Suites récurrentes de la forme un+1 = f(u Résultats `a connaitre
soit étudier la fonction f et le déduire de son tableau de variations ; f est décroissante sur I alors les suites extraites (u2n) et (u2n+1) sont ...
Suites 1 Convergence
Pour la troisième question remarquer que si f est décroissante alors f ? f est croissante et appliquer la première question. Indication pour l'exercice 13 ?.
Corrigé du TD no 11
Montrer que f = g. Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit
LIMITE DUNE SUITE
un+1 = f (un) : f est croissante =?. (un)n? est croissante. f est décroissante =?. (un)n? est décroissante. y = x.
Plan détude des suites un+1 = f(u
elle peut avoir plusieurs points fixes ! la suite (un)n?0 n'est pas nécessairement croissante : elle peut être décroissante ! Exemples : f(
ETUDE des SUITES RECURRENTES 1 Intervalle stable par f
(un)n?N est monotone : croissante ou décroissante. Cas croissant. 1/ Si (un)n?N est majorée (exemple si J = [m
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
Comme f (x) = x on a f '(x) = 1. Donc x(lnx)' = 1 et donc (lnx)' = 1 1 x2 < 0 donc la dérivée de la fonction ln est strictement décroissante sur.
Suites f-définies par récurrence Sommaire
8 janv. 2021 1 + un est une suite f -définie par récurrence pour la fonction f : x ... Comme on a u2 ? u0 et f décroissante on a f(u2) ? f(u0) ie u3 ...
Suite récurrente définie par une fonction
3) On suppose dans cette question que A ?] ? 10[. a) Montrer que [A
Limites et continuité
La convergence peut se caractériser en termes de suites. Théorème 1. Soit a un réel et f une fonction définie au voisinage de a sauf peut-être.
Comment calculer une suite décroissante ?
Calculons + ? = + ? =? + = ? + Comme < , on a ? ? + ? < , par conséquent f + ? = ? + . 2. Montrer que : ? ?, . 3.
Comment montrer que la suite est croissante ?
Allez à : Correction exercice 21 : Exercice 22 : Soit ] , [ un réel. On considère la suite définie par = , et pour tout , + + = + 1. Montrer que pour tout ?, < < . 2. Montrer que la suite est croissante.
Comment montrer que ? tend vers l’infini ?
Malheureusement cela ne suffit pas pour montrer que ? tend vers l’infini, par exemple la suite de terme général ? n’est pas une suite de Cauchy et elle ne tend pas vers ?. Il faut rajouter que la suite ? est croissante.
LM115, Mime 4/5 Année 2004-2005
Plan d"étude des suitesun+1=f(un)Lorsque l"énoncé de l"exercice ou du problème ne pose pas de questions intermédiaires (mais ce sera
probablement souvent le cas en examen), voilà un petit rappel des points essentiels de ce qu"il faut faire pour
étudier une suite définie par récurrence parun+1=f(un).aLa première chose à vérifier est que la fonctionfest continue, au moins sur un intervalle stable (contenant
les termes de la suite !) sur lequel on va l"étudier.Sifn"est pas continue, alors tout ce qui va suivre ne s"applique pas.bEnsuite il faut trouver un intervalleI= [a,b](= fermé et borné) qui soit stable parf, c"est-à-dire que
f(I)?I. Il faut bien sûr queIcontienne tous les termes de la suite à étudier, au moins à partir d"un certain
rang (cf exemplef(x) = cos(x)fait en TD).cEnsuite il faut chercher les points fixes defdansI: y en a-t-il un ou plusieurs ? S"il sont " calculables »
(par exemple équation du 2nd degré), il faut les calculer.dNB : pour simplifier, je prendraiI= [0,1]dans tous les exemples qui suivent.1Le cas le plus facile : c"est celui oùfest contractante surI. Dans ce cas il y a un unique point fixeα?I,
et la suite(un)n≥0converge versα. Attention:la fonctionfn"est pas nécessairement croissante ! la suite(un)n≥0n"est pas nécessairement monotone !Exemples:f(x) =14
(x+ 1)ouf(x) =120(sin(10x) + 2)surI= [0,1].2Le deuxième cas le plus facile : c"est celui oùfest croissante. Dans ce cas la suite(un)n≥0est monotone, et
comme elle est bornée elle converge. Il faut trouver vers quel point fixe elle converge. Attention:la fonctionfn"est pas nécessairement contractante ! elle peut avoir plusieurs points fixes ! la suite(un)n≥0n"est pas nécessairement croissante : elle peut être décroissante !Exemples:f(x) =x2n"est pas contractante sur[0,1], elle a plusieurs points fixes (deux), et les suites
récurrentesun+1=f(un)sont décroissantes.3Un autre cas " gérable » est celui oùfest décroissante. Dans ce cas la suite(u2n)n≥0et la suite(u2n+1)n≥0
sont monotones, l"une croissante et l"autre décroissante. Comme elles sont bornées elles convergent toutes
les deux, maispas nécessairement vers la même limite. Les limites sont des points fixes def◦f(attention !)
car(u2n)et(u2n+1)sont toutes les deux définies par une relation de récurrenceu2n= (f◦f)(u2n-2)(idem
pour celle d"indices impairs).(Les pts fixes defsont des pts fixes def◦f, maisf◦fpeut en avoir qui ne sont pas pts fixes def.)
Il faut trouver vers quels points fixes def◦fconvergent(u2n)et(u2n+1). La suite " totale »(un)converge
si et seulement si(u2n)et(u2n+1)ont même limite. Attention:là encore la fonctionfn"est pas nécessairement contractante ! elle peut avoir plusieurs points fixes ! ici en général la suite(un)divergera! Exemples:f(x) = cos(x)surI= [0,1]: on a vu en TD que ça converge, en fait dans ce casfestcontractante surIdonc on est dans le premier cas (le plus facile).f(x) = 1-xetu0= 1/4. Dans ce cas les sous-suites(u2n)et(u2n+1)convergent vers
deux limites différentes et(un)diverge. f(x) = 1-x2etu0= 1/4. Vérifiez qu"il se passe la même chose que dans l"exempleprécédent (ici il y a un peu de travail...).4Dernier cas : on n"est dans aucun des cas précédents. Alors il faut réféchir un peu... faire preuve de jugeotte...
L"énoncé vous aidera !
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