[PDF] Applications linéaires Un automorphisme est donc un

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Chapitre 22

Applications linéaires

Table des matières

1 Définitions et premières propriétés

3

1.1 Application linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Opérations sur les applications linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Combinaisons linéaires d"applications linéaires.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Composition d"applications linéaires.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Isomorphismes, endomorphisme, automorphisme, forme linéaire.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Isomorphismes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Endomorphismes et automorphismes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Formes linéaires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Matrice d"une application linéaire en dimension finie.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Noyau et Image8

2.1 Noyau d"un application linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Image d"une application linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Applications linéaires en dimension finie

9

3.1 Image et noyau en dimension finie.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Image d"une famille génératrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.2 Image d"une base par une application linéaire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Rang d"une application linéaire, théorème du rang.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Isomorphismes en dimension finie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3.1 Espaces vectoriels isomorphes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3.2 Caractérisation des isomorphismes pour des espaces de même dimension

. . . . . . . . . . 11

3.3.3 Caractérisation des automorphismes en dimension finie.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Rang d"une matrice

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Projecteurs et symétries.13

5 Compléments : Opérations sur les endomorphismes, polynômes d"endomorphismes

15

2Applications linéairesECS1 - Mathématiques(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les Experts

Applications linéaires3Dans tout ce chapitre, sauf mention explicite,R=peut être remplacé parC.

1 Définitions et premières propriétés

1.1 Application linéaireDéfinition 1. (Application linéaire)

Une applicationfest dite linéaire si elle va d"unR-espace vectorielEdans unR-espace vectorielFet est telle

que : ?(u,v)?E2,?a,b?R, f(au+bv) =af(u) +bf(v).Remarque. Cette définition est équivalente à demander les deux conditions suivantes :

1.?u,v?E,f(u+v) =f(u) +f(v)

2.?a?R,?u?E,f(au) =af(u)

Il est donc possible de vérifier ces deux points séparément si cela apporte plus de clarté au raisonnement.Remarque.

Cette définition est encore équivalente à demander la condition suivante : ?u,v?E,?a?R, f(au+v) =af(u) +f(v)

On peut donc se contenter de vérifier cette égalité pour prouver qu"une application est linéaire.Proposition 1. (Applications linéaires de référence.)

Pour toutes les applications ci-dessous, on pourra affirmer qu"elles sont linéaires sans le justifier.

L"application nulle?E-→E

u?-→0Eest linéaire.

L"application "identité deE",idE:?E-→E

u?-→uest linéaire.

L"application dérivation est linéaire.

L"application transposée?M

n(R)-→ Mn(R)

M?-→tMest linéaire.

Pour tout matriceA? Mn,p(R), l"application?A:?M

n,1(R)-→ Mp,1(R)

X?-→AXest linéaire.(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

4Applications linéairesDéfinition 2. (Ensemble des applications linéaire.)

On noteL(E,F)l"ensemble des applications linéaires deEdansF.

Écriref?L(E,F)signifie donc quefest une application linéaire deEdansF.Proposition 2. (Image du vecteur nul et linéarité surnvecteurs.)

Soitf?L(E,F).

1.f(0E) = 0F.

2.?n?N?,?(u1,...,un)?En,?(a1,...,an)?Rn,

f(a1u1+···+anun) =a1f(u1) +···+anf(un).

1.2 Opérations sur les applications linéaires

1.2.1 Combinaisons linéaires d"applications linéaires.Proposition 3. (Une combinaison linéaire d"applications linéaires est linéaire)

SoientEetFdeux espaces vectoriels etf,g?L(E,F)et(λ,μ)?R. Alorsλf+μg?L(E,F).Proposition 4. (L(E,F)est un espace vectoriel.)

SoientEetFdeux espaces vectoriels.

L(E,F)est un sous-espace vectoriel de l"espace vectoriel des applications deEdansF

1.2.2 Composition d"applications linéaires.Proposition 5. (Composée de deux applications linéaires)

SoientE,F,Gtrois espaces vectoriels etf?L(E,F),g?L(F,G), alorsg◦f?L(E,G).

Autrement dit :la composée de deux applications linéaires est une application linéaire.Attention !Comme pour les fonctions réelles, en général,

f◦g?=g◦fECS1 - Mathématiques(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les Experts

Applications linéaires51.3 Isomorphismes, endomorphisme, automorphisme, forme linéaire.

1.3.1 IsomorphismesDéfinition 3. (isomorphisme)

SoientEetFdeux espaces vectoriels.

On appelleisomorphisme deEsurFtouteapplication linéaire et bijectivedeEsurF.Méthode à retenir n

o1

Montrer qu"une application linéaire est un isomorphisme et déterminerf-1Attention !Cette méthode est utile si on veut déterminerf-1. Si on veut seulement prouver quefest

un isomorphisme, on appliquera en général la proposition 26
1.

On montre déj àque fest linéaire

2. On m ontreensuite que p ourtout v?F, l"équationf(u) =vadmet une unique solutionu?E. Cette solution donne alors l"expression def-1.Proposition 6. (Caractérisation d"un isomorphisme)

SoientEetFdeux espaces vectoriels etf?L(E,F).

fest un isomorphisme si et seulement si il existeg?L(F,E)telle queg◦f= idEetf◦g= idF. Dans ce cas,g=f-1.Proposition 7. (La réciproque d"un isomorphisme est linéaire.) SoientEetFdeux espaces vectoriels etfun isomorphisme deEde surF.

Alorsf-1est linéaire et c"est donc un isomorphisme deFsurE.Proposition 8. (La composée de deux isomorphismes est un isomorphisme.)

Soientf:E→Fetg:F→Gdeux isomorphismes. Alorsg◦fest un isomorphisme et(g◦f)-1=f-1◦g-1.Remarque.On voit qu"il y a une analogie très forte avec le résultat vu sur les matrices (SiAetBsont

inversibles, alorsABaussi et(AB)-1=B-1A-1). On verra plus loin qu"il y a en effet un lien très étroit entre

les applications linéaires en dimension finie et les matrices.(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

6Applications linéaires1.3.2 Endomorphismes et automorphismes

Définition 4. (endomorphisme)

SoitEun espace vectoriel.

On appelleendomorphisme deEtout application linéaire deEdans lui-même. On noteL(E)(plutôt queL(E,E)) l"ensemble des endomorphismes deE.Définition 5. (automorphisme)

SoitEun espace vectoriel.

On appelleautomorphisme deEtout endomorphisme deEqui est aussi un isomorphisme.

On noteGL(E)l"ensemble des automorphismes deE.Remarque.Un automorphisme est donc un endomorphisme bijectif.Proposition 9. (Stabilité deGL(E)par passage à la réciproque et par composition)

Autrement dit :GL(E)est stable par passage à la réciproque et par composition.Remarque.On pourra (pour une fois) se passer de retenir la proposition ci-dessus car c"est une conséquence

directe des propositions 7 et 8

1.3.3 Formes linéairesDéfinition 6. (forme linéaire)

SoitEunR-espace vectoriel.

On appelle forme linéaire surEtout application linéaire deEsurR.Remarque.Cette définition est bien licite carRest bien unR-espace vectoriel.Attention !On pensera bien au fait que siEest uneC-espace vectoriel une forme linéaire surEest une

application linéaire deEsurC.ECS1 - Mathématiques(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les Experts

Applications linéaires71.4 Matrice d"une application linéaire en dimension finie. Définition 7. (Matrice d"une application linéaire dans deux bases.) soientEetFdes espaces vectorielsde dimension finieetBE= (e1,...,ep)etBF= (b1,...,bn), respective- ment une base deEet deF. Soitf?L(E,F)on appellematrice defdans les basesBEetBFla matrice deMn,p(R)notéeMatBF,BE(f)

définie par(MatBF,BE(f))i,j=ai,joù pour touti?J1,nKet toutj?J1,nK,ai,jreprésente lai-ème coordonnée

def(ej)dans la baseBF.Proposition 10. (Composition des applications linéaires et produit matriciel)

SoientE,F,Gtrois espaces vectoriels de dimension finie etBE,BFetBGdes bases de ces espaces. Soitf?L(E,F)etg?L(F,G). On noteMla matrice defdans les baseBEetBFetNcelle degdans les basesBFetBG.

La matrice deg◦fdans les basesBEetBGestN×M.Proposition 11. (Caractérisation des isomorphismes)

Soitf?L(E,F)avecEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie etMla matrice defdans des bases deEet deF. fest un isomorphisme deEsurFsi et seulementMest carrée inversible.

Le cas échéant, la matrice def-1dans ces mêmes bases estM-1.Proposition 12. (condition nécessaire d"isomorphisme)

Soitf?L(E,F)avecEetFdeux espaces vectoriels de dimension finie.

Sifest un isomorphisme deEsurFalorsdimE= dimF.Attention !La réciproque est fausse, on peut avoirdimE= dimFsans quefne soit un isomorphisme.(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

8Applications linéaires2 Noyau et Image

2.1 Noyau d"un application linéaireDéfinition 8. (Noyau d"un application linéaire)

Soitf?L(E,F). On appellenoyau defl"ensemble notéKerf(ouKer(f)) défini par :

Kerf={u?E|f(u) = 0F}

C"est donc l"ensemble des antécédents du vecteur nul0F. On a évidemmentKerf?E.Proposition 13. (Kerfest un sous-espace vectoriel)

Soitf?L(E,F).

Kerfest un sous-espace vectoriel deE.Proposition 14. (Critère d"injectivité d"une application linéaire)

Soitf?L(E,F).

fest injective si et seulement siKerf={0E}Attention !Cette propriété n"est valable que sifest linéaire!

2.2 Image d"une application linéaireDéfinition 9. (Image d"une application linéaire)

Soitf?L(E,F).

L"image def, notéeImfouIm(f)est l"ensemble :

Imf=? f(u)|u?E? v?F|?u?E, v=f(u)?

On a évidemmentImf?F.Remarque.

1. A ttention,Imfne signifie pas du tout "la partie imaginaire def" ce qui n"a aucun sens.

2.Imfest donc l"ensemble des images parf.Proposition 15. (Imfest un sous-espace vectoriel)

Soitf?L(E,F).

Imfest un sous-espace vectoriel deF.Proposition 16. (Caractérisation de la surjectivité d"une application linéaire)

Soitf?L(E,F).

fest surjective si et seulement siImf=F.ECS1 - Mathématiques(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les Experts

Applications linéaires93 Applications linéaires en dimension finie

3.1 Image et noyau en dimension finie.

3.1.1 Image d"une famille génératriceDéfinition 10. (Image d"une famille de vecteurs)

Soitf?L(E,F)etF= (u1,...,un)une famille de vecteurs deE.

On a appelle image deFparfla famille(f(u1),...,f(un))Proposition 17. (Image d"une famille génératrice par une application linéaire.)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFun espace vectoriel quelconque etf?L(E,F).

L"image d"une famille génératrice deEest une famille génératrice deImf.Remarque.Dans cette proposition, seulEdoit être de de dimension finie,Fpeut être de dimension infinie.

3.1.2 Image d"une base par une application linéaire

L"image d"une base par une application linéaire nous donne beaucoup d"informations sur cette application.Proposition 18. (Image d"une base par une application linéaire.)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFun espace vectoriel quelconque etf?L(E,F).

L"image d"une base deEest une famille génératrice deImf.Proposition 19. (Image d"une base par une application linéaire.)

SoitEun espace vectoriel de dimension finie etFun espace vectoriel quelconque etf?L(E,F).

SoitBune base deE.

fest injective si et seulement si l"image deBest une famille libre deF. fest surjective si et seulement si l"image deBest une famille génératrice deF. fest un isomorphisme si et seulement si l"image deBest une base deF.Méthode à retenir n o2

Déterminer une base deImf.

1.

Prendre une famille génératrice (e1,...,en)deE(en général on prend la base canonique) et calculer

f(e1), f(e2),..., f(en)qui est donc une famille génératrice deImf. 2.

Déterminer si

f(e1),...,f(en)? est libre. Si ce n"est pas le cas, enlever les vecteurs qui sont

combinaison linéaire des autres pour obtenir une sous-famille libre.(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

10Applications linéairesProposition 20. (Application linéaire définie par les images d"une base)

SoientEun espace vectoriel et de dimension finie,Fun espace vectoriel (quelconque) et(e1,...,en)une base

deE,(v1,...,vn)une famille de vecteurs deF.

Il existe une unique application linéairef?L(E,F)telle que l"image de(e1,...,en)parfsoit la famille

(v1,...,vn).

Autrement dit :On définit complètement une application linéaire en donnant les images des vecteurs d"une

base.

3.2 Rang d"une application linéaire, théorème du rang.Définition 11. (Rang d"une application linéaire)

SoientEetFdes espaces vectorielsde dimension finieetf?L(E,F). On appelle rang defet on notergfla dimension de l"image def: rgf= dim? Imf? .Proposition 21. (Théorème du rang) SoientEetFdes espaces vectorielsde dimension finieetf?L(E,F).

On a :

dim?

Ker(f)?

+ rgf= dim(E).

Autrement dit :

dim?

Ker(f)?

+ dim? Imf?

= dim(E).Proposition 22. (Caractérisation de l"injectivité et de la surjectivité par le rang.)

On suppose queFest aussi un espace vectoriel de dimension finie. Soitf?L(E,F).

1.fest injective si et seulement sirgf= dimE.

2.fest surjective si et seulement sirgf= dimF.Proposition 23. (Un hyperplan est toujours le noyau d"une forme linéaire non nulle.)

Hest un hyperplan deEsi et seulement siH= Kerfoùfest une forme linéaire non nulle.ECS1 - Mathématiques(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les Experts

Applications linéaires113.3 Isomorphismes en dimension finie

3.3.1 Espaces vectoriels isomorphesDéfinition 12. (Espaces vectoriels isomorphes)

Deux espaces vectorielsEetFsont ditsisomorphess"il existe un isomorphisme deEsurF.Proposition 24. (Espaces vectoriels isomorphes)

SoientEetFdes espaces vectorielsde dimension finie.

EetFsont isomorphes si et seulement sidimE= dimF.Proposition 25. (Espaces vectoriels de dimensionnetRn)

Un espace vectoriel de dimensionnest toujours isomorphe àRn.

3.3.2 Caractérisation des isomorphismes pour des espaces de même dimensionProposition 26. (Caractérisation des isomorphismes pour des espaces de même dimension)

SoientEetFdes espaces vectorielsde dimension finie tels quedimE= dimF.

Soitf?L(E,F).

fest un isomorphisme??fest injective??fest surjective.

Autrement dit :pour montrer la surjectivité defil suffit de montrer son injectivité et réciproquement.Remarque.En pratique, il est souvent plus simple de montrer quefest injective.

3.3.3 Caractérisation des automorphismes en dimension finie.

Dans le cas oùfest un endomorphisme en dimension finie, les conditions de la proposition26 sont automati-

quement vérifiées et cela donne la proposition suivante :Proposition 27. (Caractérisation des automorphismes en dimension finie)

SoientEun espace vectorielde dimension finieetfun endomorphisme deE. fest un automorphisme??fest injectif??fest surjectif.

Autrement dit :En dimension finie :

un endomorphisme est un automorphisme si et seulement si il est injectif. un endomorphisme est un automorphisme si et seulement si il est surjectif.

En général, pour prouver qu"un endomorphisme est un automorphisme (en dimension finie), on cherchera à

prouver qu"il est injectif car c"est souvent plus facile à montrer que la surjectivité.(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

12Applications linéaires3.4 Rang d"une matrice

Définition 13. (Rang d"une matrice)

SoitM? Mn,p(K)etc1,...,cples vecteurs deKndéfinies par les colonnes deMdans la base canonique. On appelle rang deMle rang de la famille(c1,...,cp).Exemple 1.

Déterminer le rang de(

(1 1 1 1 0-1

2 0 1)

)et le rang de( (1 1 1 1 1 1

1 1 1)

)Proposition 28. (Lien entre le rang d"une matrice et le rang de l"application linéaire associée.)

Soitf?L(E,F), etAsa matrice associée dans des bases fixées deEetF. Alorsrg(f) = rg(A) A? Gln(K)?rg(A) =nProposition 29. (Rang et transposée)

SoitA? Mn,p(K).rg(A) = rg(tA)ECS1 - Mathématiques(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les Experts

Applications linéaires134 Projecteurs et symétries.

Définition 14. (Projecteurs)

SoitFetGdeux sous-espaces vectoriels supplémentaires deE(E=F?G). Ainsi, pour toutu?E, il existe un unique couple(uF,uG)avecuF?FetuG?Gtels queu=uF+uG.

On appelleprojecteur (ou projection) surFparallèlement àGl"application linéaireptelle quep(u) =uF.

De même on appelle projecteur surGparallèlement àFl"applicationqtelle queq(u) =uG. petqsont appelés projecteurs associés à la somme directeE=F?G.

Voir ici l"illustration dansR2.

Voir ici l"illustration dansR3.Proposition 30. (Image et noyau d"un projecteur ***) Soitple projecteur surFparallèlement àG. AlorsImp=FetKerp=G. En particulierE= Kerp?Imp.Proposition 31. (propriétés des projecteurs.) Soitple projecteur surFparallèlement àGetqle projecteur surGparallèlement àF. p+q= idE p◦q=q◦p= 0 Imp= Ker(p-idE)Proposition 32. (Caractérisation des projecteurs ***)

Réciproquement, soitp?L(E).

pest un projecteur si et seulement sip2=p.

Dans ce cas,pest un projecteur surImpparallèlement àKerpet on a doncE= Kerp?Imp.Remarque.p2signifiep◦pDéfinition 15. (symétrie)

SoitFetGtels queE=F?G. On appelle symètrie par rapport àFparallèlement àGl"endomorphismes

vérifiants(u) =uF-uG. On a doncs=p-q= 2p-idE= idE-2q.Proposition 33. (Propriétés des symétries) On as◦s= idEetE1= Ker(s-idE)etE2= Ker(s+ idE).

Sur le dessin ci-dessous est représenté un planFet une droiteGet pour un vecteuru,p(u)la projection de ce

vecteur surFparallèlement àGets(u)la symétrie par rapport àFparallèlement àG.(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

14Applications linéairesECS1 - Mathématiques(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les Experts

Applications linéaires155 Compléments : Opérations sur les endomorphismes, polynômes d"endomor-

phismesDéfinition 16. (endomorphismes qui commutent)

Soientfetgdeux endomorphismes deE.

On dit quefetgcommutent lorsquef◦g=g◦f.Exemple 2.L"application nulle etidEcommutent avec tous les endomorphismes deERemarque. Seuls des endomorphismes peuvent commuter.En effet, sifetgsont des applications linéaires

définies respectivement surEetE?et quefetgcommutent. Alors pour toutx?E, on doit avoirg? f(x)? f? g(x)?

. Donc il faut queg(x)soit définie pour toutx?Ece qui signifie quegdoit être définie surEdonc

queE?soit égal àE. De même il faut queg? f(x)? soit définit donc il faut que, pour toutx,f(x)?E, donc quefappartienne àL(E)et de même on montre que pour toutx?E, on doit avoirg(x)?Edoncgdoit être un endomorphisme deE.Définition 17. (Puissances d"un endomorphisme) Soitf?L(E)etn?N. On notefnl"endomorphisme deEdéfini par : f n=? ?????id

ESin= 0

f◦ ··· ◦f???? composéenfoissinonExemple 3.

Soitf:R3→R3définie parf(x,y,z) = (2x-y,x+ 3y-z,x+y). Calculerf2Solution rédigée de l"exemple3

fet bien un endomorphisme (deR3) doncf2est bien définie.(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les ExpertsECS1 - Mathématiques

16Applications linéairesSoit(x,y,z)?R3, on a :

f

2(x,y,z) =f◦f(x,y,z)

=f? f(x,y,z)? =f(2x-y????

X,x+ 3y-z????

Y,x+y????

Z) = (2X-Y,X+ 3Y-Z,X+Y) = (4x-2y-x-3y+z,2x-y+ 3x+ 9y-3z-x-y,2x-y+x+ 3y-z)

=(3x-5y+z,4x+ 7y-3z,3x+ 2y-z)Proposition 34. (Règles de calcul sur les puissances d"endomorphismes)

Soitf?L(E).

?n,m?N, fn◦fm=fn+met(fn)m=fnm= (fm)n.Remarque.On en déduit que deux puissancesfnetfmd"un même endomorphisme commutent :

f n◦fm=fn+m=fm+n=fm◦fn.Proposition 35. (formule du binôme de Newton) Sifetg?L(E)commutent, alors on peut appliquer la formule du binôme de Newton : ?n?N,(f+g)n=n? k=0? n k? f k◦gn-k

On fera bien attention au◦qui apparaît dans la somme. On voit qu"il faut être particulièrement rigoureux quand

on applique cette formule!Exemple 4. soitf?L(E).fcommute avecidEdonc : (f+ idE)2=f2+ 2f◦idE+ (idE)2 =f

2+ 2f+ idE.On alors, pour toutu?E:

(f+ idE)2(u) =f2(u) + 2f(u) + idE(u) =f2(u) + 2f(u) +uECS1 - Mathématiques(?) : minimum vital | (??) : au programme | (? ? ?) : Pour les Experts

Applications linéaires17Définition 18. (Polynôme d"endomorphisme)

On noteP(f)l"endomorphisme deEdéfini par :

P(f) =a0idE+a1f+···+anfn.

On a alors, pour toutu?E:

P(f)(u) =a0u+a1f(u) +···+anfn(u).

On dit quePest un polynôme annulateur defsiP(f)est l"endomorphisme nul.Exemple 5.

Soitf: (x,y)?→(-y,-x)etP=X2-1.

1.

Montrer que f?L?

R2? 2. Déterminer P(f).Solution rédigée de l"exemple5

1.fest bien une application deR2dansR2. Il reste à montrer qu"elle est linéaire.

Soitu= (x,y),v= (x?,y?)?R2eta,b?R.

f(au+bv) =f? a(x,y) +b(x?+y?)? =f(ax+bx?????

X,ay+by?

Y) = (-Y,-X) = (-ay-by?,-ax-bx?) =a(-y,-x) +b(-y?,-x?) =af(u) +bf(v)quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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