TD3: Intégrales Généralisées PDF

1 Intégrales généralisées

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TD3: Intégrales Généralisées

+1ln(cos(1/t)) dt converge (absolument). 8. DV t1/2 sin(t¡1/2)(ln(1 +t))¡1 1/lnt

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Math 314 Lecture 145: The Chain Rule Theorem

1+x 2+y2 1 t + y p 1+x2 +y (?sint) = (lnt)(1/t) p 1+(lnt) 2+(cost) + ?costsint p 1+(lnt)2 +(cost)2 which is the same thing as the “direct” calculation Theorem Suppose z = f(xy) is di?erentiable If x = g(st) and y = h(st) are di?erentiable functions then ?z ?s = ?z ?x ?x ?s + ?z ?y ?y ?s ?z ?t = ?z

Math 214 Solutions to Assignment 8 - UAlberta

42 Find equations of the normal plane and osculating plane of the curve x = t; y = t2; z = t3 at the point (1;1;1) Solution At (1;1;1) t = 1 r(t) = ht;t2;t3i and r0(t) = h1;2t;3t2i The normal plane is determined by the vectors B and N so a normal vector is the unit tangent vector T (or r0 Now T(1) = r0(1) jr0(1)j = h1;2;3i p 1+4+9 = 1 p

Past day

TD3:IntégralesGénéralisées

valeur: 1.?

0+∞cos(2t+1)dt,

2.?

01(1+t)-2lntdt,

3.?

0+∞(1+t2)-2dt,

4.?

1+∞(1+t)-2lntdt,

5.?

0+∞(t2-1)-1dt,

6.? 2. ε1 lnt (1+t)2dt=-lnt ε1 dt t(1+t)=-lnt

1+t+lnt-ln(1+t)?

???????t=ε1 tlnt

1+t-ln(1+t)?

???????t=ε1

Prendreε→0+,ona?

01(1+t)-2lntdt=-ln2.

3.Onremarqueque

0+∞dt

1+t2=t

1+t2??????t=0+∞

0+∞

t2t (1+t2)2dt=2?

0+∞dt

1+t2-?

0+∞dt

(1+t2)2? 1 Donc

0+∞dt

(1+t2)2=1 2?

0+∞dt

1+t2=π

44.Similaireàlaquestion2.

6.Toutd"abord,

1 (t-a)(b-t)?≂1 b-a⎷(t-a)-1/2quandt→a+ 1 (t-a)(b-t)?≂1 b-a⎷(b-t)-1/2quandt→b-

Doncl"intégraleconverge.

(t-a)(b-t)=?b-a 2?2 t-a+b 2?2 dt (t-a)(b-t)?=arcsin2t-a-b b-a+C f n(a)=?

0+∞dt

Solution.

parIPP, f n(a)=t +2n?

0+∞t2dt

(t2+a2)n+1=2n(fn(a)-a2fn+1(a)) 2 donc f n+1(a)=2n-1

2na2fn(a)

Deplus,f1(a)=?

Donc f n(a)=(2n-3)!!

2n|a|2n-1(n-1)!π

1.?

01t-2sintdt,

2.?

01(1-cost)(sint)-4dt,

3.?

01(et-1)|ln(1+t)|-1.5dt,

4.?

01((1+t)3.5-1)cottdt,

5.?

0+∞t(1+t2)-αlntdt,

6.?

12t-1(lnt)-3dt,

7.?

2/π+∞ln(cos(1/t))dt,

8.?

0+∞t1/2sin(t-1/2)(ln(1+t))-1dt,

9.?

0+∞x-1/2exp?-x2+x+1?dx,

10.?

0+∞t-αsintdt,

11.?

0+∞s-β((1+s)α-sα)ds,

12.? e

2+∞t-α(lnt)-β(lnlnt)-γdt,

13.?

0+∞sint2dt.

Solution.

1.DV,t-2sint≂t-1quandt→0.

1)cott=3.5.

Lessingularités:2/π,+∞.

Étudedet→2/π:

cos1 t=sin?π 2-1 t? =sinπ(t-2/π)

2t≂π2(t-2/π)

4donc ln? cos1 t? =ln? t-2 +lnπ2

4≂ln?

t-2

ParcritèredeBertrand,?

Étudedet→+∞:

cos1 t=1-1

2t2+O?1

t4? donc ln? cos1 t? =-1

2t2+O?1

t4? ≂-1

2t2ParcritèredeRiemann,?

estassezgrand.) x quandx→+∞. gralediverge. 4

01converge(absolument).

1ysintdtest

1+∞t-αcos2tdtconverge,mais?

1+∞t-αdtdiverge,doncl"integrale?

absolument. quand1<α<2,l"intégraleCVA.

Étudedes→0+:

01convergesiβ<α+1,

etdivergesinon.

01convergesiβ<1,etdiverge

sinon. grale? etDVsinon. 13.?

0+∞sint2dt=?

0+∞sinudu

2u⎷semi-convergeparlaquestion10.

T+∞t-1f(t)dt

convergesietseulementsi?

0Tf(t)dt=0.

Solution.OnnotelafonctionF(x)=?

T+∞t-1f(t)dtCV.

5 Si?

T+∞t-1f(t)dtCV,alorslasérie?

n=1∞andéfinieparan=? nT(n+1)Tt-1f(t)dtconverge. a n=? 0T 1 nT+tf(t)dt=1 nT? 0T f(t)dt-? 0T ?1 nT-1 nT+t? f(t)dt

Deplus,pourtoutréelt?[0,T],ona

nT-1 T?1 n-1 n+1?

Onnotem:=T-1?

0Tf(t)dtetM:=T-1?

0T|f(t)|dt,alors

???????an-1 nT? 0T f(t)dt? 0T ?1 nT-1 nT+t? n-1 n+1? (1)

Ducoup,pourtoutentierN?N?,prendre?

n=1Nsurlesinégalités(1),ona n=1N a n-m? n=1N 1 n=1N ?1 n-1 n+1? n=1N a n? n=1N 1 nOndéduitquem=0dufaitquelasérie? n anconvergeetlasérieàTGpositifs? n 1/n diverge.

0+∞f(x)dxconverge.

Montrerquelimx→+∞xf(x)=0.

yy+1f(t)dt

0+∞f(t)dt,onaf(x)≥0.

[a,b]?R≥0.Silesintégrales?

0+∞|f(x)|2dx,?

l"intégrale?

0+∞|f?(x)|2dxconverge.

0+∞|f(x)f??(x)|dx.

3.Afindeprouverque?

0E|f?(x)|2dx=?

telque?

0x(f(t)f??(t)+

(f?(t))2)dt] que?

0+∞|f(x)|2dxdiverge.Conclure.

7quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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TD3:IntégralesGénéralisées

0+∞cos(2t+1)dt,

01(1+t)-2lntdt,

0+∞(1+t2)-2dt,

1+∞(1+t)-2lntdt,

0+∞(t2-1)-1dt,

1+t+lnt-ln(1+t)?

1+t-ln(1+t)?

Prendreε→0+,ona?

01(1+t)-2lntdt=-ln2.

3.Onremarqueque

0+∞dt

1+t2=t

1+t2??????t=0+∞

0+∞

0+∞dt

1+t2-?

0+∞dt

0+∞dt

0+∞dt

1+t2=π

44.Similaireàlaquestion2.

6.Toutd"abord,

Doncl"intégraleconverge.

0+∞dt

Solution.

0+∞t2dt

2na2fn(a)

Deplus,f1(a)=?

2n|a|2n-1(n-1)!π

01t-2sintdt,

01(1-cost)(sint)-4dt,

01(et-1)|ln(1+t)|-1.5dt,

01((1+t)3.5-1)cottdt,

0+∞t(1+t2)-αlntdt,

12t-1(lnt)-3dt,

2/π+∞ln(cos(1/t))dt,

0+∞t1/2sin(t-1/2)(ln(1+t))-1dt,

0+∞x-1/2exp?-x2+x+1?dx,

0+∞t-αsintdt,

0+∞s-β((1+s)α-sα)ds,

2+∞t-α(lnt)-β(lnlnt)-γdt,

0+∞sint2dt.

Solution.

1.DV,t-2sint≂t-1quandt→0.

1)cott=3.5.

Lessingularités:2/π,+∞.

Étudedet→2/π:

2t≂π2(t-2/π)

4≂ln?

ParcritèredeBertrand,?

Étudedet→+∞:

2t2+O?1

2t2+O?1

2t2ParcritèredeRiemann,?

01converge(absolument).

1ysintdtest

1+∞t-αcos2tdtconverge,mais?

1+∞t-αdtdiverge,doncl"integrale?

Étudedes→0+:

01convergesiβ<α+1,

01convergesiβ<1,etdiverge

0+∞sint2dt=?

0+∞sinudu

2u⎷semi-convergeparlaquestion10.

T+∞t-1f(t)dt

0Tf(t)dt=0.

Solution.OnnotelafonctionF(x)=?

T+∞t-1f(t)dtCV.

T+∞t-1f(t)dtCV,alorslasérie?

Deplus,pourtoutréelt?[0,T],ona

Onnotem:=T-1?

0Tf(t)dtetM:=T-1?

0T|f(t)|dt,alors

Ducoup,pourtoutentierN?N?,prendre?

0+∞f(x)dxconverge.

Montrerquelimx→+∞xf(x)=0.

0+∞f(t)dt,onaf(x)≥0.

Étudedet→2/π:

Étudedet→+∞:

Étudedes→0+: