[PDF] Chapitre 5. Applications linéaires

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Chapitre 5. Applications linéaires

§1 Applications linéaires.

SoientE,Fdeux sous espaces vectoriel. Les applications les plus simplesf:E→Fsont linéaires.

Definition :f:E→Fest

linéairesi, pour tout?u,?v?Eet tout

λ?R, on a

f(?u+?v) =f(?u) +f(?v),f(λ?u) =λ·f(?u). Exemple :A?u=?v. On varie?udansRnet on obtient une application, linéaire. Théorème.Toute application linéaire s"écrit sous la forme d"un u?→A?uavec un certain choix deA. Pour retrouver la matrice, il suffit de tester sur la base canonique, puis appliquer linéairement. On utiliseEpour désigner la base canonique(?e1,···,?en): deRn. Voici

4 écrituresd"un vecteur?wdansRn:?w=(((((x

1 x 2... x n))))) =x1?e1+x2?e2+···+xn?en= (?e1,···,?en)(((((x 1 x 2... x n))))) =E(((((x 1 x 2... x n))))) On appliquef:f(?w) =f(x1?e1+x2?e2+···+xn?en)par linéarité= x

1f(?e1) +x2f(?e2) +···+xnf(?en) =

(f(?e1),···,f(?en))(((((x 1 x 2... x n))))) = (f(?e1,···,?en))(((((x 1 x 2... x n))))) =EA(((((x 1 x 2... x n))))) Géométriquement : on considèrefcomme une transformation de R nqui transforme un groupe de points en un autre groupe de points. Par exemple il transforme un point/droite/plan à unautre.

Exemples

1. f(?x y? ) =?1 00 0?? x y? =?x 0? est laprojection orthogonaledu plan sur l"axe des abscisses.

2.f(?x

y? ) =I2?x y? +?21? =?x+2 y+1? est unetranslationdu plan.

3.SoitRθ=?cosθ-sinθ

sinθcosθ? . Par calcul : R

θ?rcosφ

rsinφ? =?rcos(θ+φ) rsin(θ+φ? En utilisant les coordonnées polaires du plan on voit queRθ represente unerotationd"angleθ(orienté) du plan.

4.Rπ2?

x y? =?0-1 1 0?? x y? =?-y x? est bien la rotation de

π/2=90odans le sens direct.

5.f(?x

y? ) =?1 00-1?? x y? =?x -y? est la symétrie par rapport à l"axe des abscisses.

6.f(?x

y? ) =?λ0

0λ??

x y? =?λx

λy?

est appeléehomothétiede rapportλ >0 dans le plan, centrée à l"origine.

7.f(?x

y? )=?2 00 2?? x y? +?10? =?2x+1 2y? est une homothétie de rapport 2, centrée en(-1;0)(exo).

8.f(?x

y? ) =?1 00λ?? x y? =?x

λy?

(avecλ >0) est appelée affinitédu plan (préservant l"axe des abscisses).

Les 3 formes d"un système linéaire

1. d"un système d"équations

2. de produit matricielA?x=?b, ou bien, en représentantApar ses

colonnes ?v1···?vm)((( x1... x m)))=(((b 1... b n)))

3. de combinaison linéaire :

x1?v1+x2?v2+···+xm?vm=?b. Interprétation du point 2: Etant donner une matriceA, on considère l"application linéairef:((( x1... x m)))?→A(((x1... x m))).Résoudre le systèmeA ?x=?brevient à déterminer les antécédents de?bparf. §2 Image et noyau d"une application linéaire. DéfinitionSoitf:Rm→Rnd"une application linéaire, de la forme x1... x m)))?→(((a

11···a1m......

a n1···anm))) (x1... x m)))=A?x. §2 Image et noyau d"une application linéaire. DéfinitionSoitf:Rm→Rnd"une application linéaire, de la forme x1... x m)))?→(((a

11···a1m......

a n1···anm))) (x1... x m)))=A?x. Le noyaudef, noté parKer(f), est l"ensemble des antécédents du vecteur ?0:

Ker(f) ={?x|f(?x) =?0}={?x|A?x=?0}

=l"ensemble des solutions du systèmeA?x=?0.

Exemple.Soitf?x

y? =x+y. Quel est le noyau def? Et pour f ?x y? =?1 12 2?? x y? Théorème.Pour toute application linéairef:Rm→Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

?u,?v?Ker(f)et toutλ?R, u+?v?Ker(f)etλ?u?Ker(f). Ou bienf(?u) =?0=f(?v)implique f(?u+?v) =?0etf(λ?u) =?0. DéfinitionSoitf:Rm→Rnd"une application linéaire, de la forme ?x=((( x1... x m)))?→(((a

11···a1m......

a n1···anm))) (x1... x m)))=A ?x=f(?x). Théorème.Pour toute application linéairef:Rm→Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

?u,?v?Ker(f)et toutλ?R, u+?v?Ker(f)etλ?u?Ker(f). Ou bienf(?u) =?0=f(?v)implique f(?u+?v) =?0etf(λ?u) =?0. DéfinitionSoitf:Rm→Rnd"une application linéaire, de la forme ?x=((( x1... x m)))?→(((a

11···a1m......

a n1···anm))) (x1... x m)))=A ?x=f(?x). L"imagedef, noté parIm(f), est l"ensembleIm(f) ={f(?x)|?x?Rm} Théorème.Pour toute application linéairef:Rm→Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

?u,?v?Ker(f)et toutλ?R, u+?v?Ker(f)etλ?u?Ker(f). Ou bienf(?u) =?0=f(?v)implique f(?u+?v) =?0etf(λ?u) =?0. DéfinitionSoitf:Rm→Rnd"une application linéaire, de la forme ?x=((( x1... x m)))?→(((a

11···a1m......

a n1···anm))) (x1... x m)))=A ?x=f(?x). L"imagedef, noté parIm(f), est l"ensembleIm(f) ={f(?x)|?x?Rm} Théorème.Pour toute application linéairef:Rm→Rn,Im(f)est un sous espace vectoriel deRn, de plusIm(f) =??u1,···,?um?, où ujest la j-ième colonne deA. Théorème.Pour toute application linéairef:Rm→Rn,Ker(f) est un sous espace vectoriel deRm.

Preuve. Il faut vérifier que pour tout

?u,?v?Ker(f)et toutλ?R, u+?v?Ker(f)etλ?u?Ker(f). Ou bienf(?u) =?0=f(?v)implique f(?u+?v) =?0etf(λ?u) =?0. DéfinitionSoitf:Rm→Rnd"une application linéaire, de la forme ?x=((( x1... x m)))?→(((a

11···a1m......

a n1···anm))) (x1... x m)))=A ?x=f(?x). L"imagedef, noté parIm(f), est l"ensembleIm(f) ={f(?x)|?x?Rm} Théorème.Pour toute application linéairef:Rm→Rn,Im(f)est un sous espace vectoriel deRn, de plusIm(f) =??u1,···,?um?, où ujest la j-ième colonne deA. Preuve. CarIm(f) =?f(?e1),···,f(?em)?etf(?ej) =?uj, j=1···,m.

SoitAla matrice def, Base deIm(f)etKer(f)

Comment trouver une base deKer(f)et une baseIm(f)?

SoitAla matrice def, Base deIm(f)etKer(f)

Comment trouver une base deKer(f)et une baseIm(f)? On

échelonne

A Id?BH, les colonnes non-nulles deBforment une base deIm(f), et les colonnes deHsous les colonnes nulles deB forment une base deKer(f). (pourquoi?)

Exemple.f(?x) =((1-1 1

1 0 2

1 1 3))

(xy z)) , doncA=((1-1 1 1 0 2

1 1 3))

(1-1 1 1 0 2 1 1 3 10 0 0 10 0 0 1 )C

2?C2+C1

C

3?C3-C1((((((((1

?0 0 1 1 1 2 1 1-1 0 1 0

0 0 1))))))))

C

3?C3-C2

-→((((((((1 0 0 11?0 1 20 1 1-2 0 1-1

0 0 1))))))))

AlorsB=??,H=??, une base deIm(f)? Une base deKer(f)?

Dimension deIm(f)? deIm(f)?

§3 Matrice et Rang def

Pourf:?x

y? ?→((x 3x-y x+2y)) =A?x y? , avecA=

§3 Matrice et Rang def

Pourf:?x

y? ?→((x 3x-y x+2y)) =A?x y? , avecA=((1 03-1 1 2)) On dit aussi queAest la matrice defdans la base canonique.

§3 Matrice et Rang def

Pourf:?x

y? ?→((x 3x-y x+2y))quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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