1 Intégrales généralisées
ln(2). Exercice 14. Montrer que l'intégrale. ? +?. 0 arctan(t2) t2 dt converge et calculer sa valeur. Correction : Avec lim t?0 arctan(t2) t2. = 1
TD 1 Intégrales généralisées
Sep 16 2016 Intégrales généralisées. 1. Résumé de cours. 2. Exercices. Pierre-Jean Hormière ... En effet t ? ln t est continue sur ]0
TD3: Intégrales Généralisées
+1ln(cos(1/t)) dt converge (absolument). 8. DV t1/2 sin(t¡1/2)(ln(1 +t))¡1 1/lnt
Chap 02 - Intégrales généralisées
ln(1 ? t) + ln(1 + t)dt = ln 2 ? 1. Exercice 3 Développement asymptotique pour une intégrale divergente. 1. Établir la divergence de I = ? 1. 0.
Correction du devoir maison no 2
par comparaison série-intégrale pour n ? 2 fixé
Intégrales impropres
t2 + 3t ln cos. 1 t sin2. 1 ln t dt converge ? Le point incertain est +?. Pour répondre à la question calculons un équivalent de la fonction au voisinage de +
Khâgne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres
2. 1. 3t dt = 1. 9 ln(3) . 7. Convergence de. ? +?. 0 te. ?t dt. La fonction t ?? te?t est continue sur [0+?[
Primitives et intégration
1 x et f(x) = ln
Intégrales convergentes
May 9 2012 t?1(ln(t))?2 dt
Analyse S4
t) y(k)(1/t) pour k = 12 et 3 (1.5 pts). (b) Montrer qu'une primitive de 1/tln(t) est ln(ln(t)) pour t > 1 (0.5 pts). En déduire que. F(2) diverge (0.5 ...
Calculus with Parametric curves
Calculus with Parametric curves (textbook 10 2 7)Find an equation of the tangent line to the parametric curvex= 1 + lnt =t2+ 2 (t >0) at the point (1;3) by two methods: a) without eliminating the parameter and b)by rst eliminating the parameter We are at the point (1;3) whent= 1 as 1 + lnt= 1 only whent = 1 and at this timet2+ 2 = 3 We have
Math 314 Lecture 145: The Chain Rule Theorem
1+x 2+y2 1 t + y p 1+x2 +y (?sint) = (lnt)(1/t) p 1+(lnt) 2+(cost) + ?costsint p 1+(lnt)2 +(cost)2 which is the same thing as the “direct” calculation Theorem Suppose z = f(xy) is di?erentiable If x = g(st) and y = h(st) are di?erentiable functions then ?z ?s = ?z ?x ?x ?s + ?z ?y ?y ?s ?z ?t = ?z
Math 214 Solutions to Assignment 8 - UAlberta
42 Find equations of the normal plane and osculating plane of the curve x = t; y = t2; z = t3 at the point (1;1;1) Solution At (1;1;1) t = 1 r(t) = ht;t2;t3i and r0(t) = h1;2t;3t2i The normal plane is determined by the vectors B and N so a normal vector is the unit tangent vector T (or r0 Now T(1) = r0(1) jr0(1)j = h1;2;3i p 1+4+9 = 1 p
Past day
ANALYSE 2Fiche de Mathematiques 8- Integrales generalisees.Dans ce chapite, on traite deux problemes distincts, mais qui se posent souvent simultanement : celui des
integrales generalisees (integrales de fonctions denies sur des intervalles ouverts deR) et celui des integrales
dependant d'un parametre, c'est-a-dire d'integrales de la formeZ b a f(t;x)dtou (t;x)!f(t;x) designe une fonction a deux variablest;x.1 Integrales generalisees
Denition 1.1SoientIun intervalle quelconque deR, etEun e.v.n. complet. Une applicationf:I!Esera dite localement integrable surIsi sa restriction a chaque sous-intervalle compact deIest integrable. Denition 1.2Soitfune fonction localement integrable sur un intervalle semi-ouvert[a;b[deR(1< ab+1). On dit que l'integrale generalisee defsur[a;b]est la limite au pointb, si elle existe, de la fonction
F:x!Z x a f(t)dt(ax < b).Si cette limite n'existe pas, on dit que l'integrale defsur[a;b]est divergente. De m^eme, sifest localement
integrable sur l'intervalle semi-ouvert]a;b](1 a < b <+1), l'integrale generalisee defsur]a;b]est la limite
au pointa, si elle existe, de la fonction F:x!Z b x f(t)dt(a < xb). Dans les deux cas, l'integrale generalisee defsur[a;b[ou]a;b]est noteeZ b a f(t)dt. Denition 1.3Soitfune fonction localement integrable sur un intervalle ouvert]a;b[deR(1 a < b+1)et soitcun point quelconque de]a;b[. On dit que l'integrale defsur]a;b[est convergente si chacune des integrales
Z c a f(t)dtetZ b c f(t)dt est convergente et on pose alors : Z b a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z b c f(t)dt.On va voir que l'integrale defsur l'intervalle ouvert ]a;b[ peut se denir directement comme une limite
d'integrales sur des intervalles compacts.Proposition 1.1Soitfune fonction localement integrable sur un intervalle ouvert]a;b[borne ou non. Pour que
l'integrale defsur cet intervalle soit convergente, il faut et il sut que la fonction ': (x;y)!Z y x f(t)dt,(a < x < y < b)ait une limite lorsque le point(x;y)tend vers le point(a;b)dansR2et cette limite est l'integrale generaliseeZb
a f(t)dt. On a donc Z b a f(t)dt= lim (x; y)!(a; b) a < x < y < bZ x a f(t)dt. Exercice 1Montrer que l'integrale def:t7!exp(t) est convergente sur [0;+1[ etZ +1 0 exp(t)dt= 1.Correction: Pour toutx >0, on a :
1/15F(x) =Z
x 0 exp(t)dt= 1exp(x)!x!+11. Exercice 2Montrer que l'integrale def:t7!11 +t2est convergente sur [0;+1[ etZ +10dt1 +t2=2
Correction: Pour toutx >0, on a :
F(x) =Z
x0dt1 +t2= arctan(x)!x!+12
Exercice 3Montrer que l'integrale def:t7!1pt
est convergente sur ]0;1] etZ 1 0dtpt = 2.Correction: Pour toutx2]0;1], on a :
F(x) =Z
1 xdtpt = 22px!x!02.Exercice 4Montrer que l'integrale def:t7!1t
2est divergente sur ]0;1].
Correction: Pour toutx2]0;1], on a :
F(x) =Z
1 xdtt 2=1x 1! x!0++1. Exercice 5Montrer que l'integrale def:t7!sin(t) est divergente sur [0;+1[.Correction: Pour toutx >0 on a :
Z x 0 sin(t)dt= 1cos(x) et la fonction cos n'a pas de limite a l'inni.2 Calcul pratique des integrales generalisees
Proposition 2.1On designe par[a;b]un intervalle compact deRet par (c0=a;c1;:::;cn=b) une subdivision de
[a;b]et soitfune fonction vectorielle denie et continue sur chacun des intervalles ouverts]ci1;ci[(1in).
S'il existe une fonction vectorielleFdenie et continue sur[a;b]admettantf(t)pour derivee en tout pointtouf
est denie, alorsfadmet une integrale generalisee et on a Z b a f(t)dt=F(b)F(a).Proposition 2.2Changement de variable.
Soit'une bijection de classeC1de l'intervalle ouvert]a;b[sur l'intervalle ouvert];[et soitfune fonction
vectorielle continue sur];[. Pour que l'integrale defsur];[soit convergente il faut et il sut que l'integrale
de(f')'0sur]a;b[le soit et on a alors : Z f(x)dx=Z b a f['(t)]'0(t)dt.Proposition 2.3Integration par parties.
Soientu;vdeux fonctions numeriques ou complexes de classeC1sur l'intervalle ouvert]a;b[telles que les limites
A= limx!au(x)v(x)etB= limx!bu(x)v(x)
existent. Si l'une des integrales Z b a u(x)v0(x)dxetZ b a u0(x)v(x) est convergente, il en est de m^eme de l'autre, et on a Z b a u(x)v0(x)dx=BAZ b a v(x)u0(x)dx.Theoreme 2.1Si les integrales defetgsurIsont convergentes, il en est alors de m^eme de l'integrale des
fonctionsfetf+gpour tout nombre complexeet on a : 2/15 Z b af(x)dx=Z b a f(x)dxetZ b a (f(x) +g(x))dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx. Si Z b a f(x)dxconverge etZ b a g(x)dxdiverge alorsZ b a (f(x) +g(x))dxdiverge.Remarque 2.1On ne peut rien dire a priori concernant la somme de deux integrales divergentes ni le produit de
deux fonctions convergentes.Corollaire 2.1Sifest a valeurs complexes, alorsZ
b a f(x)dxest convergente si et seulement si les integrales Z b aRe(f)(x)dxetZ
b a Im(f)(x)dxsont convergentes et en cas de convergence on a : Z b a f(x)dx=Z b aRe(f)(x)dx+iZ
b aIm(f)(x)dx.
Exercice 6Montrer que l'integrale def:t7!ln(t) est convergente sur ]0;1] etZ 1 0 ln(t)dt=1.Correction: On a
Z 1 x ln(t)dt=1xln(x) +x!x!01. Exercice 7Montrer que l'integrale def:t7!11exp(t)+ ln(t)1t exp(t) est convergente sur ]0;+1[ et Z +1 0 f(t)dt= 0.Correction: Une primitive def(t) =exp(t)1exp(t)
exp(t)ln(t) + exp(t)1t est :F(t) = ln(1exp(t))exp(t)ln(t) = ln1exp(t)t
+ ln(t)(1exp(t)) et on a lim t!+1F(t) = 0 et limt!0F(t) = 0, ce qui donneZ +1 0 f(t)dt= 0. Exercice 8Montrer que l'integrale def:t7!1p1t2est convergente sur ]1;1[ etZ 111p1t2dt=.
Correction: Pour toutx2[0;1[, on a :
F(x) =Z
x01p1t2dt= arcsin(x)!x!12
et par parite, poury2]1;0],G(y) =Z
0 y1p1t2dt=Z y01p1u2du= arcsin(y)!y!12
ce qui donne le resultat annonce. Exercice 9Soitun nombre complexe.Etudier la nature de l'integraleZ +1 0 exp(x)dxen precisant sa va- leur en cas de convergence. Correction: SoitFla primitive defdenie sur ]0;+1[ parF(x) =Z
x 0 exp(t)dt=8 :xsi= 0 exp(x)1 si6= 0. Pour= 0, on a limx!+1F(x) = +1et l'integrale diverge.PourRe()>0, on a :
jF(x)j=exp(x) :j1 jexp(x)j=exp(Re()x)jj(1exp(Re()x)!x!+1+1. et l'integrale diverge.PourRe()<0, on a :exp(x)
=exp(Re()x)jj!x!+10 et l'integrale converge vers1 3/15 Il reste a considerer le cas ouRe() = 0, soit le cas ou=iyavecy2R?(= 0 est deja etudie). Dans ce cas l'integrale diverge puisque la fonction':x!exp(iyx) n'a pas de limite a l'inni (la suite 'ny n1= (exp(in))n1= ((1)n)n1est divergente). Exercice 10Soitf2 C0(R;R) telle que limx!+1f(x) =let limx!1f(x) =l0. 1.Existence et calcul de
Z +1 1 (f(t+ 1)f(t))dt. 2.Calcul de
Zquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] integrale sin(t)/t^2
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