???DetB(~u;~v; ~w) = (~u^~v)~w 1x2x3 y 1y2y3 z 1z2z3 :=x3 y 1y2 z 1z2 y3 x 1x2 z 1z2 +z3 x 1x2 y 1y2 ???DetB(~u;~v; ~w) = x 1x2x3 y 1y2y3 z 1z2z3 ???DetB(~u;~v; ~w) =x1y2z3+x2y3z1+x3y2z2z1y2x3z2y3x1z3y1x2 1 y 1 z 1x 2 y 2 z 2z3y 3x 3 x 1 y 1x 2 y 2x 3 y 3 y ??????? ???? ??? ? ? 1 4 7 2 5 8 3 6 9 = 72 5 3 6 81 43 6 + 91 4 2 5 = 7(2635)8(1634) + 9(1524) = 7(3)8(6) + 9(3) =21 + 4827 = 0 Det B(~v;~u; ~w) = DetB(~u; ~w;~v) = DetB(~w;~v;~u) =DetB(~u;~v; ~w) ??DetB(~u;~u; ~w) = DetB(~u;~v;~u) = DetB(~u;~v;~v) = 0? ??DetB(~v; ~w;~u) = DetB(~w;~u;~v) = DetB(~u;~v; ~w)? Det B(~u+~s;~v; ~w) =DetB(~u;~v; ~w) + DetB(~s;~v; ~w) ??DetB(~0;~v; ~w) = DetB(~v;~0; ~w) = DetB(~u;~v;~0) = 0? Det
B(~u;~v+~u; ~w) = DetB(~u;~v; ~w)
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