1. Rang dune application linéaire PDF

Composition des applications linéaires

Linéarité de la composition : énoncé. Proposition. La composée de deux applications linéaires est encore linéaire. Plus formellement ça se lit :.

APPLICATIONS LINÉAIRES

Définition (Application linéaire) Soient E et F deux -espaces vectoriels. Théorème (Composition d'applications linéaires réciproque d'un isomorphisme) ...

Chapitre VI Applications linéaires

Une application linéaire vérifie toujours ( ??) ??. Construction générale d'applications linéaires en dimension finie. Théorème ... Composition : Si.

Applications Linéaires

Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme. Un endomorphisme bijectif est un automorphisme. S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21).

Applications linéaires

Un automorphisme est donc un endomorphisme bijectif. Proposition 9. (Stabilité de GL(E) par passage à la réciproque et par composition). Soient fg ? GL(

Applications linéaires

Nous verrons qu'il joue le rôle d'élément neutre pour la loi de composition entre endomorphismes. Un isomorphisme est un morphisme qui agit de façon réversible

1 Applications linéaires Morphismes

https://www.math.univ-toulouse.fr/~hallouin/Documents/Cours_ApplicationsLineaires.pdf

1. Rang dune application linéaire

Lorsque f : E ? F est une application linéaire et que E est de dimension finie Le plus important sera la composition des applications linéaires.

Chapitre 5. Applications linéaires

La composition de deux applications linéaires du plan est à nouveau une application linéaire du plan avec : fA(fA? (u)) = (AA?)u. Exemples. 1. Par calcul : R?R?

Applications affines

8 déc. 2003 l'application affine est déterminée par sa partie linéaire. Dans le cas ... 5 Composition des applications affines isomorphismes affines.

Chapitre 2 : Applications linéaires

C’est une application linéaire 2 Image et noyau d’une application linéaire Proposition 1 Soit f: E ? F une application linéaire L’ensemble des images des éléments de E f (E) est un sous-espace vectoriel de F appelé image de l’application linéaire f et noté Im f vf??Im ?u?E/ v=f() GGG u G Remarque - Imf est une

Chapitre 19 Applications linéaires- résumé

On note toutes les compositions d’applications avec le seul signe Exo 2 Sachant que h est dans L pq et f dans L rs dites quelles sont les compositions (lin´eaires) ?gurant dans la formule d’associativit´e (h g) f = h (g f)

Chapitre 5 Applications linéaires - univ-angersfr

Dé?nition Soit f :Rm ? Rn d’une application linéaire de la forme D’où : Proposition La composition de deux applications linéaires du plan

Chapitre 3bis : Applications linéaires et Matrices

Toutefois travailler avec des applications linéaires dont les espaces vectoriels sont munis d’une base permet d’énoncer comme nous allons le découvrir d’autres propriétés très intéressantes 1 Application linéaire et base SoientEetFdeux espaces vectoriels sur et f?L(EF)

Chapitre VI Applications linéaires

Une application linéaire transforme un segment de droite en un segment de droite puisque ? ? ? ? Exemples : ? ? est une application linéaire Plus généralement la donnée de combinaisons linéaires des coordonnées de définit une application linéaire ? ( = expressions de degré 1 dans les

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Théorème (Traduction de l’inversibilité en termes d’application linéaire canoniquement associée) Une matrice A ?Mn(K)est inversible si et seulement si l’application linéaire bAcanoniquement associée à A est un automorphisme de Kn Dans ce cas : Ab?1 =Ad?1

Comment calculer une application linéaire ?

Proposition 19.9: Soit f :E?F, une application linéaire ? f est un isomorphisme ssi Kerf = {0E} et Imf = F ? Si f est un isomorphisme alors f-1 est un isomorphisme de F sur E ? Sous réserve d’existence, le composée de deux isomorphismes est un isomorphisme. ? GL(E) muni de la composition est un groupe appelé groupe linéaire.

Comment calculer la composée de deux applications lin'eaires ?

:= (x,y,z) La compos´ee de deux applications lin´eaires est encore lin´eaire. ?f est lin´eaire. Soient p,q,r trois entiers, f dansLq,r et g dansLp,q.

Quelle est la dimension de l’application linéaire?

Nous verrons bientôt que les isomorphismes préservent la dimension. L’application linéaire (a,b,c) ? ??a+bX+cX2est par exemple un isomorphisme de R3dans R 2[X].

Comment calculer l'ensemble des applications linéaires ?

Corollaire : L’ensemble des applications linéaires de E sur F, noté ?(E, F), muni de la somme et du produit par un scalaire est un ?-EV. 2. Applications linéaires particulières 2.1 Forme linéaire Def : Soit f :E?F une application linéaire. Si F = E alors f est un endomorphisme. On note ?(E) l'ensemble des endomorphismes de E.

f(ei) =vi: ???? ?? ???????x= (x1;:::;xn)? ?? ? f(x1;:::;xn) =f(x1e1++xnen) =x1f(e1) ++xnf(en) =nX i=1x i(X+ 1)i: x=Pn ??f(x) =f nX i=1x iei! =nX i=1x if(ei) =nX i=1x ivi: ????? ?? ???? ???????f??? ??????? y? ???? ?? ????(e1;:::;en)? ????? f(x+y) =f nX i=1(xi+yi)ei! =nX i=1(xi+yi)f(ei) =nX i=1x if(ei) +nX i=1y if(ei) =f(x) +f(y): ?? (e1;:::;en)??? ??? ???? ??E? ?????Imf= Vectf(e1);:::;f(en)? i=1x iei? i=1x if(ei)? ?? ??? ?????? ?? ???????

3yz)? ???? ??? ?? ???? ??f?

?? ?? ????e1=100 ?e2=010 ??e3=001 ?? ?????? ?? ??????? ?? ???? ?? ?? ???????fv1;v2;v3g? v

1=f(e1) =f100

32); v2=f(e2) =f010

=43; v3=f(e3) =f001 =21

A=34 2

231
rgf>1? ???? ?? ???? ???2? rgf= rgf(e1);f(e2);f(e3)= dimVect(v1;v2;v3) = 2 ??f? f:R4!R3 (x1;x2;x3;x4)7!(x1x2+x3;2x1+ 2x2+ 6x3+ 4x4;x12x3x4) (x1;x2;x3;x4)2Kerf()f(x1;x2;x3;x4) = (0;0;0) 8 :x

1x2+x3= 0

2x1+ 2x2+ 6x3+ 4x4= 0

x12x3x4= 0 x

2+x3+x4= 0

Kerf= (2x3x4;x3x4;x3;x4)jx3;x42R x 3 2110
+x4 1101
jx3;x42R = Vect 2110
1101
?? ??????? ?dimImf= dimR4dimKerf= 42 = 2? ???? ?? ???? ??f???2? v

1=f(e1) =f

1000
=121 v

2=f(e2) =f

0100
=120 v

3=f(e3) =f

0010 =162 v

4=f(e4) =f

0001 =041 A=0 @11 1 0

2 2 6 4

1 0211

A 0 @1 0 0 0

2 4 0 0

11 0 01

A ???? ?? ???? ??A???2? ????? rgf= dimImf= dimVectf(e1);f(e2);f(e3);f(e4)= 2 f:Rn[X]!Rn[X]

P(X)7!P00(X)

P(X)2Kerf()fP(X)= 0

()P00(X) = 0 ()P0(X) =a ()P(X) =aX+b rgf= dimImf= dimVectf(1);f(X);:::;f(Xn): ?????dimKerf= dimRn[X]rgf= (n+ 1)(n1) = 2? p+1f(p+1) ++nf(n) = 0: p+1p+1++nn=11++pp: ??????? ??????f:R2!R2?????? ???f(x;y) = (xy;x+y)? ??? ????? ?????? ?? ??????? (x;y)2Kerf()f(x;y) = 0()(xy;x+y) = (0;0) x+y= 0 xy= 0()(x;y) = (0;0) ??? ???AB=I? ???? f:Mn(K)!Mn(K)?????? ???f(M) =MA? ????M=O? ? ?????? ??A?CA=I? (CA)B=IB=B??C(AB) =CI=C ????B=C?

16k6n?? ??? ?1???????0?

? ???j2 f1;:::;pg?f(ej)??? ?? ??????? ??F?? ??????? ?? ??????? ?????? ????? ?????? f(ej) =a1;jf1+a2;jf2++an;jfn=0 B BB@a 1;j a

2;j???

a n;j1 C CCA B 0: f(ej)???? ?? ????B0= (f1;f2;:::;fn)? 0 B

BB@f(e1)::: f(ej)::: f(ep)

1a11a1j::: a1p

f f nan1anj::: anp1 C CCA Mat

B;B0(f)?

F? ????B0??F? f:R3!R2 (x1;x2;x3)7!(x1+x2x3;x12x2+ 3x3)

7!x1+x2x3x12x2+3x3?

e 1=0 @1 0 01 A e2=0 @0 1 01 A e3=0 @0 0 11 A f1=1 0 f 2=0 1 ?????? ??? ?? ??????? ?? f???? ??? ?????B??B0? ??? ????(11)? Mat

B;B0(f)??? ????12?

Mat

B;B0(f)??? ????13?

Mat

B;B0(f) =1 11

12 3 1=0 @1 1 01 A 2=0 @1 0 11 A 3=0 @0 1 11 A 1=1 0 2=1 1 ??R2? ?????? ??? ?? ??????? ??f???? ??? ?????B0??B00? f(1) =f(1;1;0) = (2;1) = 312?f(2) =f(1;0;1) = (0;4) =41+ 42? f(3) =f(0;1;1) = (0;1) =1+2? ???? Mat

B0;B00(f) =341

1 4 1 ??? ???? ??F? ????? ? ?MatB;B0(f+g) = MatB;B0(f) + MatB;B0(g) ?MatB;B0(f) =MatB;B0(f) A= MatB;B0(f)B= MatB;B0(g)C= MatB;B0(f+g)D= MatB;B0(f)

C=A+B D=A

??E?B0??? ???? ??F??B00??? ???? ??G? ????? ? Mat

A= MatB;B0(f)B= MatB0;B00(g)C= MatB;B00(gf)

C=BA Mat B;B0(f) = (aij)2Mn;p(K)?? ??????? ??f?B= MatB0;B00(g) = (bij)2Mq;n(K)?? ??????? ?? g?C= MatB;B00(gf) = (cij)2Mq;p(K)?? ??????? ??gf? (gf)(e1) =gf(e1) =g(a11f1++an1fn) =a11g(f1) ++an1g(fn) =a11 b

11g1++bq1gq

++an1 b

1ng1++bqngq

0 B BB@a

11b11++an1b1n

11b21++an1b2n???

11bq1++an1bqn1

C CCA: E=R2?F=R3?G=R2????f:E!F?g:F!G? ?? ?? ????? ??? ????? ?B= (e1;e2)??? ???? ??E?B0= (f1;f2;f3)??? ???? ??F? ??B00= (g1;g2)??? ???? ??G?

A= MatB;B0(f) =0

@1 0 1 1 0 21 A

2M3;2B= MatB0;B00(g) =21 0

3 1 2 2M2;3 B

0= 1f1+ 1f2+ 0f3=f1+f2?

?? ?????f(e2) =012 B

0= 0f1+ 1f2+ 2f3=f2+ 2f3?

?g(f1) =2 3 B

00= 2g1+ 3g2

?g(f2) =1 1 B

00=g1+g2

?g(f3) =0 2 B

00= 2g2

gf(e1) =g(f1+f2) =g(f1) +g(f2) = (2g1+ 3g2) + (g1+g2) =g1+ 4g2 gf(e2) =g(f2+ 2f3) =g(f2) + 2g(f3) = (g1+g2) + 2(2g2) =g1+ 5g2 gf(e1) =g1+ 4g2=1 4 B

00gf(e2) =g1+ 5g2=1

5 B 00 C=11 4 5 ???R2?? Mat

B;B00(gf) =C=BA=21 0

3 1 2 0 @1 0 1 1 0 21 A =11 4 5 ??? ?? ?????? ????? id :E!E??? ?????? ???id(x) =x? ????? ?????? ??? ???? ?? ????B?? Mat

B(h) =In?

Mat

B(r) =cossin

sincos Mat

B(fp) =MatB(f)p

???Ap=AA A|{z} Mat B(rp ) =MatB(r)p=cossin sincos p Mat B(rp ) =cos(p)sin(p) sin(p) cos(p) dimE= dimF? ??E?B0??? ???? ??F??A= MatB;B0(f)? Mat

B;B0(f)

1 ? ???=6 ? ?? ?????? ?? ???????A= MatB(r) =cossin sincos p3 2 12 12 p3 2 1 0 ?? ??????? ?? sr???BA= 12 p3 2 p3 2 12 ?? ??????? ?? (sr)1???(BA)1= 12 p3 2 p3 2 12 1 12 p3 2 p3 2 12 BA= MatB0;B(f1)MatB;B0(f) = MatB;B(f1f) = MatB;B(idE) =I: Mat

B;B(gf) = MatB0;B(g)MatB;B0(f) =BA=I

??? ???? ????? ???fi:R3!R3? ??K(x1;x2;:::;xp)??? ??? x=x1e1+x2e2++xpep: x1x2???xp! B x1x2???xp! ??????B??? ???? ??E??B0??? ???? ??F? ???? A= MatB;B0(f)? ? ???x2E? ??????X= MatB(x) = x1x2???xp! B ? ???y2F? ??????Y= MatB0(y) = y1y2???yn! B 0? ?????? ??y=f(x)? ?? ? Mat ?? ? ???B= (e1;:::;ep)?B0= (f1;f2;:::;fn)?A= (ai;j) = MatB;B0(f)??X= MatB(x) = x1x2???xp! f(x) =f0 @pX j=1x jej1 A =pX j=1x jf(ej) =pX j=1x j nX i=1a i;jfi! f(x) =0 @pX j=1a

1;jxj1

A f1++0 @pX j=1a n;jxj1 A fn: B @P p j=1a1;jxjPp j=1a2;jxj ???Pp j=1an;jxj1 C A? ????? ?? ??????? Y= MatB0f(x)=0 B @P p j=1a1;jxjPp j=1a2;jxj ???Pp j=1an;jxj1 C

A????? ????? ???A

x1x2???xp!

A= MatB(f) =0

@1 2 1 2 3 1

1 1 01

A x2Kerf()f(x) = 0E()MatBf(x)=0 @0 0 01 A ()AX=0 @0 0 01 A ()A0 @x 1 x 2 x 31
A =0 @0 0 01 A 8 :x

1+ 2x2+x3= 0

2x1+ 3x2+x3= 0

1+x2= 0

Kerf=x1e1+x2e2+x3e32Ejx1+ 2x2+x3= 0??x2+x3= 0

nttt jt2Ko = Vect111 B

Imf= Vect121

B ;231 B ????B0? ??? ??????? ? ?? ????B?

PB;B0???MatB(B0)?

e 1=1 0 e 2=1 1 1=1 2 2=5 4 ?????? ??? ?? ??????? ?? ??????? ?? ?? ????B???? ?? ????B0?

1=e1+ 2e2=1

2 B

2=e1+ 4e2=1

4 B P

B;B0=1 1

2 4 P id

E: (E;B0)!(E;B)

x7!idE(x) =x ?? ?idE(e0j) =e0j=Pn i=1ai;jei??MatB0;B(idE)??? ?? ??????? ???? ??j???? ??????? ??? ?????? @a

1;ja2;j???an;j1

A ? ????? ??????? ??? ??j???? ??????? ?? P B;B0? ? ?? ??????? ?? ??????? ?? ?? ????B0???? ?? ????B?PB0;B=P P1

B;B0=MatB0;BidE1= MatB;B0id1

E? ??id1

E= idE? ????P1

B;B0= Mat

B;B0idE=PB0;B?

(E;B00)idE!(E;B0)idE!(E;B): ????? ?MatB00;BidE= MatB0;BidEMatB00;B0idE? ????PB;B00=PB;B0PB0;B00? B 1=0 @0 @1quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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