Courbes paramétrées
Exercice 1 Quelques grands classiques. 1. (**) L'astroïde. (a) a est un réel strictement positif donné. Etudier et construire la courbe de paramétrisation :.
TD I – Corrigé
Pour nous aider à tracer la courbe étudions les tangentes aux extrémités. D'après l'exercice 1.1
Courbes paramétrées Courbes polaires
Courbes paramétrées. Courbes polaires. Exercice 1 (Une courbe paramétrée). On considère la courbe paramétrée suivante ? : [0
Walanta
On obtient trois types de courbes : e = 1 c'est une parabole e > 1
CM-C1 : Courbes paramétrées
Exercice.– Le dessin ci-dessous peut-il être le support d'une courbe polaire ? Réponse.– Oui en C0 non
Courbes planes
possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. Correction ?. Vidéo ?. [006985]. Exercice 6. Montrer que la courbe paramétrée.
Mathématiques - département MP S2
11 mars 2006 Le point M(t0) est dit stationnaire ou singulier. Exercice 1.2.1 Étudier les points stationnaires de la courbe paramétrée par. { x(t) = sint.
Feuille dexercices no5
Exercice 1. On consid`ere la courbe plane d'équation paramétrée Exercice 5. Etudier et tracer les courbes paramétrées définies par.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5. Pour ? ? R on note (?? ) la courbe d'équation y = ?xe?x. Quel est le lieu des centres de courbure C? en O à. (?? ) quand ? décrit R. Correction ?.
MATH Tle D OK 2
calculer les coordonnées (x'(t) y'(t)) du vecteur dérivé
Courbes paramétrées Courbes polaires - univ-toulousefr
Courbes paramétrées Courbes polaires Exercice 1 (Une courbe paramétrée) On considère la courbe paramétrée suivante : [0; ] ! 2 7! (x(t); y(t)) = (2 cos(t); 3 sin(t)): 1 En évaluant (t) pour un certain nombre de valeurs de t bien choisies effectuer un dessin préliminaire de la courbe paramétrée par
Courbes planes 1 Courbes d’équation y f x - e Math
Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le point M (on prendra t pour paramètre) (b)Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =R(t sint) y=R(1 cost) où R est un réel strictement positif donné 3 (**) Une courbe de LISSAJOUS Etudier et construire l’arc paramétré : ˆ x =sin(2t) y=sin(3t) 4 (**) La lemniscate
Exo7 - Cours de mathématiques
On utilise ces transformations pour réduire le domaine d’étude d’une courbe paramétrée Nous le ferons à travers quatre exercices Exemple 2 Déterminer un domaine d’étude le plus simple possible de la courbe ˆ x(t) = t 3 2 sint y(t) = 1 3 2 cost Solution Pour t 2R M(t +2?) = t +2? 3 2 sin(t +2?)1 3 2 cos(t +2?) = (t 3 2
Courbes planes 1 Courbes d’équation y f x - e Math
1 Donner une paramétrisation (x(t);y(t)) de la courbe d’équation y= p x2 3x+4 en précisant le domaine de variation du paramètre t 2 Montrer que le support de la courbe paramétrée par ˆ x(t)=cost+3 y(t)=sint (t 2R) ne peut pas être décrit par une équation de la forme y= f(x) 3 Montrer que le support de la courbe paramétrée par ˆ
Courbes paramétrées,
Courbes polaires
Exercice 1(Une courbe paramétrée).On considère la courbe paramétrée suivante : [0;]!R2 t7!(x(t);y(t)) = (2cos(t);3sin(t)): 1.En év aluant
(t)pour un certain nombre de valeurs detbien choisies, effectuer un dessin préliminaire de la courbe paramétrée parSolution:La courbe décrite par
étant construite à partir des fonctionscosetsin, on peut utiliser les valeurs remarquables de ces deux fonctions pour construire un certain nombre de points de la courbe. Les valeurs choisies sont résumées dans le tableau suivant.t06 4 3 2 2334
56
x(t) 2p3 p2 1 01p2p32 y(t) 032 3p2 2 3p3 2 33p3
2 3p2 2 32
0On peut alors obtenir la figure suivante, sur laquelle on devine une courbe qui pourrait être par
exemple une parabole ou une demi-ellipse.21012xy 01232. Mon trerque la fon ctiont7!9x(t)2+ 4y(t)2est constante. Solution:D"après le théorème de Pythagore,cos2(t) +sin2(t) = 1quel que soitt2R. Par conséquent, on a pour toutt2Rl"égalité
9x2(t) + 4y2(t) = 36cos2(t) + 36sin2(t) = 36:3.Quelle courb eest repré sentéepar
Solution:On reconnait dans l"équation
9x2+ 4y2= 36
l"équation d"une ellipse centrée à l"origine. D"après la réponse à la question précédente,(x(t);y(t))
vivent pour toutt2[0;]sur cette ellipse. Cependant, puisquet2[0;], l"intégralité de l"ellipse n"est
pas parcourue. At= 0, on part du point de coordonnées(2;0)sur l"ellipse, pour remonter ensuitevers la partie supérieur du plan et parcourir la demi-ellipse en arrivant au point de coordonnées
(2;0). La partie inférieur de l"ellipse ne fait pas partie de la courbe (elle en ferait partie si on avait
pristdans l"intervalle[0;2]). La courbe est représentée en bleu dans la figure suivante.21012xy3210123
Exercice 2(Folium).On considère la courbe paramétrée définie par les équations x(t) = sin(2t); y(t) = sin(3t);t2R: 1.En ut ilisantles propri étésde s ymétriede la courb e,mon trerqu"o np eutréduire le domaine d"étude à
t2[;], puis àt2[0;]. Solution:Commencons par rappeler que la fonctionsinest périodique de période2. La fonction xest donc périodique de périodeTx=22 =et la fonctionyest également périodique, de période T y=23 . Le rapport entre ces deux périodes est T yT x=23 =23 C"est un nombre rationnel, il existe donc une période communeTentrexetyqui est donnée parT= 3Ty= 2Tx= 2:
On peut donc se réduire à l"étude de la courbe sur un domaine de longueur2, comme par exemple
Étudions maintenant la parité de la courbe. La fonctionsinest impaire et on a donc x(t) =x(t); y(t) =y(t):Par conséquent, la courbe pour lest <0s"obtient par symétrie centrale de la courbe pour lest >0et
réciproquement. On peut donc se restreindre à la partie positive de l"intervalle d"étude précédement
selectionné, c"est à dire se restreindre à[0;].Page 22.Exprimer x(t)ety(t)en fonction dex(t)ety(t). Montrer que la courbe a une symétrie
supplémentaire et qu"on peut restreindre le domain d"étude àt20;2Solution:On a
x(t) = sin(2(t)) = sin(22t) = sin(2t) =sin(2t) =x(t); y(t) = sin(3(t)) = sin(33t) = sin(3t) = sin(3t) =y(t): Par conséquent, on peut déduire la courbe pourt22 ;de la courbe sur0;2 par symmétrie par rapport à l"axe des ordonnnées. Ainsi, il suffit d"étudier la courbe sur l"intervalle0;2 .3.Construire le tableau de v ariationdes fonction sxetysur l"intervalle0;2 . On indiquera les valeurs de x,x0,yety0pour les valeurs6 4et3Solution:Les dérivées dexetysont
x0(t) = 2cos(2t); y0(t) = 3cos(3t):
Le tableau de variation de la courbe est donc le suivant.t x0(t)x(t)y
0(t)y(t)y
0(t)x 0(t)0 6 4 3 22+1+0120011
00p3 2p3 2 3+0 p3 2300011 11p2 2 0 3 20130
4. Dessiner la courb een commencan tpar la partie corresp ondantà t20;2 , puis en utilisant les symétries pour obtenir l"ensemble de la courbe. Solution:En combinant les informations obtenues, on a la figure suivante. La partie bleue est la courbe obtenue pourt20;2 . La partie rouge s"obtient par symétrie par rapport à l"axe des ordonnées et la partie noire par symétrie centrale.Page 3 101xy
101
Exercise 1(Astroïde).On considère la courbe paramétrée définie par les équations suivantes
x(t) = cos3(t); y(t) = sin3(t);t2R: 1.En utilisan tles pr opriétésde symétrie d ela courv e,réduire le domain d"étude à un in tervallede R.
2.Constuire le table aude v ariationp ourxety.
Solution:t
x0(t)x(t)y
0(t)y(t)y
0(t)x 0(t)0 4 0 3p2 4 11 p2 4p2 4 0+3 p2 4 00p2 4p2 4013.Donner les co ordonnéesde sp ointsde la courb equ andt= 0,2
,et donner la pente des tangentes en ces pointsPage 4
4.Dessiner la courb e.
Solution:En combinant les informations obtenues, on a la figure suivante101xy 1015. Calculer la longu euret la courbue de l"ast roïde.
Exercise 2(Branches infinies).On considère la courbe paramétrique définie par les équations suivantes.
x(t) =1t(t1); y(t) =t21t;t2R: 1.Exprimer x1t
ety1t en fonction dex(t)ety(t). Déterminer une symétrie de la courbe et en déduire qu"on peut réduire le domaine d"étude àI= (1;1)n f0g. 2.Construire le tabl eaude v ariationsur I.
Solution:On a
x0(t) =2t+ 1t
2(t1)2; y0(t) =t(t2)(t1)2:
Par conséquent, le tableau de variation est le suivant.Page 5 t x0(t)x(t)y
0(t)y(t)y
0(t)x0(t)101
213 4++0 1 21
2+11441
34+3+1 21
2 00+11 2 11 3. Étudier les branc hesinfinies de la courb esur I. Solution:On a une branche infinie lorsqu"il existet0tel que lim t!t0x(t) =1oulimt!t0y(t) =1: Cette situation se produit ent= 0ett= 1. Ent= 0, on a lim t!0;t<0x(t) = +1;limx!0;t>0x(t) =1; et dans tous les cas limt!0y(t) = 0: L"axe des abscisses est donc une asymptote à la courbe, à gauche et à droite. Ent= 1, on a lim t!1;t<1x(t) =1;limt!1;t<1y(t) = +1: La courbe admet donc potentiellement une asymptote oblique. Pour le vérifier, calculons lim t!1;t<1y(t)x(t)= limt!1;t<1(t3) =1: La courbe admet donc bien une asymptote oblique, de pente1. Calculons l"ordonnée à l"origine : lim t!1;t<1(y(t)(1)x(t)) = limt!1 t2+t+ 1t =3: La droite d"équationy=x3est donc asymptote à la courbe.4.Dessiner la courb e. Solution:En combinant les informations obtenues, on a la figure suivante. La partie bleue correspond àt2I. La partie rouge correspond àt2Rn[1;1]et est obtenue à partir de la partie bleue par symétrie par rapport à la droitey=x(en pointillé). L"asymptote d"équationy=x3 est également représentée sur le dessin, ainsi que les tangentes ent=1ett=12 .Page 6
87654321012345xy
87654321012345
Exercice 3.On considère la courbe polaire définie par () = sin(3); 2R: 1. Quelle est la p ériodede ? Quelle propriété graphique en déduire pour la courbe? Solution:La fonctionsinest périodique de période2, doncest périodique de période23 . On en déduit que la courbe est invariante par rotation d"angle 23. Par conséquentn, pour obtenir la courbe, on commencera par tracer la courbe pourdans un intervalle de longueur23 puis on effectuera2 rotations successives d"angle 23
du motif obtenu pour avoir l"ensemble de la courbe.2.Exprimer ()et()en fonction de(). Quelles sont les symmétries de la courbe? Montrer qu"on
peut réduire le domaine d"étude à20;3Solution:On a
() = sin(3) =sin(3) =():La courbe est donc symmétrique par rapport à l"axe des ordonnées. Par périodicité, on pouvait
réduire le domaine d"étude à23 ;3 . Par parité, on peut maintenant réduire le domaine d"étudeà20;3
On a () = sin(33) = sin(3) = sin(3) =():La courbe est donc symmétrique par rapport à l"axe des ordonnées, ce qui nous savions déjà.Page 7
3.Calculer 3
et en déduire une réduction de l"intervalle d"étude à20;6Solution:On a
3 = sin(3) = sin(3) =(): La courbe est donc symétrique par rapport à la droite polaire d"équation=3 et on peut donc réduire l"intervalle d"étude à0;6 .4.Construire le tabl eaude v ariationsur 0;6 en précisant la pente (relative) des tangentes en0et6Solution:t
0(t)(t)(t)
0(t)0 6 3+0 00110+15.Dessiner la courb e.
Solution:101xy
101Exercice 4.Étudier les courbes polaires définies pour2Rpar (1)() = cos() + 2;(2)() = cos23 ;(3)() = 1 + sin(3):
Solution:La fonctionest périodique de période2, on peut donc restreindre l"étude à un intervalle de
longueur2, par exemple[;]. La courbe est entièrement décrite parpourdans[;car l"imagePage 8d"une courbe par une rotation d"angle2est cette même courbe. Par parité de la fonctioncos, la fonction
est également paire et on peut donc réduire l"intervalle d"étude à[0;]. La courbe sera symmétrique
par rapport à l"axe des abscisses. On a0() =sin():
Le tableau de variation sur[0;]est le suivant.t
0(t)(t)(t)
0(t)0 00 3311 11
10123xy
21012Solution:
0() =23
cos3 sin3 =13 sin23 :t0(t)(t)(t)
0(t)032
00 3311 11
Page 9
101xy101
Solution:
0() = 3cos(3)t
0(t)(t)(t)
0(t)032
00 3311 11
Page 10
21012xy
21012Page 11
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