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BTS DOMOTIQUECalcul matriciel2008-2010
Calcul matriciel
Table des matières
I Matrices2
II Opérations sur les matrices4
http://nathalie.daval.free.fr-1-BTS DOMOTIQUECalcul matriciel2008-2010
I Matrices
Définition 1
Soitnetpdeux entiers naturels non nuls.
Unematricen×pest un tableau ànlignes etpcolonnes, que l"on note A= a11a12···a1p a21a22···a2p............ a n1an2···anp)))))))) Le premier indiceidésigne la ligne, le deuxièmejla colonne.Exemple
ÔLa matriceA=?1 17 0
12⎷5 5?
est une matrice2×3à deux lignes et trois colonnes.Ôa23est le coefficient situé à l"intersection de la2ièmeligne et de la3ièmecolonne, il vaut5.
Définition 2
SoitAune matricen×p.
a1 a2... a n)))))))) a1a2···ap? A= a11a12···a1n a21a22···a2n............ a n1an2···ann))))))))Exemple
ÔLa matriceM=?2
-3? est une matrice colonne.ÔLa matriceN=?
-1 2 7 5? est une matrice ligne.ÔLa matriceP=((((2 21-3
1-1 6 -4 0π)))) est une matrice carrée d"orde3.ÔLa matriceO=?0 0 00 0 0?
est une matrice nulle. http://nathalie.daval.free.fr-2-BTS DOMOTIQUECalcul matriciel2008-2010
Matrices carrées particulières :
SoitA= (a
ij) une matrice carrée de taillen.Sia
ij= 0 dès quei > j,Aest appelée matricetriangulaire supérieure: A= a11a12···a1n0a22···a2n............
0 0···a
nn)))))))) Siaij= 0 dès quei < j,Aest appelée matricetriangulaire inférieure: A= a110···0 a21a22···0
a n1an2···anp)))))))) Siaij= 0 dès quei?=j,Aest appeléematrice diagonale: A= a110···0 0a22···0
0 0···a
nn)))))))) Si de plus les termes diagonaux sont tous égaux à 1, elle est appeléematrice unité: A=1 0···0
0 1···0
0 0···1
Exemple
ÔMatrice triangulaire supérieure :T=((((1 2 30 4 00 0 6)))) ÔMatrice triangulaire inférieure :V=?1 05 6?ÔMatrice diagonale :D=((((((-1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 17 0
0 0 0e))))))
Propriété 1
Les matricesA= (a
ij) etB= (bij) de dimensionn×psontégalesssiaij=bijpour tousi,j. http://nathalie.daval.free.fr-3-BTS DOMOTIQUECalcul matriciel2008-2010
II Opérations sur les matrices
Propriété 2 (Multiplication d"une matrice par un scalaire)SiA= (a
ij) etλ?R, on définitλAcomme étant la matriceC= (cij) telle quecij=λaijpour tousi,j.Exemple
On considère la matriceA=?
1 210-3 4? , alors-2A=?-2×1
2-2×1
-2×0-2× -3 4? =?-1-2 0 32?Propriété 3 (Somme de deux matrices de même taille)
SiA= (a
ij) etB= (bij) sont deux matricesn×p, on définit la sommeA+Bcomme étant la matrice C= (c ij) de taillen×ptelle quecij=aij+bijpour tousi,j.Exemple
Somme de dexu matrices2×3:
?1 0-12 1 4?
+?0-1-2 -3 1 5? =?1 + 0 0-1-1-22-3 1-1 4 + 5?
=?1-1-3 -1 2 9?Propriété 4 (Produit de deux matrices)
SoitA= (a
ij) de taillen×petB= (bjk) de taillep×q, on définit le produitA×B(aussi notéAB) comme étant la matriceC= (c ik) définie parcik= p?Remarque 1
Le produit n"est défini que si le nombre de colonnes deAest égal au nombre de lignes deB.Présentation du calcul :
0 1 1 2 2 0 -1 3 1 1 2-1 1 0 3·c12·
on a doncc12= 1×1 + 2×2-1×3 = 2.On obtient donc :
?1 2-11 0 3?
(0 1 12 2 0 -1 3 1 ?5 2 0 -3 10 4? http://nathalie.daval.free.fr-4-quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44[PDF] sauzay programme
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