TD I – Corrigé PDF Pour nous aider à tracer la

Courbes paramétrées

Exercice 1 Quelques grands classiques. 1. (**) L'astroïde. (a) a est un réel strictement positif donné. Etudier et construire la courbe de paramétrisation :.

TD I – Corrigé

Pour nous aider à tracer la courbe étudions les tangentes aux extrémités. D'après l'exercice 1.1

Courbes paramétrées Courbes polaires

Courbes paramétrées. Courbes polaires. Exercice 1 (Une courbe paramétrée). On considère la courbe paramétrée suivante ? : [0

Walanta

On obtient trois types de courbes : e = 1 c'est une parabole e > 1

CM-C1 : Courbes paramétrées

Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non

Courbes planes

possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ?. Vidéo ?. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.

Mathématiques - département MP S2

11 mars 2006 Le point M(t0) est dit stationnaire ou singulier. Exercice 1.2.1 Étudier les points stationnaires de la courbe paramétrée par. { x(t) = sint.

Feuille dexercices no5

Exercice 1. On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée Exercice 5. Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par.

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 5. Pour ? ? R on note (?? ) la courbe d'équation y = ?xe?x. Quel est le lieu des centres de courbure C? en O à. (?? ) quand ? décrit R. Correction ?.

MATH Tle D OK 2

calculer les coordonnées (x'(t) y'(t)) du vecteur dérivé

Courbes paramétrées Courbes polaires - univ-toulousefr

Courbes paramétrées Courbes polaires Exercice 1 (Une courbe paramétrée) On considère la courbe paramétrée suivante : [0; ] ! 2 7! (x(t); y(t)) = (2 cos(t); 3 sin(t)): 1 En évaluant (t) pour un certain nombre de valeurs de t bien choisies effectuer un dessin préliminaire de la courbe paramétrée par

Courbes planes 1 Courbes d’équation y f x - e Math

Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le point M (on prendra t pour paramètre) (b)Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =R(t sint) y=R(1 cost) où R est un réel strictement positif donné 3 (**) Une courbe de LISSAJOUS Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =sin(2t) y=sin(3t) 4 (**) La lemniscate

Exo7 - Cours de mathématiques

On utilise ces transformations pour réduire le domaine d’étude d’une courbe paramétrée Nous le ferons à travers quatre exercices Exemple 2 Déterminer un domaine d’étude le plus simple possible de la courbe ˆ x(t) = t 3 2 sint y(t) = 1 3 2 cost Solution Pour t 2R M(t +2?) = t +2? 3 2 sin(t +2?)1 3 2 cos(t +2?) = (t 3 2

Courbes planes 1 Courbes d’équation y f x - e Math

1 Donner une paramétrisation (x(t);y(t)) de la courbe d’équation y= p x2 3x+4 en précisant le domaine de variation du paramètre t 2 Montrer que le support de la courbe paramétrée par ˆ x(t)=cost+3 y(t)=sint (t 2R) ne peut pas être décrit par une équation de la forme y= f(x) 3 Montrer que le support de la courbe paramétrée par ˆ

COURBES ET SURFACESUNIVERSITÉPARIS-SUD

MATH2132018-2019TD I - Corrigé

1. Études de courbes en coordonnées cartésiennes

Exercice 1.1(Astroïde). -L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].

• On ax(¡t)AEx(t) ety(¡t)AE¡y(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼]. • On ax(¼¡t)AE¡x(t) ety(¼¡t)AEy(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼2

i • On ax³¼2

¡t´

AEy(t) ety³¼2

¡t´

AEx(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼4

De plusk°(t)k2É1 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier les

fonctionsxety:½x0(t)AE ¡3sin(t)cos2(t) y

0(t)AE3cos(t)sin2(t)

Sur l"intervalle [0,¼/4] on ax0(t)É0 ety0(t)Ê0. Ainsi,xest toujours décroissante etyest toujours croissante

sur [0,¼/4]. Pour nous aider à tracer la courbe, étudions les tangentes aux extrémités. EntAE¼/4 on a

°0³¼4

AE3Ã

p2 2 3 (¡1,1). EntAE0 on a¡!°0(0)AE¡!0 et¡!°00(0)AE(¡3,0).

Nous pouvons maintenant tracer la courbe. La partie correspondant à [0,¼/4] est en noir. La partie correspon-

dant à [¼/4,¼/2], en bleu, est obtenue par réflexion par rapport à la première bissectrice des axes. La partie

correspondant à [¼/2,¼], en vert, est obtenue par réflexion par rapport à l"axe des ordonnées. Le reste de la

courbe, en rouge, est obtenu par réflexion par rapport à l"axe des abscisses.Exercice 1.2(Cardioïde). - 1. On a d"une part

sin³p¡q2

AEsin³p2

cos³q2

¡sin³q2

cos³p2 et d"autre part cos³pÅq2

AEcos³p2

cos³q2

¡sin³p2

sin³q2 d"où sin³p¡q2 cos³pÅq2

AEcos2³q2

sin³p2 cos³p2

¡sin2³p2

cos³q2 sin³q2

¡cos2³p2

sin³q2 cos³q2

Åsin2³q2

sin³p2 cos³p2

AEsin³p2

cos³p2

¡sin³q2

cos³q2 AE 12 sin(p)¡12 sin(q). La deuxième égalité se démontre de même.

2. L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].

• On ax(¡t)AEx(t) ety(¡t)AE¡y(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼].

De plus,k°(y)k2É18 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier

les fonctionsxety:8>>>< >>:x

0(t)AE ¡2sin(t)Å2sin(2t)AE4sinµt2

cosµ3t2 y

0(t)AE2cos(t)¡2cos(2t)AE4sinµt2

sinµ3t2

Sur l"intervalle [0,¼], sin(t/2)Ê0 et sin(3t/2) change de signe une fois en 2¼/3. Ainsi,yest croissante

sur [0,2¼/3] puis décroissante sur [2¼/3,¼]. D"autre part, cos(3t/2) change de signe une fois, pourtAE¼/3.

Ainsi,xest croissante sur [0,¼/3] puis décroissante sur [¼/3,¼]. Pour nous aider à tracer la courbe,

étudions les tangentes aux extrémités. EntAE¼on a

¡!°0(¼)AE(0,¡2)

EntAE0 on a¡!°0(0)AE¡!0 et¡!°00(0)AE(2,0).

Nous pouvons maintenant tracer la courbe. La partie correspondant à [0,¼] est en bleu. Le reste de la

courbe, en vert, est obtenu par réflexion par rapport à l"axe des abscisses.Exercice 1.3. -L"arc n"a pas de symétrie particulière, nous allons donc faire l"étude surR. On remarque que

k°(t)k2¡!t!§1Å1, il y a donc deux branches infinies, en§1. • EnÅ1, on a y(t)x(t)!t!Å1Å1 et la courbe a une branche parabolique dans la direction ~j. • En¡1, on a y(t)x(t)!t!Å1¡1 et la courbe a une branche parabolique dans la direction ~j. Nous pouvons maintenant étudier les fonctionsxety:½x0(t)AE2tÅ3t2 y

0(t)AE4t3

Sur l"intervalle ]¡1,0], on ay0(t)É0 et sur l"intervalle [0,Å1[, on ay0(t)Ê0. Ainsi,yest décroissante pour

t2]¡1,0] puis croissante pourt2[0,Å1[. D"autre part, on a x

0(t)AEt(2Å3t)

doncx(t)É0 pourt2[¡2/3,0] etx(t)Ê0 en dehors. Ainsi,xest croissante sur ]¡1,¡2/3], puis décroissante sur

[¡2/3,0], puis à nouveau croissante sur [¡2/3,Å1[. Il y a un unique point singulier entAE0. Pour déterminer

sa nature, nous devons calculer les dérivées successives : ¡!°00(0)AE(2,0),¡!°000(0)AE(6,0) et¡!°000(0)AE(0,24).

On a donc un point de rebroussement de seconde espèce. Nous pouvons maintenant tracer la courbe.Un calcul direct permet de montrer qu"entAE ¡4/3, la courbure s"annule et change de signe. La branche

infinie "de gauche" s"infléchit donc en ce point. Pour des raisons d"échelle, ce phénomène n"apparaît pas sur la

figure précédente.

Exercice 1.4(Courbe orthoptique). - 1. D"après l"exercice 1.1, le vecteur tangent à l"astroïde au point

de paramètretest

AE3sin(t)cos(t)(¡cos(t),sin(t)).

Le point de paramètretest régulier si et seulement si sin(t)cos(t)6AE0 et le vecteur~u(t) de coordonnées

(¡cos(t),sin(t)) est alors un vecteur tangent unitaire.

2. Caculons le produit scalaire de ces deux vecteurs :

AEcos(t1¡t2).

Ainsi, les tangentes aux points°(t1) et°(t2) seront orthogonales si et seulement si t

1AEt2Å¼2

Åk¼

pourk2Z.

3. L"équation de la tangente au point°(t) est

sin(t)xÅcos(t)yAEsin(t)cos(t)

4. Il découle de ce qui précède que la courbe cherchée est l"ensemble des points d"intersections des tangentes

à l"astroïde aux points°(t) et°(tÅ¼/2) quandtparcourtR. L"équation de la tangente au pointtÅ¼/2 est

sin tÅ¼2 xÅcos³ tÅ¼2 yAEsin³ tÅ¼2 cos³ tÅ¼2 cos(t)x¡sin(t)yAE ¡cos(t)sin(t) cos(t)x¡sin(t)yAE ¡cos(t)sin(t)

Le point d"intersection des tangentes aux points°(t) et°(tÅ¼/2) est donc défini par le système d"équations

½sin(t)xÅcos(t)yAEsin(t)cos(t)

cos(t)x¡sin(t)yAE ¡sin(t)cos(t)

En multipliant la première ligne par sin(t) et la seconde par cos(t) et en additionnant, on obtient

xAEsin2(t)cos(t)¡sin(t)cos2(t).

En multipliant la première ligne par cos(t) et la seconde par¡sin(t) et en additionnant, on obtient

yAEsin(t)cos2(t)Åsin2(t)cos(t).

La courbe orthoptique de l"astroïde est donc le support de l"arc paramétréÃ:R!R2défini par

5. L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

• Les fonctionsxetysont 2¼-périodiques, il suffit donc de faire l"étude sur [¡¼,¼].

• On ax(¡t)AEy(t) ety(¡t)AEx(t), il suffit donc de faire l"étude sur [0,¼]. • On ax(¼¡t)AE¡y(t) ety(¼¡t)AE¡x(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼2

i • On ax³¼2

¡t´

AE¡x(t) ety³¼2

¡t´

AEy(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼4

De plusd(0,°(t))2É8 et il n"y a pas conséquent pas de branche infinie. Nous pouvons maintenant étudier

les fonctionsxety. Commençons parx, x

AE2(cos(t)Åsin(t))µ

¡1Å32

sin(2t) quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] TD I – Corrigé Pour nous aider à tracer la

COURBES ET SURFACESUNIVERSITÉPARIS-SUD

MATH2132018-2019TD I - Corrigé

1. Études de courbes en coordonnées cartésiennes

0,¼2

¡t´

AEy(t) ety³¼2

¡t´

AEx(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼4

0(t)AE3cos(t)sin2(t)

°0³¼4

AE3Ã

AEsin³p2

¡sin³q2

AEcos³p2

¡sin³p2

AEcos2³q2

¡sin2³p2

¡cos2³p2

Åsin2³q2

AEsin³p2

¡sin³q2

2. L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

0(t)AE ¡2sin(t)Å2sin(2t)AE4sinµt2

0(t)AE2cos(t)¡2cos(2t)AE4sinµt2

¡!°0(¼)AE(0,¡2)

0(t)AE4t3

0(t)AEt(2Å3t)

AE3sin(t)cos(t)(¡cos(t),sin(t)).

2. Caculons le produit scalaire de ces deux vecteurs :

AEcos(t1¡t2).

1AEt2Å¼2

Åk¼

3. L"équation de la tangente au point°(t) est

4. Il découle de ce qui précède que la courbe cherchée est l"ensemble des points d"intersections des tangentes

½sin(t)xÅcos(t)yAEsin(t)cos(t)

5. L"intervalle d"étude peut être réduit grâce aux symétries suivantes :

0,¼2

¡t´

AE¡x(t) ety³¼2

¡t´

AEy(t), il suffit donc de faire l"étude surh

0,¼4

AE2(cos(t)Åsin(t))µ

¡1Å32