1 Intégrales généralisées
ln(2). Exercice 14. Montrer que l'intégrale. ? +?. 0 arctan(t2) t2 dt converge et calculer sa valeur. Correction : Avec lim t?0 arctan(t2) t2. = 1
TD 1 Intégrales généralisées
Sep 16 2016 Intégrales généralisées. 1. Résumé de cours. 2. Exercices. Pierre-Jean Hormière ... En effet t ? ln t est continue sur ]0
TD3: Intégrales Généralisées
+1ln(cos(1/t)) dt converge (absolument). 8. DV t1/2 sin(t¡1/2)(ln(1 +t))¡1 1/lnt
Chap 02 - Intégrales généralisées
ln(1 ? t) + ln(1 + t)dt = ln 2 ? 1. Exercice 3 Développement asymptotique pour une intégrale divergente. 1. Établir la divergence de I = ? 1. 0.
Correction du devoir maison no 2
par comparaison série-intégrale pour n ? 2 fixé
Intégrales impropres
t2 + 3t ln cos. 1 t sin2. 1 ln t dt converge ? Le point incertain est +?. Pour répondre à la question calculons un équivalent de la fonction au voisinage de +
Khâgne B/L Correction Exercices Chapitre 10 - Intégrales impropres
2. 1. 3t dt = 1. 9 ln(3) . 7. Convergence de. ? +?. 0 te. ?t dt. La fonction t ?? te?t est continue sur [0+?[
Primitives et intégration
1 x et f(x) = ln
Intégrales convergentes
May 9 2012 t?1(ln(t))?2 dt
Analyse S4
t) y(k)(1/t) pour k = 12 et 3 (1.5 pts). (b) Montrer qu'une primitive de 1/tln(t) est ln(ln(t)) pour t > 1 (0.5 pts). En déduire que. F(2) diverge (0.5 ...
Calculus with Parametric curves
Calculus with Parametric curves (textbook 10 2 7)Find an equation of the tangent line to the parametric curvex= 1 + lnt =t2+ 2 (t >0) at the point (1;3) by two methods: a) without eliminating the parameter and b)by rst eliminating the parameter We are at the point (1;3) whent= 1 as 1 + lnt= 1 only whent = 1 and at this timet2+ 2 = 3 We have
Math 314 Lecture 145: The Chain Rule Theorem
1+x 2+y2 1 t + y p 1+x2 +y (?sint) = (lnt)(1/t) p 1+(lnt) 2+(cost) + ?costsint p 1+(lnt)2 +(cost)2 which is the same thing as the “direct” calculation Theorem Suppose z = f(xy) is di?erentiable If x = g(st) and y = h(st) are di?erentiable functions then ?z ?s = ?z ?x ?x ?s + ?z ?y ?y ?s ?z ?t = ?z
Math 214 Solutions to Assignment 8 - UAlberta
42 Find equations of the normal plane and osculating plane of the curve x = t; y = t2; z = t3 at the point (1;1;1) Solution At (1;1;1) t = 1 r(t) = ht;t2;t3i and r0(t) = h1;2t;3t2i The normal plane is determined by the vectors B and N so a normal vector is the unit tangent vector T (or r0 Now T(1) = r0(1) jr0(1)j = h1;2;3i p 1+4+9 = 1 p
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Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 10 - Integrales impropres10.1Determiner si les integrales suivantes sont convergentes, et le cas echeant, calculer leur valeur :
1. Z +1 0 etdt. 2. Z 10dtp1t
3.Z +11t(1 +t2)2dt
4. Z 0 1 tet2dt5. Z +1 0 1dt 6. Z +1 213tdt 7. Z +1 0 tetdt 8. Z +1
0dt1 +t21.Con vergenced e
Z +1 0 etdt.La fonctiont7!etest continue sur [0;+1[, on a donc a priori uniquement un probleme en +1.Soitx >0. AlorsZx
0 etdt= et x 0 =ex+e0= 1ex!x!+11L'integrale
Z +1 0 etdtest donc convergente et on a :Z +1 0 etdt= 1. 2.Con vergenced e
Z 10dtp1tLa fonctiont7!1p1test continue sur [0;1[, on a donc a priori uniquement un probleme en 1.
Soitx2[0;1[. Alors
Z x0dtp1t=2Z
x 012 p1tdt=2p1t x 0 =2p1xp1 = 2p1x!x!12L'integrale
Z 10dtp1test donc convergente et on a :Z
10dtp1t= 2.
3.Con vergenced e
Z +11t(1 +t2)2dtLa fonctiont7!t(1 +t2)2est continue sur [1;+1[, on a donc a priori uniquement un probleme en +1.
Soitx>1. Alors
Z x1t(1 +t2)2dt=12
Z x12t(1 +t2)2dt=12
11 +t2
x 1 =12(1 +x2)+14 !x!+114L'integrale
Z +11t(1 +t2)2dtest donc convergente et on a :Z
+11t(1 +t2)2dt=14
2011-2012 Lycee du Parc 1/16
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 10 - Integrales impropres4.Con vergenced e Z 0 1 tet2dtLa fonctiont7!tet2est continue sur ] 1;0], on a donc a priori uniquement un probleme en1.Soitx2] 1;0]. Alors
Z 0 x tet2dt=12 Z 0 x (2t)et2dt= 12 et20 x =12 +12 ex2!x!112L'integrale
Z 0 1 tet2dtest donc convergente et on a :Z 0 1 tet2dt=12 5.Con vergenced e
Z +1 01dtLa fonctiont7!1 est continue sur [0;+1[, on a donc a priori uniquement un probleme en +1.
Soitx>0. AlorsZx
0 1dt= t x 0 =x!x!+1+1L'integrale
Z +1 01dtest donc divergente.
6.Con vergenced e
Z +1 213tdtLa fonctiont7!13 t=1e tln(3)=etln(3)est continue sur [2;+1[, on a donc a priori uniquement un probleme en +1.
Soitx>2. Alors
Z x 213tdt=1ln(3) Z x 2 (ln(3))etln(3)dt=1ln(3) e tln(3) x 2 exln(3)e2ln(3)ln(3) x!+1e
2ln(3)ln(3)
L'integrale
Z +1 213tdtest donc convergente et on a :Z +1 213
tdt=19ln(3) 7.
Con vergenced e
Z +1 0 tetdtLa fonctiont7!tetest continue sur [0;+1[, on a donc a priori uniquement un probleme en +1.Soitx >0. CalculonsZ
x 0 tetdt.On pose
u(t) =t v0(t) =etetu0(t) = 1
v(t) =et. Les fonctionsuetvetant de classeC1sur [0;x], on peut faire une integration par parties : Z x 0 tetdt= tet x 0 Z x 0 etdt=xex+ et x 0 =xe xex+ 1!x!+11L'integrale
Z +1 0 tetdtest donc convergente et on a :Z +1 0 tetdt= 1.2011-2012 Lycee du Parc 2/16
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 10 - Integrales impropres8.Con vergenced e Z +10dt1 +t2La fonctiont7!11 +t2est continue sur [0;+1[, on a donc a priori uniquement un probleme en +1.
Soitx >0. Alors :Zx
011 +t2dt=
Arctan(t)
x 0 = Arctan(x)!x!+12L'integrale
Z +10dt1 +t2est donc convergente et on a :Z
+10dt1 +t2=2
.10.2Determiner si les integrales suivantes sont convergentes : 1. Z +10r2t+ 35t3+ 3t2+ 7dt
2. Z +1 0t5t2+ 4t+ 4dt
3. Z +10ln(t)t
2+ 1dt
4. Z +1 0 et2dt5. Z +102 + ln(t)t+ 4dt
6. Z 2 11t 2tdt 7. Z +10sin(t)t
2dt. 8. Z 1 01pt3+ 3t2+tdt9.
Z +1 1 ln 1 +1t 2 dt 10. Z +11ln(t)t
2dt. 11. Z 10ln(t)t1dt.
12. Z +10cos(t)pe
t1dt1.Con vergenced e Z +10r2t+ 35t3+ 3t2+ 7dtLa fonctionu:t7!5t3+ 3t2+ 7 est continue et derivable sur [0;+1[ (fonction polyn^omiale) et8t>
0; u0(t) = 15t2+ 6t= 3t(5t+ 2)>0. La fonctionuest donc croissante et puisqueu(0) = 7, elle est
strictement positive sur [0;+1[ et ne s'annule donc jamais sur [0;+1[.La fonctionf:t7!r2t+ 35t3+ 3t2+ 7est donc continue et positive sur [0;+1[ comme composee de fonctions
continues. Il y a a priori uniquement un probleme en +1.Or;2t+ 35t3+ 3t2+ 7t!+12t5t3=25t2
donc f(t) =r2t+ 35t3+ 3t2+ 7t!+1r2 5 1t Donc par le theoreme d'equivalence des fonctions positives, les integralesR+11f(t)dtetR+1
11t dtsont de m^eme nature. Or,Z +1 1dtt diverge (Integrale de Riemann). On en deduit donc que Z +1 1 f(t)dtdivergePuisque l'integrale
Z 1 0 f(t)dtconverge (integrale sur un segment d'une fonction continue) et queZ +1 1 f(t)dt diverge, on conclut que : Z+10r2t+ 35t3+ 3t2+ 7dtdiverge
2011-2012 Lycee du Parc 3/16
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 10 - Integrales impropres2.Con vergenced e Z +1 0t5t2+ 4t+ 4dtLa fonctionf:t7!t5t
2+4t+4=t5(t+2)2est continue sur [0;+1[.
Sur [5;+1[, la fonctionfest continue et positive, et on a f(t) =t5t2+ 4t+ 4t!+1tt
2=1tPuisque
Z +1 51tdtdiverge (Integrale de Riemann), on en deduit par le theoreme d'equivalence des fonc- tions positives que l'integrale Z +1 5 f(t)dtdiverge egalement.
Puisque l'integrale
Z 5 0 f(t)dtconverge (integrale sur un segment d'une fonction continue) et queZ +1 5 f(t)dt diverge, on conclut que : Z+1 0 f(t)dtdiverge 3.Con vergenced e
Z +10ln(t)t
2+ 1dtLa fonctionf:t7!ln(t)t
2+1est continue sur ]0;+1[. On a a priori un probleme en 0 et en +1.
Etude deZ
10ln(t)t
2+ 1dt.
La fonctionf:t7!ln(t)t
2+1est continue et negative sur ]0;1]. De plus,
f(t) =ln(t)t2+ 1t!0ln(t)1
= ln(t) et Zquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] integrale sin(t)/t^2
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