[PDF] QCM de mathématiques QCM de probabilités L2 par Julien Worms

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Exo7

QCM de mathématiques

QCM de probabilités L2 par Julien Worms

Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies (et seulement celles-

ci).

1 Probabilités, événements

1.1 Probabilités, événements

SoitEune expérience aléatoire et

l"univers qui lui a été associé. SoientAetBdeux évé- nements de probabilités respectives 0.5 et 0.6.

Question 1

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies? ƒ[Vrai]AetBne peuvent pas être incompatibles carP(A)+P(B) =1.1>1. ƒ[Vrai]Il est impossible queAetBsoient indépendants siAimpliqueB.

ƒ[Vrai]

est indépendant de tout autre événement. ƒ[Vrai]Deux événements quelconques (mais non impossibles) ne peuvent être simul- tanément incompatibles et indépendants.

Question 2

Supposons maintenant queP(A[B) =4=5.AetBsont-ils indépendants?

ƒ[Vrai]Oui.

ƒ[Faux]Non.

ƒ[Faux]On ne peut pas se prononcer car on ne dispose pas deP(A\B). ƒ[Faux]On ne peut pas se prononcer car on ne dispose pas de détails sur l"expérience, sur ,AetB. Explications:Oui. Il suffit d"utiliserP(A\B) =P(A)+P(B)P(A[B). 1

Question 3

Soit!2

. Et supposons queBA(dans cette question seulement). Parmi les propositions suivantes, laquelle/lesquelles désigne(nt) un événement?

ƒ[Faux]!

ƒ[Vrai]f!g

ƒ[Faux](!)

ƒ[Vrai]AnB

ƒ[Faux]BnA

ƒ[Faux]AjB

Explications:Un événement est un ensemble.!est seulement un élément pas un ensemble, (!)ne veut rien d"autre que!. On n"a pas le droit d"écrireBnAsi on ne sait pas queAest inclus dansB.AjBn"est pas un événement!

Question 4

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles n"ont aucun sens (c"est-à-dire ne sont pas cor- rectes au niveau du langage mathématique)? ƒ[Vrai]Dans certaines circonstances, on aP(A[B) =P(A)[P(B). ƒ[Vrai]SiCest un autre événement impliqué parA, on aA[C\B=A\B.

ƒ[Vrai]On aAA+B.

ƒ[Vrai]fA,Bg

Explications:Quelques commentaires en vrac : on ne réunit pas des probabilités ... on n"a pas le droit d"enchaîner l"utilisation des symboles\et[sans parenthèses... on n"additionne pas des événements... etfA,Bgest un ensemble contenant deux ensembles, donc n"est pas une sous-ensemble de , mais un sous-ensemble de l"ensemble des parties de

1.2 Probabilités, événements

En France, on considère la populationPdes candidats au permis de conduire qui essaient de l"obtenir une fois, puis une seconde fois si la première tentative échoue. Parmi eux, un candidat sur trois l"obtient du premier coup, et parmi ceux qui ne l"ont pas eu du premier

coup, 30% d"entre eux l"obtiennent à la seconde tentative. On considère l"expérience aléa-

toire consistant à sélectionner au hasard une personne issue de cette populationP.

Question 5

Dans ce cadre, le(s)quel(s) des 2 espaces

ci-dessous peu(ven)t être considéré(s) pour cette expérience?

ƒ[Faux]Seulement

=fpermis obtenu , permis non obtenug.

ƒ[Faux]Seulement

=fil y a eu une tentative , il y a eu deux tentativesg. ƒ[Faux]Aucun des deux n"est un univers adéquat.

ƒ[Vrai]Les deux peuvent convenir.

2 Explications:Les deux peuvent en effet convenir, mais sont des univers pauvres. Par exemple,

"le permis a été obtenu à la première tentative" est un événement pour l"un mais pas pour

l"autre, et c"est l"inverse pour "le permis a été obtenu"...

Question 6

On suppose désormais qu"un espace

convenable a été choisi (mais on ne le détaille pas

ici; il permet en tout cas de définir les événements adéquats des questions suivantes). La

probabilité d"obtenir le permis au plus tard à la seconde tentative vaut :

ƒ[Faux]1=2

ƒ[Faux]2=3

ƒ[Vrai]Environ 53%

ƒ[Faux]Environ 23%

Question 7

Peut-on définir les événementsA="la seconde tentative a échoué sachant que la première

a échoué" etB="la première tentative a échoué et la seconde a réussi"?

ƒ[Faux]Oui pourA, oui pourB.

ƒ[Faux]Oui pourA, non pourB.

ƒ[Vrai]Non pourA, oui pourB.

ƒ[Faux]Non pourA, non pourB.

Explications:A n"est pas un événement! En effet, à la question "Est-ce que la seconde tenta-

tive a échoué sachant que la première a échoué?", on ne peut pas répondre par oui ou par

non, car la question n"a aucun sens. Ce n"est pas le cas de B, qui définit bien un événement.

Question 8

Que vaut la probabilité d"avoir tenté l"épreuve une seconde fois sachant qu"on a obtenu le permis au final?

ƒ[Faux]Zéro.

ƒ[Vrai]0,375

ƒ[Faux]0,1875

ƒ[Faux]Une autre valeur que les réponses précédentes.

ƒ[Faux]La question n"a pas de sens.

Question 9

Les événementsR="le permis est obtenu à l"issue de l"expérience" etT="Une deuxième tentative a eu lieu" sont-ils : 3

ƒ[Faux]Indépendants.

ƒ[Faux]Incompatibles.

ƒ[Faux]Indépendants et incompatibles.

ƒ[Vrai]Ni l"un ni l"autre.

1.3 Probabilités, événements

On suppose que 2000 personnes ont envoyé un SMS dans le cadre d"un mini-jeu télé qui

consistait à répondre à une question (particulièrement idiote) à 2 choix. On suppose que la

société qui gère ce "jeu-SMS" sélectionne 30 SMS au hasard parmi les 2000.

Question 10

Dans cette question et les suivantes, on note

l"ensemble de tous les sous-ensembles de 30

SMS (distincts). Combien d"éléments

contient-il?

ƒ[Vrai]C30

2000

ƒ[Faux]A30

2000

ƒ[Faux]1971

ƒ[Faux]2000!=30!

Explications:C"estC30

2000, voir le cours!

Question 11

A-t-on équiprobabilité dans cette situation?

ƒ[Vrai]Oui.

ƒ[Faux]Non.

Explications:Bien sûr que oui. Tous les sous-ensembles de 30 SMS ont autant de chances d"être tirés.

Question 12

On considère maintenant que vous faites partie des personnes qui ont envoyé un SMS. Quelle est la probabilité que vous soyez sélectionné(e)?

ƒ[Vrai]1.5%

ƒ[Faux]0.03%

ƒ[Faux]0.15%

ƒ[Faux]Environ 1.2%.

Explications:L"événement en question correspond au sous-ensemble de contenant tous les sous-ensembles de 30 SMS dont le sien, et cet événement est de cardinalC29

1999, et cela

donne, après simplifications,P(A) =30=2000=1,5%. 4

Question 13

Votre ami(e) fait également partie des personnes ayant envoyé un SMS. Quelle est la pro- babilité qu"au moins l"un(e) d"entre vous soit tiré(e) au sort? ƒ[Faux]Deux fois la réponse à la question précédente.

ƒ[Vrai]Environ 3% (mais pas 3%).

ƒ[Faux]Environ 0,3% (mais pas 0,3%).

ƒ[Faux]Une autre valeur.

Explications:Le cardinal du complémentaireBcde l"événement étudié est clairementC30 1998,
nombre de sous-ensembles de 30 éléments parmi les 1998 SMS restants. Cela donneP(B) =

1(19701969)=(20001999)'2.98%.

1.4 Probabilités, événements

Une expérience consiste à lancer deux dés à 3 "faces" (si, si, ça existe! Équiprobables bien

entendu.). On noteAi="le premier dé vauti" etBi="le second dé vauti" pour chaque i2 f1,2,3g, ainsi queSk="la somme des deux dés vaut au plusk" pourk2 f2,3,4,5,6g.

On note

l"univers associé à cette expérience.

Question 14

Parmi les descriptions ci-dessous, laquelle/lesquelles désigne(nt) une partition de

ƒ[Vrai]fB1,B2,B3g

ƒ[Vrai]fA1[A2,A3g

ƒ[Faux]fS2,S3,S4,S5,S6g

Explications:fS2,S3,S4,S5,S6gn"est pas du tout une partition car les événementsSkne sont pas incompatibles deux à deux.

Question 15

Parmi les affirmations suivantes, laquelle/lesquelles est/sont erronée(s) ou n"a/n"ont aucun sens?

ƒ[Vrai](A1[A2[A3)c=B1\B2

ƒ[Faux]P(

) =[3 i=1P(Ai)

ƒ[Vrai](A1[A2)\(B1[A3) = (A1\B1)[(A2\B1)

ƒ[Faux]S3= (A1\B1)[(A1\B2)

ƒ[Faux]Sc

5=A3[B3

ƒ[Vrai]P(BjjAi) =P(Bj) (8(i,j)2 f1,2,3g2)

Explications:Pour le(A1[A2[A3)c, on vérifie que les deux membres sont vides. PourP( et en rencontrant certaines intersections vides. PourS3=... il manqueA2\B1. PourSc 5=... c"est une intersection plutôt. PourP(BjjAi) =... chaqueBjest indépendant de chaqueAi, oui. 5

Question 16

Que vaut la probabilité deS5?

ƒ[Faux]5=6

ƒ[Faux]7=9

ƒ[Vrai]8=9

Explications:CommeSc

5=A3\B3et queA3etB3sont indépendants de probabilités 1=3

alors on aP(S5) =11=9=8=9.

Question 17

Que vaut la probabilité deS5nS2?

ƒ[Faux]2=3

ƒ[Vrai]7=9

ƒ[Faux]6=9

ƒ[Faux]L"énoncé ne veut rien dire

Explications: S

5nS2signifiantS5privé deS2, et commeS2est inclus dansS5, alorsP(S5nS2) =

P(S5)P(S2) =8=91=9=7=9.

Question 18

Que vaut la probabilité conditionnelle deS5sachantS2?

ƒ[Faux]1=8

ƒ[Vrai]1

ƒ[Faux]8=9

ƒ[Faux]L"énoncé ne veut rien dire

Explications:C"est 1 carS2est inclus dansS5.

1.5 Probabilités, événements

Question 19

Soitnun entier non nul etkun entier compris entre 1 etn. On considère un tableau conte- nantncases vides. Quel est le nombre de façons différentes de noircirkde ces cases?

ƒ[Faux]k

ƒ[Faux]nk

ƒ[Faux]1n

ƒ[Vrai]Aucune des réponses précédentes.

Explications:La réponse est évidemmentCk

n. Trop facile pour avoir faux! 6

Question 20

Soitnun entier non nul etkun entier compris entre 1 etn. On lancenfois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d"obtenir exactementkpiles?

ƒ[Faux]Ck

npn(1p)nk

ƒ[Faux]k!n!(nk)!(1=2)k(1=2)nk

ƒ[Vrai]n!=(2nk!(nk)!)

Explications:Ce n"est pasCk

npn(1p)nk, maisCk npk(1p)nket commep=1=2 alors p k(1p)nk=12 n.

2 Variables discrètes

2.1 Variables discrètes

On considère que dans une équipe de basket, chacun des 12 joueurs a 1 chance sur 4 d"être absent au moins une fois durant le mois de juin. On suppose que l"absence ou la présence d"un joueur n"a pas d"impact sur les chances qu"a un autre joueur de se retrouver absent. On s"intéresse au nombreNde joueurs absents durant le mois de juin.

Question 21

Quelle est la probabilité queNvaille 3?

ƒ[Faux]Elle vaut(1=4)3'1.56%.

ƒ[Faux]On ne peut pas savoir, car on ne connaît pas la loi deN. ƒ[Vrai]Aucune des réponses précédentes. Explications: Nsuit bien sûr la loiB(12,1=4), donc la réponse vaut'25.81%.

Question 22

Quelle est la probabilité qu"il y ait au moins 4 joueurs absents durant le mois de juin?

ƒ[Faux]Elle vaut exactement 1P3

k=0(1=4)k.

ƒ[Vrai]Elle vaut environ 35%.

ƒ[Faux]Elle vaut environ 19%.

ƒ[Faux]On ne peut pas répondre car la loi deNn"est pas connue.

Question 23

Les familles d"événements

constituent-elles des partitions de l"univers associé à cette expérience? 7 ƒ[Vrai]Oui pour la première, non pour la seconde. ƒ[Faux]Non pour la première, oui pour la seconde.

ƒ[Faux]Non pour les deux familles.

ƒ[Faux]On ne peut pas le savoir car on ne connaît pas l"univers en question. Explications:Dans la seconde famille, les événements sont imbriqués les uns dans les autres et ne sont donc pas incompatibles.

Question 24

Que valent l"espérance et le premier quartile deN?

ƒ[Faux]Ils valent respectivement 3 et 1.

ƒ[Vrai]Ils valent respectivement 3 et 2.

ƒ[Faux]Ils valent respectivement 4 et 1.

ƒ[Faux]On ne peut toujours pas le dire car on ne connaît toujours pas la loi deN! quartile vaut donc 1.

2.2 Variables discrètes

On considère qu"une personne un peu éméchée accepte de lancer une pièce de monnaie

équilibrée jusqu"à faire pile, mais en donnant 10 euros à son voisin de table à chaque fois

qu"elle fait face.

Question 25

Quelle est la loi du nombreNde fois que cette personne fait face (avant de finir par faire pile)? ƒ[Faux]C"est une loi binomiale de paramètres 10 et 1=2. ƒ[Faux]C"est une loi binomiale négative de paramètres 10 et 1=2. ƒ[Vrai]C"est une loi géométrique surNde paramètre 1=2. ƒ[Faux]C"est une loi géométrique surNde paramètre 1=2. ƒ[Faux]C"est une loi de Poisson de paramètre 1=2.

Explications:C"est le nombre d"échecs jusqu"à réussite dans une succession d"essais indépen-

dants et de même probabilité de réussitep=12 , doncP(N=k) =p(1p)k(8k2N).

Question 26

Que valentE(N), Var(N),E(N2)?

ƒ[Vrai]E(N) =1, Var(N) =2,E(N2) =3.

ƒ[Faux]E(N) =1, Var(N) =2,E(N2) =1.

8

ƒ[Faux]E(N) =2, Var(N) =2,E(N2) =6.

ƒ[Faux]E(N) =2, Var(N) =2, mais le calcul deE(N2)est trop compliqué.

ƒ[Faux]Aucune des réponses ci-dessus.

Explications:Il était conseillé d"utiliser l"astuce souvent utileE(N2) =Var(N)+(E(N))2.

Question 27

Que valentP(N¾2)et la médiane deN?

ƒ[Faux]P(N¾2) =1=2 et la médiane deNvaut 1. ƒ[Vrai]P(N¾2) =1=4 et la médiane deNvaut 0. ƒ[Faux]P(N¾2) =3=4 et la médiane deNvaut 1.

ƒ[Faux]Aucune des réponses ci-dessus.

Explications:On aP(N¾2) =1P(N=1)P(N=0) =1pp(1p) =1=4. En outre,

Question 28

Quel est le montant moyen que ce joueur devra donner à son voisin de table?

ƒ[Faux]5 euros.

ƒ[Vrai]10 euros.

ƒ[Faux]20 euros.

ƒ[Faux]Aucune des réponses ci-dessus.

Explications:Le montant qu"il doit donner à son voisin est la variable aléatoireX=10N, doncE(X) =10E(N) =10 euros.

2.3 Variables discrètes

On considère la variable aléatoireXégale au résultat de la somme de 2 dés à 6 faces équi-

librés.

Question 29

Quelle est la loi deX?

ƒ[Faux]Xsuit la loi uniforme surf1,2,...,12g.

ƒ[Faux]Xsuit la loi uniforme surf2,3,...,12g.

ƒ[Faux]Xsuit la loi binomiale de paramètres 12 et 1=6.

ƒ[Vrai]Aucune des réponses ci-dessus.

Explications:C"est bien sûr la loi surf2,3,...,12gdont les poids sont (exo facile) : Les questions qui suivent en découlent facilement. 9

Question 30

Que valent l"espérance et la médiane deX?

ƒ[Faux]L"espérance deXvaut 6.5 et la médiane vaut 7.

ƒ[Vrai]Elles valent toutes les deux 7.

ƒ[Faux]Elles valent d"autres valeurs que celles proposées ci-dessus.

Question 31

Que valentP(X¾4)et la variance deX?

ƒ[Faux]P(X¾4) =3=4 etVar(X) =329=6.

ƒ[Faux]P(X¾4) =1=4 etVar(X) =35=6.

ƒ[Faux]P(X¾4) =14=36 etVar(X) =35=6.

ƒ[Vrai]P(X¾4) =11=12 etVar(X)'5.8.

2.4 Variables discrètes

Les deux questions ci-dessous n"ont aucun rapport entre elles (les variables notéesXne sont donc pas les mêmes dans ces deux questions).

Question 32

SoitXune variable aléatoire à valeurs dansNvérifiantP(X¾3) =64%. Que peut-on dire de la médiane deX?

ƒ[Faux]Elle vaut 3.

ƒ[Faux]Elle est inférieure ou égale à 3. ƒ[Vrai]Elle est supérieure ou égale à 3. ƒ[Faux]On manque d"informations pour affirmer l"une des propositions ci-dessus. Explications:Elle ne vaut pas forcément 3 (par exemple, on peut très bien avoirP(X=3) =

Question 33

SoitXune variable aléatoire réelle d"espérance 2 et de variance 2. Peut-on calculer l"espé-

rance deY=2X2+1?

ƒ[Faux]Non, car on ne connait pasE(X2).

ƒ[Vrai]Oui, elle vaut 13.

ƒ[Faux]Oui, elle vaut 5.

Explications:Bien sûr,E(Y) =2E(X2)+1=2(Var(X)+(E(X))2)+1=13. 10

2.5 Variables discrètes

SoitXune variable aléatoire à valeurs dansf0,1,2get de loi donnée par

P(X=0) =P(X=2) =aetP(X=1) =12a

oùaest une constante réelle.

Question 34

Quelles valeurs la constanteaa-t-elle le droit de prendre? ƒ[Faux]Toutes les valeurs de]0,1[carP(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =1.

ƒ[Faux]Seulement la valeura=1=4.

ƒ[Vrai]Toutes les valeurs de]0,1=2[.

ƒ[Faux]Une autre réponse que les précédentes. Explications:Les probabilitésP(X=k)doivent appartenir à]0,1[(ni 0 ni 1, sinon une

ou plusieurs modalités ne pourraient pas être déclarées dans l"espace d"état deX), d"où la

réponse.

Question 35

Quel est le graphe de la fonction de répartition deXparmi les graphes suivants?ƒ[Faux]Le premier.

ƒ[Vrai]Le second.

ƒ[Faux]Le troisième.

Question 36

Que valent l"espérance et la variance deX?

ƒ[Faux]E(X) =1 et Var(X) =1+2a.

ƒ[Faux]E(X) =2aet Var(X) =4a2.

ƒ[Vrai]E(X) =1 et Var(X) =2a.

11

Question 37

On poseY=42X.Sans déterminer la loi de Y, peut-on calculer l"espérance et l"écart-type deY?

ƒ[Vrai]Oui, ils valent respectivement 2 etp8a.

ƒ[Faux]Oui, ils valent respectivement 2 etp4(1a). ƒ[Faux]Oui, ils valent respectivement 4(1a)et 4a. ƒ[Faux]Oui, mais aucune des propositions précédentes n"est correcte. ƒ[Faux]Non, il nous faut nécessairement la loi pour calculer ces caractéristiques de Y. Explications:E(Y) =42E(X), etVar(Y) = (2)2Var(X), donc l"écart-type deYvaut 2 fois celui deX.

3 Variables continues

Toutes les questions suivantes sont indépendantes les unes des autres.

Question 38

Parmi les expressions ci-dessous, lesquelles permettent de définir des densités de lois conti- nues? (Ci-dessous, les lettrescetc0désignent des constantes qu"il n"est pas obligatoire de calculer, mais qui ont la valeur adéquate pour que les fonctions en question soient des den- sités, si elles le peuvent.)

ƒ[Faux]f1(x) =cx

I[1,+1[(x)

ƒ[Faux]f2(x) =c0x24I[100,100](x)

ƒ[Faux]f3(x) =415

x3I[1,2](x)

ƒ[Faux]f4(x) =2

sin(x)I[0,1](x) Explications:Pourf1, la fonctionx7!1=xn"est pas intégrable en+1. Pourf2,c0existe bien mais est de très faible valeur... Pourf3, la fonction n"est pas positive partout donc non. Quant àf4, contrairement aux apparences elle est bien positive partout, et intégrable, donc oui, et on vérifie qu"elle est bien d"intégrale 1.

Question 39

SoitXle temps de trajet quotidien de Katrin, en heures, variable aléatoire de densité définie

par f

X(x) =x exI[0,+1[(x)

Laquelle des affirmations suivantes est vraie?

ƒ[Faux]E(X) =1 etP(X>1)'63.2%.

ƒ[Faux]E(X) =2 etP(X>1)'26.4%.

ƒ[Vrai]P(X>1)'73.6% et on ne peut pas facilement déterminer la médiane deX. 12 ƒ[Faux]E(X)vaut+1(c"est-à-direXn"admet pas d"espérance) etP(X>1)'26.4%. Explications:E(X)vaut effectivement 2, maisF(x) =1(1+x)exdoncP(X>1) =¯F(1)'

73.6%. Quant à la médiane,Fest bien strictement croissante (le vérifier), mais l"équation

F(x) =1=2 n"a pas de résolution explicite, il faut recourir à un schéma numérique pour la

résoudre.

Question 40

Si on considèreXune variable aléatoire dont la densité est la fonction représentée ci-

dessous, laquelle/lesquelles de ces affirmations est/sont vraie(s)?ƒ[Faux]La médiane deXest positive.

ƒ[Vrai]P(X<2)>P(X>1)

ƒ[Faux]P(ln(X+3)>0)<1=2

ƒ[Vrai]P(X>x)<1=2 pour toutx>0.

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