1 Calcul vectoriel dans le plan et dans lespace - 1.1 Vecteurs du plan
Remarque : Le scalaire est placé avant le vecteur : on écrit u et non u. Dans la littérature
Droites et plans de lEspace Calcul vectoriel dans lEspace
3.1 Caractérisation vectorielle d'un plan de l'Espace . 1. Par deux points distincts A et B passe une seule droite notée (AB).
Plan et espace
19 nov. 2014 et le produit vectoriel. Table des matières. 1 Cours. 1 ... Un plan vectoriel est un espace vectoriel contenant deux vecteurs non ...
1) Produit vectoriel
Page 1. Exposé 39 : Produit vectoriel dans l'espace euclidien orienté de dimension 3. repere et base du plan et de l'espace (notamment base orthonormé).
Produit vectoriel dans lespace euclidien orienté de dimension 3
18 mai 2009 Ces deux plans ont chacun des avantages et des inconvénients `a vous de vous servir de tout cela pour faire votre propre plan. 1 Premiere façon ...
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
Calcul de l'aire d'un parallélogramme (1). le déterminant de ( u v) dans une base quelconque d'un plan vectoriel qui les contient.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux. II. Vecteur normal à un plan. 1) Définition et propriétés. Définition : Un vecteur non nul
Calcul vectoriel – Produit scalaire
Si BAC est un angle droit alors cos ? = 0 et ?. u v = 0. Vecteurs orthogonaux. 1 Définition. Soit u et v deux vecteurs du plan. u et v
Espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel. 1. Soient F et G deux sous-espaces de E. Montrer que A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle de R3 ...
Calcul vectoriel barycentres
Plan : I Calcul vectoriel dans l'espace. II Barycentres. 1) Barycentre de deux points. 2) Barycentre de trois points. III Barycentre de n points.
PRODUIT SCALAIRE
DANS L'ESPACE
I. Produit scalaire de deux vecteurs
1) Définition
Soit et deux vecteurs de l'espace. A, B et C trois points tels que et Il existe un plan P contenant les points A, B et C.Définition :
On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P.On a ainsi :
- si ou est un vecteur nul,Exemple :
Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
ABCDEFGH est un cube d'arête a.
uvuAB=vAC=uv.uv.ABAC.0uv=uv .cos ;uvuv uv=´´ 2 uvAB DG ABAF ABAB a H 22) Propriétés
Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. Propriétés : Soit , et trois vecteurs de l'espace. - et sont orthogonaux.Démonstration :
Il existe un plan P tel que les vecteurs et admettent des représentants dans P. Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent.3) Expression analytique du produit scalaire
Propriété : Soit et deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé . Alors .Et en particulier : .
Démonstration :
En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple : , et .On a en particulier : .
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace .
uvw 2 .uuu= ..uvvu = ...uvwu vuw +=+ ...kuvu kvk uv== kÎ.0uv=Ûuvuv x uy z x vy z ,,,Oijk .'''uvx xyy zz=++ 222.uuuxyz==++ uvx iyj zkxiyjz k xxiixy ij xzi kyxjiy yjj yzj kzxkizyk jzzk k xxyyzz ;ij 2 .1iii== 2 .1jjj== ..0ijji == 2 222
.uuu xxy yzz xyz==++=++ ;,,CCBCDCG 3
Alors : et soit .
Alors .
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.
II. Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.Démonstration :
Elle est incluse dans la démonstration du corollaire qui suit. Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, HermannGünther Grassmann (1809 ; 1877).
Corollaire : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P. - Démontrons la réciproque : 1 1 1 CE 10 01 0,50 DI 1 1 0,5 DI .111110,50,5CEDI =´+´-+´= CE DI nnnuv 4 Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur . Soit une droite quelconque () de P de vecteur directeur .Démontrons que () est orthogonale à .
peut se décomposer en fonction de et qui constituent une base de P (car non colinéaires).Il existe donc deux réels x et y tels que .
Donc , car est orthogonal avec et .
Donc est orthogonal au vecteur .
Et donc est orthogonale à ().
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un planVidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
ABCDEFGH est un cube.
Démontrer que le vecteur est normal au plan
(ABG).On considère le repère .
Dans ce repère : ,,,,.
On a ainsi :
, et , donc : Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un planVidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
Dans un repère orthonormé, soit et .
Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).
d n 1 d 2 d uvuvn D w D d wuv wxuyv=+...0wnxu nyvn=+= nuvnw d D CF ;,,BBABC BF 1 0 0 A 0 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 F 0 1 1 G 0 1 1 CF 0 1 1 BG 1 0 0 AB .0011110 .0(1)10100 CFBG CFAB CF 11 2,3 21AB 2 0 2 C 5
On a : et .
Soit un vecteur orthogonal au plan (ABC). Il est tel que : soitPrenons par exemple, alors et .
Le vecteur est donc normal au plan (ABC).
2) Equation cartésienne d'un plan
Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé . Un plan P de vecteur normal non nul admet une équation cartésienne de la forme , avec ℝ. Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points tels que , avec ℝ, est un plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Soit un point de P. 2 1 3 AB 1 2 0 AC a nb c .0 .0 nAB nAC 23020 abc ab 2230
2 330
2 2 bbc ab bc ab cb ab b=1 1c= a=2 2 1 1 n ;,,Oijk a nb c ax+by+cz+d=0 dÎ x My z ax+by+cz+d=0 dÎ A A A x Ay z 6 et sont orthogonaux avec . - Réciproquement, supposons par exemple que (a, b et c sont non tous nuls). On note E l'ensemble des points vérifiant l'équation
Alors le point vérifie l'équation .
Et donc E.
Soit un vecteur . Pour tout point , on a :
E est donc l'ensemble des points tels que .
Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal .Exemple :
Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal .quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] Le déterminant de Vandermonde - Epsilon 2000 - Free
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