[PDF] Suites récurrentes de la forme un+1 = f(u Résultats `a connaitre

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Suites recurrentes de la formeun+1=f(un)Complement 2 Dans toute cette note de cours,fest une fonction continue sur un intervalleIa valeurs reelles. On etudie la suite (un) denie paru02Iet pour toutn2N,un+1=f(un).

Resultats a connaitre

L'ensemble des resultats presentes dans cette section pourront ^etre utilises sans demonstration.

Denition.On dit que l'intervalleJest stable parfsif(J)J.Remarque.Pour montrer qu'un intervalle est stable, on pourra :

?soit etudier la fonctionfet le deduire de son tableau de variations ; ?soit directement a l'aide d'inegalites.

Dans tous les cas et avant de commencer l'etude de la suite (un), il est imperatif de faire l'etude def,

d'en dresser son tableau de variation et de tracer son graphe.Soitf:I!RetJIest stable parf. Siu02J, alors la suite (un)n2Nest bien denie

etun2Jpour toutn2NPropriete 1 Preuve.Montrons par recurrence que pour toutn2N, on aP(n) :unest bien denie etun2J. ?On au02JdansP(0) est vraie. ?Soitn2Net supposons la propriete vraie au rangn. On a par hypothese de recurrenceun2J Df. Doncun+1=f(un) est bien denie. De plus, puisqueJest un intervalle stable,un+12f(J)J. D'ou la propriete au rangn+ 1. On conclut par principe de recurrence.Soientf:I!RavecIstable parfet (un)n2Ndenie paru0=a2I

8n2N; un+1=f(un). Si

festcroissantesurIalors la suite (un) est monotone : 1.

Si f(u0)u00, alors (un) est croissante.

2. Si f(u0)u00, alors (un) est decroissante.Propriete 2(Monotonie de (un))

PCSI5Lycee Saint Louis, Paris

Preuve.Sif(u0)u00, alorsu1u0. La relationun+2un+1=f(un+1)f(un) permet alors de montrer par recurrence que (un) est croissante. On procede de m^eme sif(u0)u00 pour montrer que (un) est decroissante Remarque.Pour determiner la monotonie de (un), il s'agira de determiner le signe dex7!f(x)x

surI, et de dresser eventuellement son tableau de signe.Soientf:I!RavecIstable parfet (un)n2Ndenie paru0=a2Iet :8n2N,

u n+1=f(un). SifestcontinuesurIet si (un) converge versl2Ialorsf(l) =l. On dit quelest un

point xe def.Propriete 3(Convergence de (un))Preuve.On utilise la caracterisation sequentielle de la continuite :fest continue enl2Iet (un)

converge versl, donc limn!+1f(un) =l. Remarque.Pour determiner les points xes def, on etudie les points d'annulation de la fonction x7!f(x)xsurI.

Denition.Une fonctionf:I!Rest contractante si elle estk-lipschitzienne, avec 0k <1.Remarque.Supposons quef:I!Rsoit de plus derivable. Pour montrer quefest contractante

surI, on pourra tenter de majoree sa deriveef0surIpar une constantek <1. Par l'inegalite des

accroissements nis, on en deduira quefest contractante.Soitf:I!Iune fonction contractante. Sifadmet un point xel, alorslest unique et

toute suite denie par recurrence paru02Iet8n2N,un+1=f(un) converge versl.Propriete 4

Preuve.

?Supposons avoir un deuxieme point xel16=l2I. Alorsjf(l)f(l1)j kjl1lji.e.jll1j kjll1ji.e. 1k(carjll1j>0)... absurde ! Ainsi sifadmet un point xel, celui-ci est unique. ?Soit (un)n2N2INune suite denie paru02Iet8n2N,un+1=f(un). Montrons par recurrence surn2Nla proprieteP(n) :junlj knju0lj.

P(0) est evidente.

Soitn2Ntel queP(n). Par hypothese de recurrence, on ajunlj knju0lj. Alors on a : jun+1lj=jf(un)f(l)j kjunlj kknju0lj=kn+1ju0lj: DoncP(n+ 1) est vraie. En conclusion,8n2N,P(n) est vraie. Commek2]0;1[, (knju0lj)n2Nconverge vers 0, donc (un)n2Nconverge versl. Remarque.Il faut savoir redemontrer l'inegalite suivante : junlj knju0ljpour toutn2N 2

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Calcul approche du point xe.SiI= [a;b], le calcul precedent nous donne une estimation de l'erreur : junlj knju0lj knjbaj: Ainsi,unconstitue une estimation du point xeldefavec une precision au moins egale aknjbaj.

Resultats a redemontrer systematiquement

Les resultats de cette section devront ^etre redemontre systematiquement lors de l'etude d'une suite recurrente.Soientf:I!RavecIstable parfet (un)n2Ndenie paru0=a2I

8n2N; un+1=f(un). Si

festdecroissantesurI, alors les suites extraites (u2n) et (u2n+1) sont monotones et de monotonie contraire.Propriete 5 Preuve.Posonsg=ff. Cette application est croissante surI. Posonsvn=u2netwn=u2n+1. Les deux suites verientvn+1=u2n+2=f(u2n+1) =f(f(u2n)) =g(u2n) =g(vn) et de m^eme w n+1=g(wn). Le point 1 permet alors d'en deduire que chacune des suites (vn) et (wn) est monotone. Supposons, par exemple que (vn) est croissante. On peut donc ecrire, pour toutn2N:vnvn+1. En appliquant la fonctionfdecroissante, on en deduitf(vn)f(vn+1) c'est a direwnwn+1. La suite (wn) est donc decroissante.

Si l'on suppose desormais que la suite (vn) est decroissante, on peut deduire de la m^eme maniere que

(wn) est croissante.

Remarque.Il s'agira donc

?de considererg=ffet de se ramener au casgcroissant pour conclure sur la monotonie des suites (u2n) et (u2n+1). ?d'etudier le signe de la fonctionx7!g(x)xpour determiner la monotonie de (u2n) et (u2n+1): {sig(u0)u00 (resp.0), (u2n) est croissante (resp. decroissante). {sig(u1)u10 (resp.0), (u2n+1) est decroissante (resp. croissante). Remarque.Si (u2n) et (u2n+1) convergent, c'est vers des points xes deg=ff. Il s'agit alors de montrer que ces deux sous suites convergent vers le m^eme point xe. On peut alors conclure que (un) converge versgr^ace au resultat connu suivant : Si (u2n) et (u2n+1) convergentvers la m^eme limitel, alors la suite (un) converge versl. 3quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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