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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

APPLICATIONS LINÉAIRES

Dans ce chapitre,?est l"un des corps?ou?etIest un ensemble non vide quelconque. Tous les résultats présentés

demeurent cela dit vrais sur un corps?quelconque — à l"exception de ceux du paragraphe sur les symétries.

1 APPLICATIONS LINÉAIRES,ÉQUATIONS LINÉAIRES

1.1 DÉFINITION ET PREMIERS EXEMPLES

Définition(Application linéaire)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels. On appelleapplication linéaire de E dans

Ftoute applicationf:E-→Fqui préserve les combinaisons linéaires : ?x,y?E,?λ,μ??,f(λx+μy) =λf(x)+μf(y). L"ensemble des applications linéaires deEdansFest noté?(E,F).

LorsqueE=F, on dit plutôt quefest unendomorphisme de E. L"ensemble des endomorphismes deEest noté?(E).

LorsqueF=?, on dit plutôt quefest uneforme linéaire de E. Toute application linéairef? ?(E,F)est unMORPHISME DE GROUPES ADDITIFS, donc : f(0E) =0F.

Ensuite, siAest un sous-espace vectoriel deE, l"application restreintefAest elle aussi linéaire. En effet, s"il est vrai pour

tousx,y?Eetλ,μ??que :f(λx+μy) =λf(x)+μf(y), c"est a fortiori vrai pour tousx,y?A.

Enfin, pour vérifier quefest linéaire, il est suffisant de vérifier quef(λx+y) =λf(x) +f(y)pour tousx,y?Eet

λ??— avecUN SEUL SCALAIRE. Dans ce cas :f(λx) =f(λx+0E) =λf(x)+f(0E) =λf(x)+0F=λf(x)pour tous

x,y?Eetλ,μ??, puis de mêmef(λx+μy) =f(λx)+f(μy) =λf(x)+μf(y).

Définition(Homothétie)SoientEun?-espace vectoriel etλ??. L"applicationλIdEest un endomorphisme deE

appelé l"homothétie de E de rapportλ. En particulier IdE? ?(E).

DémonstrationPour tousx,y?Eetα??:(λIdE)(αx+y) =λ(αx+y) =α(λIdE)(x)+(λIdE)(y).

ExempleL"application(x,y)f?-→x,x+y,x-2yest linéaire de?2dans?3. DémonstrationPour tous(x,y),(x?,y?)??2etλ??: f

λ(x,y)+(x?,y?)

=fλx+x?,λy+y?=

Exemple

•Pour toutx??, l"applicationP?-→P(x)d"évaluation enxest uneFORMElinéaire de?[X]. •Pour toutA??[X], l"applicationP?-→APde multiplication parAest un endomorphisme de?[X].

•Pour toutQ??[X], l"applicationP?-→P◦Qde compositionÀ DROITEparQest un endomorphisme de?[X].

•L"applicationP?-→P?de dérivation est un endomorphisme de?[X].

Exemple

•Pour tout intervalleI, l"applicationf?-→f?est linéaire de?(I,?)dans??ou de?1(I,?)dans?(I,?). Comme elle

envoie?∞(I,?)dans lui-même, c"est également un endomorphisme de?∞(I,?).

•L"applicationf?-→?

1 0 fest uneFORMElinéaire de?[0,1],?.

•L"applicationu?-→limn→+∞unest uneFORMElinéaire de l"espace vectoriel des suites réelles convergentes.

1

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Exemple

•L"application(x,y)??-→x+y+1N"estPASlinéaire de?2dans?car?(0,0) =1?=0.

•L"application(x,y)ψ?-→x2+y2N"estPASlinéaire de?2dans?carψ2(1,1)=ψ(2,2) =8?=4=2ψ(1,1).

Définition-théorème(Application linéaire canoniquement associée à une matrice)SoitA? ?n,p(?). L"application

X?-→AXest linéaire de?pdans?net appelée l"application linéaire canoniquement associée à A. Je la noterai souvent?A

dans ce cours mais il ne s"agit pas là d"une notation universelle.

L"applicationX?-→AXest définie de?pdans?net non l"inverse pour une simple raison de compatibilité desformats.

Pour tousA? ?p,q(?)etB? ?q,r(?):

?AB=?A◦?Bcar pour toutX??r: AB(X) = (AB)X=A(BX) =?A(BX) =?A?B(X)=?A◦?B(X). ExempleL"application linéaire canoniquement associée à 0 1 23 4 5 est l"application(x,y,z)?-→(y+2z,3x+4y+5z) de?3dans?2.

Définition-théorème(Formes coordonnées relativement à une base)SoitEun?-espace vectoriel. On suppose

queEpossède une base?= (ei)i?I. Pour touti?I, l"application qui associe à tout vecteur deEsa coordonnée dans?

selon le vecteureiest une forme linéaire deEappelée laièmeforme coordonnée de E(dans?).

DémonstrationSoientx,y?Ede coordonnées respectives(xi)i?I,(yi)i?Idans?etλ??. Le vecteurλx+y

admetλxi+yi i?Ipour coordonnées dans?car :λx+y=λ? i?Ix iei+? i?Iy iei=? i?I

λxi+yiei. En

particulier, pour touti?I, la coordonnée seloneideλx+yestλxi+yi. C"est la linéarité souhaitée!

Exemple

•Les formes coordonnées de?npour sa base canonique sont, dans cet ordre, les applications(x1,...,xn)?-→x1,

(x1,...,xn)?-→x2, ...,(x1,...,xn)?-→xn.

•Les formes coordonnées de?n[X]pour sa base canonique sont, dans cet ordre, les applicationsP?-→a0,P?-→a1,

...,P?-→ansi on notea0,...,anles coefficients deP:P=anXn+...+a1X+a0. Définition(Isomorphisme, espaces vectoriels isomorphes)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels.

•Isomorphisme (d"espaces vectoriels) :On appelleisomorphisme(d"espace vectoriel)de E sur Ftouteapplication

linéaire bijective deEsurF.

LorsqueE=F, on parle plutôt d"automorphisme(d"espace vectoriel)de E. L"ensemble des automorphismes deE

est noté GL(E)et appelé legroupe linéaire de E.

•Espaces vectoriels isomorphes :On dit queFestisomorphe à E(en tant qu"espace vectoriel) s"il existe un

isomorphisme deEsurF.

Le fait que deux espaces vectoriels soient isomorphes signifie qu"à défaut d"être identiques au sens propre, ils le sont au

moins d"un point de vue vectoriel. Tout isomorphisme entre eux est comme un dictionnaire parfait pour passer de l"un à

l"autre. Toute propriété vectorielle — i.e. que l"on peut exprimer en termes de combinaisons linéaires — de l"un des espaces

a son analogue dans l"autre espace. Nous verrons bientôt queles isomorphismes préservent la dimension.

L"application linéaire(a,b,c)??-→a+bX+cX2est par exemple un isomorphisme de?3dans?2[X]. Cet isomorphisme

" géométrise »?2[X]en en faisant une sorte de copie parfaite de?3. La coplanarité des vecteurs(0,1,0),(0,0,1)et!

0,1,1 2! se traduit dans?2[X]par celle des vecteursX,X2etX+X2 2. ?3 (1,0,0)(0,0,1) (0,1,0) 0,1,1

2!Isomorphisme?

?2[X] 1X 2 X X+X22 2

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ExempleL"applicationfS?-→f?,f(0)est un isomorphisme de?1(?,?)sur?(?,?)×?. Cet isomorphisme est un peu

surprenant car?1(?,?)est à la fois beaucoup plus petit que?(?,?)et isomorphe à?(?,?)×?, donc plus gros que

DémonstrationL"applicationSest linéaire car pour tousf,g? ?1(?,?)etλ??:

S(λf+g) =

(λf+g)?,(λf+g)(0)

λf?+g?,λf(0)+g(0)

=λf?,f(0)+g?,g(0)=λS(f)+S(g).

Ensuite, il n"est pas dur de comprendre que l"applicationTqui associe à tout couple(g,a)? ?(?,?)×?la

fonctionx?-→a+? x 0 g(t)dtde classe?1admetSpour réciproque.

1.2 OPÉRATIONS SUR LES APPLICATIONS LINÉAIRES

Théorème(Composition d"applications linéaires, réciproque d"un isomorphisme)SoientE,FetGtrois?-espaces

vectoriels. (i)Composition :Pour tousf? ?(E,F)etg? ?(F,G):g◦f? ?(E,G). En particulier, sifest un isomorphisme deEsurFetgun isomorphisme deFsurG,g◦fest un isomorphisme deEsurG. (ii)Réciproque :Sifest un isomorphisme deEsurF,f-1est un isomorphisme deFsurE.

En particulier, la relation d"isomorphisme entre espaces vectoriels est une relation d"équivalence — pour la réflexivité,

remarquer simplement que Id Eest un isomorphisme deEpour tout?-espace vectorielE.

Démonstration

(i) Soientf? ?(E,F)etg? ?(F,G). Pour tousx,y?Eetλ??:g◦f(λx+y) =gf(λx+y)=gλf(x)+f(y)=λgf(x)+gf(y)=λg◦f(x)+g◦f(y).

(ii) Nous savons quef-1est bijective deFsurE, mais est-elle linéaire? Pour tousy,y??Fetλ??: f -1λy+y?=f-1

λff-1(y)+ff-1(y?)

=f-1 fλf-1(y)+f-1(y?) =λf-1(y)+f-1(y?). ExempleL"applicationP?-→XP?X2est un endomorphisme de?[X].

DémonstrationLes applicationsPα?-→P?,Pβ?-→PX2etPγ?-→XPsont linéaires, doncγ◦β◦αaussi.

ExempleL"applicationf?-→?

1 0 ft2dtest linéaire de?[0,1],?dans?. DémonstrationLes applicationsfα?-→f◦t?-→t2etfβ?-→? 1 0 f(x)dxsont linéaires, doncβ◦αaussi.

Théorème(Traduction de l"inversibilité en termes d"application linéaire canoniquement associée)Une matrice

A? ?n(?)est inversible si et seulement si l"application linéaire?Acanoniquement associée àAest un automorphisme

de?n. Dans ce cas :?A-1=?A-1.

DémonstrationD"après la caractérisation de l"inversibilité en termes desystèmes linéaires :

Aest inversible?? ?Y??n,?!X??n,Y=AX?? ?Y??n,?!X??n,Y=?A(X) ?Aest un automorphisme de?n.

Dans ce cas

?A◦?A-1=?A A-1=?In=Id?net de même?A-1◦?A=Id?n, donc en effet?A-1=?A-1. ExempleL"application(x,y)?-→(3x+y,5x+2y)est un automorphisme de?2. Sa réciproque est l"application(x,y)?-→(2x-y,-5x+3y)car la matrice 3 15 2 est inversible d"inverse 2-1 -5 3

Théorème(Combinaisons linéaires d"applications linéaires)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels. L"ensemble

?(E,F)est un sous-espace vectoriel deFE, donc un?-espace vectoriel. En d"autres termes, toute combinaison linéaire

d"applications linéaires deEdansFest une application linéaire deEdansF. 3

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DémonstrationPour commencer?(E,F)?FEet l"application nullex?-→0Fest linéaire deEdansF.

Pour la stabilité par combinaison linéaire, soientf,g? ?(E,F)etλ??. Montrons queλf+g? ?(E,F), i.e.

queλf+gest linéaire. Pour tousx,y?Eetα??:λf+g(αx+y) =λf(αx+y)+g(αx+y) =λαf(x)+f(y)+αg(x)+g(y)

ExempleL"applicationPf?-→PX2+2P?(1)est un endomorphisme de?[X].

DémonstrationL"applicationP?-→PX2est linéaire. Ensuite,Pd?-→P?etPe?-→P(1)sont linéaires, donc

P

e◦d?-→P?(1)aussi par composition. Par combinaison linéaire,fest comme voulu un endomorphisme de?[X].

Observons à présent que pour toutesf,f?? ?(E,F)etg,g?? ?(F,G):

Attention cependant! La relationg+g?◦f=g◦f+g?◦fest vraie en toute généralité sans linéarité alors que la

relationg◦f+f?=g◦f+g◦f?requiert à tout prix la linéarité deg. Faites l"effort de vous en convaincre.

L"énoncé qui suit repose entièrement sur l"idée que pour tout?-espace vectorielE, la composée de deux endomorphismes

deEest encore un endomorphisme deE. En d"autres termes, la composition est uneLOI INTERNEsur?(E). Théorème(Anneau?(E))SoitEun?-espace vectoriel.

•Le triplet?(E),+,◦est un anneau d"élément neutre multiplicatif 1?(E)=IdE, non commutatif en général.

•GL(E)est le groupe des inversibles de l"anneau?(E): U?(E)=GL(E).

On omet souvent de noter le symbole◦de composition en notantgfà la place deg◦fpour tousf,g? ?(E).

La loi produit de?(E)est laCOMPOSITION. Pour tousf? ?(E)etn??,fndésigne donc IdEsin=0 etf◦f◦...◦f?

ntermessin?1. Comme dans tout anneau, deux formules importantes sont vraies dans?(E): (f+g)n=n k=0! n k! f kgn-k(formule du binôme)etfn-gn= (f-g)n-1? k=0f kgn-k-1

pour tousf,g? ?(E)QUI COMMUTENT. Il est essentiel quefetgcommutent. Pour montrer que(f+g)(f-g) =f2-g2

par exemple, il faut pouvoir simplifierf gavecgf. DémonstrationPour commencer,?(E)est un groupe commutatif pour l"addition en tant que sous-espace vectoriel deEE.

Ensuite,lacompositionestuneloidecompositioninterne sur?(E)carlacomposéededeuxapplications linéaires

est linéaire. Cette loi est associative et admet Id E, qui est linéaire, pour élément neutre. Enfin, nous avons vu juste avant que la composition est distributive sur l"addition. ExempleLes endomorphismesPD?-→P?etPM?-→XPde?[X]NEcommutentPAS, donc l"anneau??[X]

N"estPAS

commutatif. Par exempleD◦M(X) =X2?=2Xalors queM◦D(X) =X×X?=X. Définition(Endomorphisme nilpotent)SoitEun?-espace vectoriel etf? ?(E). On dit quefestnilpotentsi f

k=0?(E)pour un certaink???. Le plus petit de ces entierskest alors appelé l"indice de nilpotence de f.

ExemplePour toutn??, l"endomorphismePD?-→P?de?n[X]est nilpotent d"indicen+1. DémonstrationPour toutP??n[X]:P(n+1)=0, doncDn+1=0?(?n[X]), doncDest nilpotent d"indice

inférieur ou égal àn+1. L"égalitéXn(n)=n! montre cependant queDn?=0?(?n[X]), doncDest d"indicen+1

(exactement). 4

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1.3 IMAGE D"UN SOUS-ESPACE VECTORIEL

Théorème(Image d"un sous-espace vectoriel par une application linéaire)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels

etf? ?(E,F). Pour tout sous-espace vectorielAdeE, l"imagef(A)deAparfest un sous-espace vectoriel deF.

En particulier, l"imagef(E)est un sous-espace vectoriel deFnoté Imfetfest surjective deEsurFsi et seulement si

Imf=F.

DémonstrationSoitAun sous-espace vectoriel deE. Montrons quef(A)est un sous-espace vectoriel deF. Pour

commencerf(A)?Fet 0F=f(0E)?f(A). Ensuite, soienty,y??f(A)etλ??, disonsy=f(a)ety?=f(a?) pour certainsa,a??A. Par linéarité def:λy+y?=λf(a)+f(a?) =fλa+a?avecλa+a??AcarAest un sous-espace vectoriel deE, doncλy+y??f(A).

ExempleL"image de l"endomorphisme(x,y,z)g?-→x+2y+z,2x+y-z,x+2y+zde?3est le plan d"équationz=x.

DémonstrationPour tout(x,y,z)??3:(x,y,z)?Img???(a,b,c)??3,

C"est l"EXISTENCE

d"un antécédent qui compte.(x,y,z) =g(a,b,c) ?? ?(a,b,c)??3,???a+2b+c=x

2a+b-c=y

a+2b+c=z ?? ?(a,b,c)??3,???a+2b+c=x

3b+3c=2x-y

0=z-xL

2←2L1-L2

L

3←L3-L1??z=x.

La dernière équivalence dans laquelle le système disparaîtn"est pas un tour de passe-passe à reproduire bêtement.

Le système final possède une solution —EXISTENCE— si et seulement siz=x. Il est clair qu"il n"a pas de solution

siz?=x, et on en obtient siz=xen utilisantccomme paramètre.

Théorème(Image d"un Vect par une application linéaire)SoientEetFdeux?-espaces vectoriels etf? ?(E,F).

Pour toute partieXdeE:fVect(X)=Vectf(X).

En particulier, siEpossède une base(ei)i?I: Imf=Vectf(ei) i?I. DémonstrationfVect(X)est un sous-espace vectoriel deFcontenantf(X), donc Vectf(X)?fVect(X).

Inversement, pour touty?fVect(X):y=f(λ1x1+...+λnxn)pour certainsx1,...,xn?Xetλ1,...,λn??,

donc par linéarité def:y=λ1f(x1)+...+λnf(xn)?Vectf(X). Enfin, siEpossède une base(ei)i?I: Imf=f(E) =fVect(ei)i?I=Vectf(ei) i?I. ExempleOn notefl"application linéaire(x,y)?-→2x+y,3x+5y,yde?2dans?3. Alors (2,3,0),(1,5,1) est une base de Imf.

DémonstrationLa famille

(1,0),(0,1) est une base de?2, donc f(1,0),f(0,1) (2,3,0),(1,5,1) engendre Imfd"après le théorème précédent, et cette famille est évidemment libre. ExemplePour toutn???, l"image de la dérivationDdes polynômes sur?n[X]est?n-1[X]. DémonstrationComme1,X,...,Xnest une base de?n[X]:

ImD=Vect

D(1),D(X),...,DXn

=Vect

0,1,2X,...,nXn-1

=Vect

1,X,...,Xn-1

=?n-1[X].

Définition-théorème(Image d"une matrice)SoitA? ?n,p(?)de colonnesC1,...,Cp. On appelleimage de Aet on

note ImAl"image de son application linéaire canoniquement associéeX?-→AXde?pdans?n. L"image deAse calcule aisément à partir desCOLONNESdeA: ImA=Vect(C1,...,Cp). DémonstrationEn notant(E1,...,En)la base canonique de?n:

ImA=Vect?A(E1),...,?A(En)

=VectAE1,...,AEn=Vect(C1,...,Cn). 5

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Les Vect tolèrent très bien qu"on y permute les vecteurs et qu"on y remplace un vecteurxpar une combinaison linéaire

des autres à condition de ne pas faire disparaîtrexcomplètement. Pour ces raisons, l"image d"une matrice peutêtre calculée

rapidement par des opérations élémentaires sur lesCOLONNES.

ExempleIm"

1 2 4 0

1-1 0 1

2 1 4 1"

=Im"

1 0 0 0

1 3 4 1

2 3 4 1"

C

2←2C1-C2

C

3←4C1-C3=Im"

1 0 1 1 2 1" =Im" 1 0 0 1 1 1" C

1←C1-C2

=Vect (1,0,1),(0,1,1)

1.4 ÉQUATIONS LINÉAIRES ET NOYAU

Nous avons déjà rencontré beaucoup d"équations linéaires,mais nous n"avions pas jusqu"ici un concept clair de linéarité.

On approfondit dans ce paragraphe en les généralisant quelques-unes de vos connaissances antérieures, dont le fameux

principe " Solution générale de l"équation complète=solution particulière+solution générale de l"équation homogène ».

Théorème(Image réciproque d"un sous-espace vectoriel par une application linéaire)SoientEetFdeux?-

espaces vectoriels,f? ?(E,F)etBun sous-espace vectoriel deF. L"image réciproquef-1(B)deBparfest alors un

sous-espace vectoriel deE. DémonstrationPour commencerf-1(B)?Eet 0E?f-1(B)carf(0E) =0F. Ensuite, soientx,x??f-1(B)et

λ??. Par hypothèsef(x)?Betf(x?)?BetBest un sous-espace vectoriel deF, doncλf(x) +f(x?)?B. Or

fλx+x?=λf(x)+f(x?)par linéarité def, doncfλx+x??B, i.e.λx+x??f-1(B).

Pour bien comprendre ce qui suit, n"oublions pas que toute application linéaire est un morphisme de groupes additifs,

donc possède un noyau à ce titre et on sait déjà que celui-ci caractérise l"injectivité.

Définition-théorème(Noyau d"une application linéaire ou d"une matrice)

•Noyau d"une application linéaire :SoientEetFdeux?-espaces vectoriels etf? ?(E,F). On appellenoyau

de fet le sous-espace vectoriel deE: Kerf=f-10F x?E|f(x) =0F En outre,fest injective si et seulement si Kerf=0E.

•Noyau d"une matrice :SoitA? ?n,p(?). On appellenoyau de Ale noyau de son application linéaire canoni-

quement associée, noté KerA, qui est donc un sous-espace vectoriel de?p.

LesLIGNESdeAdécrivent les équations du système linéaire homogène dont KerAest l"ensemble des solutions.

Le noyau defn"est jamais que l"ensemble des solutions de l"ÉQUATION LINÉAIRE HOMOGÈNEf(x) =0Fd"inconnuex?E.

On peut dire aussi que Kerfest l"ensemble des éléments deEqui ne comptent pas aux yeux def, qu"elle ne voit pas. En

effet, pour tousx?Eetk?Kerf:f(x+k) =f(x)par linéarité. Le noyau d"une matrice se lit souvent bien sur ses coefficients. Notons par exempleAla matrice"

1 2 3-6

0 1 1-2

1 1 2-4"

et C

1,C2,C3,C4ses colonnes. Assurez-vous que vous comprenez parfaitement les observations suivantes :

— D"abord :C3=C1+C2, doncC1+C2-C3=0, doncA((

1 1 -1 0)) 0 0 0" , i.e.(( 1 1 -1 0)) ?KerA.

— De même :C1+C2+C3+C4=0, donc((

1 1 1 1)) ?KerA. ExempleLa dérivation polynomialePD?-→P?sur?[X]a pour noyau KerD=?0[X]. ExempleNotonsfl"application linéaire(x,y,z)?-→2x+y-z,x-yde?3dans?2. Alors Kerf=Vect (1,1,3) , mais on peut aussi dire, de façon équivalente, que Ker 2 1-1 1-1 0 =Vect (1,1,3) DémonstrationPourtout(x,y,z)??3:(x,y,z)?Kerf??f(x,y,z) = (0,0) ??!2x+y-z=0 x-y=0??!y=x z=3x, donc Kerf= (x,x,3x)|x?? =Vect (1,1,3) 6

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ExempleOn poseA= 1 22 1

. L"endomorphismeM??-→AM-tr(M)Ade?2(?)est injectif. DémonstrationL"inclusion Ker??0suffira. Pour toutM= a cquotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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