[PDF] Analyse de filtres numériques

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TNSH. Garnier1HuguesGARNIERhugues.garnier@univ-lorraine.frAnalyse de filtres numériques

TNSH. Garnier2Etapes principales pour effectuer un traitementnumériquesur un signal analogiqueSignal numériquetraitéSignal numériqueoriginalTraitement numérique du signalAnalyse /conception de filtresAnalyse spectraleSignal analogiqueoriginalEchantillonnage-Quantification

TNSH. Garnier3Filtrer mais pourquoi faire ?•Les filtres jouent un rôle central en TNS. L'information utile est souvent dissimulée au sein d'un signal-Le filtrage permettra d'extraire cette information utile•Un filtre est souventun système linéaire dont -le rôle est de modifier le contenu spectral d'un signal sans y ajouter de nouvelles composantes-Il permet le renforcement ou l'atténuation d'une ou plusieurs bandes de fréquences

TNSH. Garnier4Analyse/conception de filtresPremière situation rencontrée•On connaît le filtre et on souhaite déterminer ses caractéristiques : type de filtrage réalisé, valeurs de fréquence de coupureèAnalyse de filtresExemple :déterminer le type de filtrage (passe-bas, passe-haut, ... ?) réalisé par l'équation suivante :

y(k)=12e(k)+12e(k-1)

TNSH. Garnier5Analyse/conception de filtresDeuxième situation rencontrée :•On définit un cahier des charges (gabarit) précisant le type de filtrage à réaliser : valeurs des fréquences de coupure, etcet on souhaite déterminer le filtre : son ordre et son équationèConception de filtres•Exemple : déterminer la fonction de transfert du filtre passe-bas qui satisfait au gabarit ci-dessous :

TNSH. Garnier6Signal du jourSource: GISTEMP Team, 2019: GISS Surface TemperatureAnalysis(GISTEMP), version 4. NASA Goddard Institute for SpaceStudies. Datasetaccessed2019-11-20 athttps://data.giss.nasa.gov/gistemp/Température moyenne normale calculée sur la période 1950-1981Anomalies de température : écart entre la température mesurée en un lieu en degrés Celsiuspar rapport à la température moyenne normale calculée sur une période d'au moins 30 ansComment faire mieux apparaître la tendance de l'évolution à moyen terme ?

TNSH. Garnier7Exemple d'application de filtrage : Lissage des anomalies de températurePremier lissage : calcul sur une fenêtre glissante de 2échantillons de la valeur moyenne

y(k)=12e(k-m)m=01∑=12e(k)+e(k-1)()

TNSH. Garnier8Exemple d'application de filtrage : Lissage des anomalies de températureDeuxième lissage : calcul sur une fenêtre glissante de 10échantillons de la valeur moyenne

y(k)=110e(k-m)m=09∑Le réchauffement climatiquesemble s'accélérer clairement à partir de 1980Lisseur = filtre passe-...?

TNSH. Garnier9Forme récursive / non récursive d'un traitement numériqueForme non récursive du calcul sur une fenêtre glissante de Néchantillons de la moyenne d'un signal

y(k)=1Ne(k-m)m=0N-1∑H e(k)y(k) H

(y(k-1),e(k),e(k-N))Forme récursive du calcul sur une fenêtre glissante de Néchantillons de la valeur moyenne d'un signaly(k)=

H (e(k)) TNSH. Garnier10Forme générale d'un traitement numérique H : est un filtrequi sera supposé dans la suite-linéaire-invariant dans le temps-causal H e(k)y(k)y(k)= H (y(k-1), (y(k-2), ..., e(k),e(k-1), ....)

TNSH. Garnier11Outil d'analyse des caractéristiques d'un filtre numérique linéaire•Un filtre numérique linéaire peut être décrit par :-une équation aux différences-un produit de convolution-sa fonction de transfert-sa réponse impulsionnelle-sa réponse fréquentielle-son diagramme des pôles et des zéros•On le réalise par un programme informatique de calcul•L'outil mathématique exploité pour faciliter son analyse est la transformée en Z (voir, si besoin, cours plus complet sur la transformée en Z dans la rubrique pré-requisdu cours de TNS)

TNSH. Garnier12•Soit un signal numérique x(k)causal. La transformée en Z est définie par :où-zest la variable de la transformée en Z-•On dit que X(z)est la transformée en Z du signal x(k)Transformée en Z

z=rejθ=α+jβ

TNSH. Garnier13Lien entre transformée de Fourieret transformée en Z•La transformée en Z définie précédemment est en fait la transformée en Z monolatèreIl existe en effet la transformée en Z bilatère définie par : •Il existe une relation entre la transformée en Z bilatère et la transformée de Fourier d'un signal à temps discret :

TNSH. Garnier14

Xz()=Zxe(t)()=x(k)z-kk=0+∞∑La transformée en Zpeut donc être vue comme la transformée de Laplace appliquée à un signal échantillonné (idéalement)dans laquelle on a effectué le changement de variable :

En posant z=esTeXes()=x(k)e-ksTek=0+∞∑=x(k)e-sTe⎛⎝⎜⎞⎠⎟kk=0+∞∑Pour un signal échantillonné idéalement x(kTe)=x(k), la transformée de Laplaceest donnée par :Lien entre transformée de Laplace et transformée en Z

z=esTe

TNSH. Garnier15•Linéarité•Retard temporel•Produit de convolutionPropriétésde la transformée en Zles plus importantes

Zax(k)+by(k)()=a X(z)+bY(z)Zx(k-2)()=z-2X(z)+z-1x(-1)+x(-2)Zx(k-1)()=z-1X(z)+x(-1)Zx(k-i)()=z-iX(z)+z-i+1x(-1)+z-i+2x(-2)+!+x(-i)Zx(k)*y(k)()= X(z)×Y(z)

TNSH. Garnier16Table de Transformées en zx(k) X(z)

z sinΩo()z2-2cosΩo()z+1 z z-cosΩo()()z2-2cosΩo()z+1 zz-a sinΩok()u(k)aku(k) cosΩok()u(k)u(k)δ(k)zz-11ku(k)zz-1()2

TNSH. Garnier17Equation aux différences•Un filtre numériquelinéaire invariant dans le temps possédant une entrée e(k)et une sortie y(k)peut être décrit par une équation aux différences (ou équation de récurrence)à coefficients constants :-Nest l'ordre du filtre

TNSH. Garnier18h(k)•Un filtre numérique peut être caractérisé par sa réponse impulsionnelleh(k)•Elle correspond à la réponse obtenue lorsqu'on envoie en entrée une impulsion de Kronecker d(k)•Sih(k)=0 pourk<0, le filtre est dit causalRéponse impulsionnelleFiltrelinéaire invariantd(k)k011kréponse impulsionnelle

TNSH. Garnier19•La réponse impulsionnelle h(k)permet de calculer la sortie du filtre y(k)à toute entrée e(k)via le produit de convolution discret•Si le filtre est causal : h(k)=0pour tout k < 0Produit de convolution

TNSH. Garnier20•Soit l'équation aux différences d'un filtre :En appliquant la transformée en Z et en utilisant la propriété :•C'est aussi la transformée en Z de la réponse impulsionnelle

Zx(k-i)()=z-iX(z) ensupposantlesconditions initiales (CI)nullesFonction de transfert en Z TNSH. Garnier21Fonction de transfert en Z -Exemple

TNSH. Garnier22Lien entre fonctionde transfertet équationaux différencesSoit la fonction de transfertd'un filtre numériqueDéterminer l'équation aux différences du filtreOn exprime H(z)en puissance négative de z

H(z)=0,2zz-0,8H(z)=0,2zz-0,8×z-1z-1=0,21-0,8z-1car par définitionH(z)=Y(z)E(z)Y(z)E(z)=0,21-0,8z-1(1-0,8z-1)Y(z)=0,2E(z)Y(z)-0,8z-1Y(z)=0,2E(z)y(k)-0,8y(k-1)=0,2e(k)car Z-1z-iY(z)()=y(k-i)icii=1

TNSH. Garnier23•Soit une fonction de transfert•DéfinitionsZéros zjsont les racines du numérateur B(z)=0Pôles pisont les racines du dénominateur A(z)=0•Exemple

H(z)=B(z)A(z)=0,21-0,8z-1=0,2zz-0,8Re(z)Im(z)00,8Toujours écrire H(z)en puissance positive de z pour déterminer les pôles/zéros

TNSH. Garnier24•Si on connaît la fonction de transfert du filtre numériqueLe filtre numérique est stable si tous ses pôles piont un module inférieur à 1, c'est à dire s'ils sont situés à l'intérieur du cercle unitéExemple

pi<1INSTABLERe(z)Im(z)1-1STABLEStabilité d'un filtre numérique TNSH. Garnier25Conditions de stabilité filtres analogiques/filtres numériques

touslespôles<1Re(touslespôles)<0Filtres analogiquesFiltres numériqueswe-we/2we / 2w=0STABLEwe/2wemodule

TNSH. Garnier26Réponse d'un filtre à un signal sinusoïdal•On envoie un signal sinusoïdalde fréquencef0dans un filtre linéaire de réponse fréquentielle•La sortie en régime permanent s'écrit :C'est un signal sinusoïdal de même fréquence f0que l'entrée, MAISavec une amplitude et une phase différentes (qui dépendent de H(f0)) (propriété des filtres linéaires)

TNSH. Garnier27Réponse fréquentielle d'un filtre•C'est la TFtdde la réponse impulsionnelle h(k)•Si on connaît H(z)•Permet d'en déduire la réponse fréquentielle en amplitude et en phase•Caractéristiques-Réponses fréquentielles périodiques de "période» fe-L'analyse et le tracé selimitent à la plage de fréquences [0 ; fe/2]-Pas de pentes particulières au niveau du diagramme de Bode

H(f)=Y(f)E(f)ϕf()=ArgH(f)()H(f)=H(z)z=ej2πfTe Hf()=TFtd(h(k))y(k)=h(k)*e(k)Y(f)=F(h(k)*e(k))=H(f)×E(f)z=esTes=jω=j2πf⎫⎬⎪⎭⎪z=ej2πfTeH(f)=H(f)ejϕ(f)

TNSH. Garnier28Fréquence de coupure (rappel)•La fréquence de coupure est la fréquence à partir de laquelle le filtre commence à agir de façon significative sur le signal d'entrée•C'est la fréquence pour laquelle le signal d'entrée subit une atténuation d'amplitude de 0,707 ou de -3 dB (valeur pour laquelle l'oreille est capable de discerner une différence)

H(fc)=H(f)2ouHdB(fc)=HdB(f)-3dBFréquence (Hz)-20-1001010-1100101GaindBfc-3 dB

TNSH. Garnier29Il existe 2 types de filtres numériques•Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (filtres RIF)•Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (filtres RII)

H(z)=B(z)A(z)=biz-ii=0M∑1=bizM-ii=0M∑zM H(z)=B(z)A(z)=biz-ii=0M∑aiz-ii=0N∑h(k)k010,54h(k)k

TNSH. Garnier30Filtres RIF ou filtres non récursifsCaractéristiques principales•Equation de récurrence (y(k)ne dépend que de l'entrée)•Fonction de transfert-M: ordre du filtre-Un filtre RIF d'ordre Mpossède N=M+1coefficients ( bi=hi)•Stabilité-pôles : tous en pi=0=> pôles à l'intérieur du cercle unité•filtres RIF toujours stables

TNSH. Garnier31•Fonction de transfert•Réponse fréquentielle•Tracé de H(f)et Arg(H(f))•Filtres RIF à phase linéaire(dans la bande passante)•Réponses périodiques de "période» fe•Zone utile d'analyse du filtrage : [0; fe/ 2]Réponse fréquentielle d'un filtre RIF

H(z)=h(k)z-kk=0M∑z=ej2πfTe=ej2πffeH(f)=h(k) e-j2πkffek=0M∑s=j2πfz=esTe⎧⎨⎩

TNSH. Garnier32•La phase est linéaire (on parle de filtres à phase linéaire)Les composantes fréquentielles de l'entrée sont toutes retardées de la même valeur•Important dans de nombreusesapplications-Transmission de données ou de vidéoCaractéristique de la réponse fréquentielle en phase d'un filtre RIF

ϕ(f)=ArgH(f)()=-αf-αf+βτϕ=ϕ(f)2πf=csteLa phase est linéaire

TNSH. Garnier33ExempleAnalyse d'un filtre RIF d'ordre 1Soit le filtre RIF d'ordre 1 décrit par :Déterminer :a) la fonction de transfert en zb) la réponse impulsionnellec) le diagramme des pôles et des zéros. Conclure sur la stabilitéd) la réponse fréquentielle en amplitude et en phasee) En déduire le type du filtrage réaliséf) Préciser la (ou les) fréquence(s) de coupure

y(k)=12e(k)+12e(k-1)

TNSH. Garnier34Réponse fréquentielle d'un filtre RIF passe-bas d'ordre 1Sous Matlab:B=[0.5 0.5];A=[1 0];fe=1; % Te=1 année[H,f]=freqz(B,A,512,fe);subplot(2,1,1)plot(f,abs(H)),gridsubplot(2,1,2)plot(f,angle(H)),gridxlabel('fréquence (année^{-1})')Voir aussi l'interface graphique filterDesigner

H(z)=12+12z-1

TNSH. Garnier35Filtrage RIFd'ordre 1des anomalies de températureLissage : calcul sur une fenêtre glissante de 2 échantillons de la valeur moyenne=filtrage RIF d'ordre 1

y(k)=12e(k)+12e(k-1)

TNSH. Garnier36Réponse fréquentielle d'un filtre RIF passe-bas d'ordre 10Sous Matlab:N=10;B=1/N*ones(1,N);A=1;fe=1; % Te=1 année[H,f]=freqz(B,A,512,fe);subplot(2,1,1)plot(f,abs(H)),gridsubplot(2,1,2)plot(f,angle(H)),gridxlabel('fréquence (année^{-1})')Voir aussi l'interface graphique filterDesigner

H(z)=110z-kk=09∑

TNSH. Garnier37Filtrage RIFd'ordre 10des anomalies de températureLissage : calcul sur une fenêtre glissante de 10échantillons de la valeur moyenne=filtrage RIF d'ordre 10

y(k)=110e(k-m)m=09∑

TNSH. Garnier38Filtres RII ou filtres récursifsCaractéristiques principales•Equation de récurrence (y(k)dépend de l'entrée etdes sorties passées)•Fonction de transfertN: ordre du filtre•StabilitéPrésence de pôles => vérifier la stabilité

y(k)=h(k)e(k-i)i=0+∞∑=-aiy(k-i)i=1N-1∑+bie(k-i)i=0M∑H(z)=biz-ii=0M∑1+ajz-jj=1N∑=C(z-z1)(z-z2)...(z-zM)(z-p1)(z-p2)...(z-pN)pi<1 y(k)=-a1y(k-1)+...-aNy(k-N)+b0e(k)+b1e(k-1)+...+bMe(k-M)

TNSH. Garnier39Filtres RII du 1eret 2ndordre•Filtrespurementrécursifsdu1erordrePôle:p1=-a1Stablesi|p1|=|a1|<1•Filtrespurementrécursifsdu2ndordreStablesi|p1|<1et|p2|<1

TNSH. Garnier40•Fonction de transfert•Réponse fréquentielle•Tracé du module et de la phase en fonction de f-Zone utile d'analyse du filtrage : [0, fe/2]-Pas de phase linéaire-Utilisation d'un logiciel (Matlabpar exemple)pour tracer la réponse fréquentielleRéponse fréquentielle Filtre RII du 1erordre

z=ej2πffeH(f)=b01+a1e-j2πffe=b01+a1cos2πffe⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟-ja1sin2πffe⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟H(z)=b01+a1z-1b0=0.2 a1=-0.8La phase n'est pas linéaire

TNSH. Garnier41ExempleAnalyse d'un filtre RII d'ordre 1Soit le filtre numérique décrit par l'équation de récurrence :Déterminer :a)la fonction de transfert en zb) la réponse impulsionnellec) le diagramme des pôles et des zéros. Conclure sur la stabilitéd) la réponse fréquentielle en amplitude et en phasee) En déduire le type de filtrage réaliséf) Préciser la (ou les) fréquence(s) de coupure

y(k)=45y(k-1)+15e(k)

TNSH. Garnier42Réponse fréquentielle d'un filtre RII passe-bas d'ordre 1Sous Matlab:B=1/5;A=[1 -4/5];fe=1;[H,f]=freqz(B,A,512,fe);subplot(2,1,1)plot(f,abs(H)),gridsubplot(2,1,2)plot(f,angle(H)),gridxlabel('Fréquence (année^{-1})')Voir aussi l'interface graphique filterDesigner

H(z)=1/51-4/5z-1

TNSH. Garnier43Filtrage RIId'ordre 1des anomalies de température y(k)=45y(k-1)+15e(k) TNSH. Garnier44h(k)Analyse d'un filtre numériqueEn résumé ! H(z)=Y(z)E(z)Re(z)Im(z)0Diagramme des pôles/zérosRéponse impulsionnelleh(k) y(k)=-a1y(k-1)+b0e(k)Equation aux différences y(k)=h(k)*e(k)Produit de convolutionZZ-1ZZ-1ZZ-1

H(f)=H(z)z=ej2πffe =H(f)ejϕ(f)TFtdTFtd-1Réponse fréquentielleH(f)Fonctionde transfertz = e j2pf/fe

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