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Chapitre 1
Introduction au calcul
matriciel et `a ses applications1.1 Notion de matrice
1.1.1 Introduction
Une matrice (m×n) est un ensemble d"´el´ements, lescoefficientsou les composantes,rang´es en tableau `amlignes etncolonnes de la forme a 11 ... a 1n a m1 ... a mn NotationOn note une matrice par une lettre capitale et on la repr´esente par un tableau `amlignes etncolonnes: A=( (a 11 ... a 1n a m1 ... a mnLes ´el´ementsa
ij ,o`uiest l"indice de ligne etjcelui de la colonne peuvent etre pris dans divers ensembles comme par exemple: - les entiersNpour l"optimisation enti`ere par exemple -lesr´eelsRou les complexesCpour l"analyse -lespolynomes r´eels enλ:R[λ] 1 - les fractions rationnelles enλ:F[λ] - les matrices de taille (k×l) - les corps finis quelconquesZ/2Zpour la cryptographie, les codes, en informatique th´eorique ExempleSoitMmatrice `acoefficientsdansZ/2Z. Par exemple M=( (001 100011) L"ensembleZ/2Zest l"ensemble des restes modulo 2 muni de l"addition et de la multiplication modulo 2. C"est un corps servant `a´ecrire les codes binaires.
RemarqueDansZ/2Z,
-0+0=0,0+1=1et1+1=0 -0?0=0,0?1=0et1?1=1. Donc? n i=1 x i = 1 si on a un nombre impair dex i´egaux `a1.
Attention, ne pas confondre avec l"ensemble des bool´eensB=0 ,1 o`u? n i=1 x i =1d`es que un desx i est ´egal `a1.1.1.2 D´efinition math´ematique d"un tableau matriciel
D´efinition 1.1.1On appellematrice`amlignes etncolonnes `acoefficients dans un corpsKune suite(a ij c"est `a dire une applicationA: [1,m]→K(i,j)→A(i,j)=a ij L"ensemble des matrices `amlignes etncolonnes `acoefficientsdansKest not´eM m,n (K).Quelques d´efinitions et exemples
- les matrices carr´ees:m=n - les matrices creuses:la matrice nulle
la matrice identit´e
les matrices diagonales
les matrices tridiagonales
les matrices triangulaires sup´erieures ou inf´erieures 2les matrices ´el´ementairesE
ij : ses coefficients sont nuls sauf celui plac´esurlai-`eme ligne etj-`eme colonne. Ces matrices forment une base deM m,n les matrices de Hessenberg sup´erieure ou inf´erieure o`ua ij =0 pouri>j+1. Ces matrices pr´esentent un int´eret au point de vue du temps de traite- ment ou place de m´emoire (cf Matlab qui exploite cette caract´eristique). - les matrices partitionn´ees de la formeA=[A ij ]o`u les matricesA ij sont des blocs de dimensionm i ×n j tels que?m i =met?n j =n.Le partitionnement permet, lorsqu"il est choisi judicieusement, d"acc´el´erer les calculs ou de r´eduire les formules.Exemple
A=( ((3400 12000010 0001) ))=?B0 0I 2 avec B=?34 12? - Dans la plupart des cas, on consid`ere des matrices `a coefficients constants (donc des op´erations interpr´etables en tant que transformation lin´eaire), le langage matriciel permet d"app´ehender des objets plus g´en´eraux Soitfune fonction r´eelle de plusieurs variables deR n dansRqui `a(x 1 ,..,x n ) associef(x 1 ,..x n On d´efinit legradientde cette fonction comme une matrice ligne ∂f x=[∂fx 1 ,..,∂f x n et samatrice Hessienne H f 2 f ffx 21
2 f ffx 1 ∂xn 2 f ffxn∂x 1 2 f ffx 2n Soitfune fonction vectorielle de plusieurs variables deR n dans R m qui `a(x 1 ,..,x n ) associe (f 1 (x 1 ,..x n ),..,f m (x 1 ,..x n 3
On d´efinit la matrice jacobienneJacobienne
J f ∂f 1 ∂x 1 ∂f 1 ∂x 2 ∂f 1 ∂xn ∂fm ∂x 1 ∂fm ∂x 2 ∂fm ∂xnApplication: en optimisation.
Cette ´ecriture matricielle permet de traduire, de fa¸con concise et claire, de nombreuses op´erations que l"on peut rencontrer dans les Sciences de l"Ing´enieur. C"est un formalisme simple qui permet d"une part de g´en´eraliser des mani- pulations scalaires (le seul point d´elicat est le perte de commutativit´e) et d"autre part de pouvoir manipuler dans un seul langage scalaires, vecteurs, tableaux.1.1.3 Une application
Exemple du probl`eme d"affectation.
SoientM
1 ,M 2 ,M 3 ,M 44 machines `a affecter aux tachesT
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