[PDF] Suite récurrente définie par une fonction

View - Download Suite récurrente définie par une fonction

Previous PDF

Next PDF

Suite r´ecurrente d´efinie par une fonction

R´edig´e par un enseignant et un ´el`eve de l"Ecole Polytechnique (Vincent Langlet). Niveau :Approfondir la Terminale S ou Premi`ere Ann´ee post bac Difficult´e :Exercice classique, simple au d´ebut si le cours est su Dur´ee :1 heure, un peu plus en soignant la r´edaction

Rubrique(s) :

Analyse(Suites r´ecurrentes, fonctions)Exercice 1:

1)SoitA?Retfune fonction d´efinie surRparf(x) =x2+A.

On note (un)n?Nla suite r´ecurrente d´efinie par u

0= 0 et pour toutn?N, un+1=f(un).

a)Donner le tableau de variation def. b)Donner le tableau de signe dex?→f(x)-xselon la valeur deApar rapport `a 1/4. c)On dit que l"intervalleIest stable parfsi et seulement sif(I)?I. Montrer que siIest stable parfetu0?I, alors pour toutn?N,un?I.

2)Dans cette question, on supposeA≥0.

a)Montrer que (un)n?Nest croissante. b)Montrer que siA >1/4, alors (un)n?Ntend vers +∞. c)Montrer que siA?[0,1/4[, alors (un)n?Nconvergente et donner sa limite.

3)On suppose dans cette question queA?]-1,0[.

a)Montrer que [A,0] est stable parf. b)Montrer que (u2n)n?Nest d´ecroissante et converge versatel quef◦f(a) =a. Montrer que (u2n+1)n?Nest croissante et converge versbtel quef◦f(b) =b. c)Montrer que pour toutx?R,f◦f(x)-x= (x2-x+A)(x2+x+A+ 1). d)Montrer que siA?]-3/4,0[, alors (u2n)n?Net (u2n+1)n?Nconvergent vers la mˆeme limite. En d´eduire que (un)n?Nconverge et donner sa limite. e)Montrer que siA?]-1,-3/4[, alors (un)n?Ndiverge. Indications et Commentaires: 2.c) On utilisera un intervalle stable parf.

3.e) On montrera que la suite (u2n)n?Nne converge pas vers la mˆeme limite que la suite

(u2n+1)n?N.1

Corrections.

1.a)Pour toutxr´eel, nous d´efinissonsf(x) =x2+AavecAr´eel. La d´eriv´ee de la fonctionf

vaut, pour toutxr´eel,f?(x) = 2x. Le tableau de variation de la fonctionfest donc,x-∞0 +∞f

?(x)-0 ++∞+∞f(x)? ? A

1.b)D´efinissons pour tout r´eelx, la fonctiong,g(x) =f(x)-x. Sa d´eriv´ee v´erifie :

?x?R, g?(x) =f?(x)-1 = 2x-1. Le tableau de variations degest donc le suivant :x-∞1/2 +∞g ?(x)-0 ++∞+∞g(x)? ? A-1/4SiA >1/4, d"apr`es le tableau de variations ci-dessus, pour toutxr´eel,f(x)-x >0.

SiA= 1/4, alors pour toutxr´eel,f(x)-x≥0.

SiA <1/4, alors le tableau de variations degest de la forme,x-∞α1/2β+∞g ?(x)-0 ++∞+∞? ? g(x)0 0

A-1/4<0D´eterminonsαetβ, puisque ces deux valeurs joueront un rˆole important par la suite. Ce sont

les racines du polynˆomeP=X2-X+A, siA <1/4. On obtient donc :

α=1-⎷1-4A2

etβ=1 +⎷1-4A2

1.c)On d´emontre ceci, par r´ecurrence. Pour tout entier natureln, posonsPn: "un?I".

Initialisation :u0?I, par hypoth`ese. DoncP0est vraie. H´er´edit´e : SupposonsPnvraie pour un certain entier natureln≥0, montronsPn+1. Par hypoth`ese de r´ecurrence, nous avonsun?I. Commeun+1=f(un) etIest stable parf, alorsun+1?I. Nous en d´eduisons quePn+1vraie. On conclut par r´ecurrence.

2.a)SiA >1/4, la suite (un)n?Nest croissante car, d"apr`es le tableau de signe de la question

1.b), ?n?N, un+1-un=f(un)-un≥0. SiA?[0,1/4[,I= [0,α] est un intervalle stable parfcarfest croissante surIdonc f(I) = [f(0),f(α)] = [0,α] =Iet en particulierf(I)?I. la suite (un)n?Nest ´egalement croissante car, d"apr`es le tableau de signe de la question 1.b), ?n≥1, un+1-un=f(un)-un≥0.2

2.b)Supposons queuntende vers une limitel. Alorsf(l) =lpuisquefcontinue. D´etaillons le

cette fois ci :un+1=f(un)→lpar continuit´e defenl.Prun+1→let par unicit´e de la limite :

f(l) =l,c"est `a direl=l2+A. Or le polynˆomeP=X2-X-An"a pas de racine, puisque son discriminant, siA >1/4, est Δ = 1-4A <0. Absurde et la suite ne converge pas. La suite (un)n?Ncroissante et elle ne ne converge pas, donc elle tend vers l"infini. Nous pouvons tracer la suite dans le casA= 1 par exemple. Nous rappelons que le trac´e d"une suite r´ecurrenteun+1=f(un) se fait en tracantfet la premi`ere bissetricey=x. Comme ca on part deu0en abscisse et on obtientu1en prenant l"image parf. On reporte alorsu1sur l"axe des abscisses en utilisant la premi`ere bissectice et on recommence ... On obtient cet escalier dont

les abscisses successives des points de contact avecy=f(x) sont les valeursu0,u1,u2....2.c)SiA?[0,1/4[, le polynˆomeP=X2-X-Aa deux racinesαetβ. Remarquons que

tout entier natureln,un?I. (un)n?Nest croissante major´ee, donc converge vers une limitel,

v´erifiantl=f(l). Dans l"intervalleI, il existe une unique solution v´erifiantl=f(l), doncl=α.3

3.a)fest d´ecroissante sur [A,0], d"o`uf([A,0])?[f(0),f(A)]?[A,A2+A].Or sur ]-1,0[,

consid´erons la fonctionh:x?-→x2+x, alorsh?(x) = 2x+ 1. Le tableau de variation dehest :x-1-1/2 0h

?(x)-0 +0 0 h(x)? ?

3.b)Commef◦fest la compos´ee de deux fonctions d´ecroissantes, elle est croissante. La suite

r´ecurrente (u2n)n?Nest donc monotone. C"est une r´ecurrence qui repose sur le fait que pour tout entier natureln≥2,u2n+2-u2n=f◦f(u2n)-f◦f(u2n-2) est de mˆeme signe que u

2n-u2n-2puisquef◦fest croissante. Puis, on d´emontre par r´ecurrence queu2n+2-u2na le

d´ecroissante minor´ee, elle converge versa.f◦f´etant continue, sa limite v´erifief◦f(a) =a.

De mˆeme, (u2n+1)n?Nconverge versbtel quef◦f(b) =b.

3.c)Comme (x2-x+A)(x2+x+A+ 1) =x4+ 2Ax2+A2-x+A, on a :

?x?R, f◦f(x)-x= (x2+A)2-x+A =x4+ 2Ax2+A2-x+A = (x2-x+A)(x2+x+A+ 1).

3.d)SiA?]-3/4,0[, il n"y a qu"une seule racineβsur [A,0] car :

P=X2-X+Aa deux racinesα=1+⎷1-4A2

>0 etβ=1-⎷1-4A2 <0. Q=X2+X+A+ 1, de discriminant Δ =-3-4An´egatif, est de signe constant positif. Commeu0= 0 et [β,0] est un intervalle stable parf◦f, (u2n)n?Nd´ecroissante, mi- nor´ee, converge versβ. Commeu1=A < β, et [A,β] est un intervalle stable parf◦f, (u2n+1)n?Ncroissante, major´ee, converge versβ. Les suites extraites, paire et impaire,

convergent vers la mˆeme limite, donc (un)n?Nconverge versβ.3.e)SiA?]-1,-3/4[, il y a trois racines possibles def◦f(x)-xsur [A,0] car :

P=X2-X+Aa deux racinesα=1+⎷1-4A2

>0 etβ=1-⎷1-4A2 <0.4 Q=X2+X+A+ 1 a deux racinesβ < x1=-1+⎷-3-4A2 Commeu0= 0 et [x1,0] est un intervalle stable parf◦f, (u2n)n?Nd´ecroissante, mi- nor´ee, converge versx1. Commeu1=A < x2et [A,x2] est un intervalle stable parf◦f, (u2n+1)n?Ncroissante, major´ee, converge versx2. Les deux suites extraites, d"indices pair et impair, ne convergent pas vers la mˆeme limite, donc (un)n?Ndiverge.FIN 5quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

[PDF] f(x)=racine de x

[PDF] france métropolitaine 2016 maths corrigé

[PDF] x-ln(x^2+1) algorithme

[PDF] ce que jaurai aimé savoir avant de me marier pdf

[PDF] f(x)=1/x

[PDF] f x )= x 2 1

[PDF] f(x) = x^3

[PDF] f(x) calculer

[PDF] f(x)=2

[PDF] f(x)=x+1

[PDF] f'(x) dérivé

[PDF] f(x)=x^4

[PDF] f(x)=3

[PDF] livre mécanique appliquée pdf

[PDF] mécanique appliquée définition