[PDF] Primitives et intégration 1 x et f(x) =

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HKBLhttps://molin-mathematiques.frPrimitives et intégration

1 Recherche de primitives simples

Exercice 1 (*)

Préciser siFest une primitive def.

1.F(x) =x+ 1etf(x) = 1

2.F(x) =x25x+ 3etf(x) =x5

3.F(x) =xxetf(x) = (lnx+ 1)xx

4.F(x) = 2x1etf(x) =x2x

5.F(x) =1x

etf(x) = lnjxj

Exercice 2 (*)

Trouver les primitives pour chacune des fonctions suiv- antes :

1.t7!e3t

2.t7!sint5

3.t7!t5+ 2t3t1

4.t7!(t1)(t+ 1)

5.t7!cos2(t) + sin2(t)

6.t7!cos2(t)sin2(t)7.t7!1pt

8.t7!ln(t+ 1)

9.t7!t(t2+ 1)n

10.t7!cosptpt

11.t7!sin(t)cos5(t)

Exercice 3 (*)

Trouver une primitive pour chacune des fonctions suiv- antes :

1.t7!tan(t)

2.t7!t+ 2t

2+ 4t

3.t7!t+ 2pt

2+ 4t

4.t7!te5t2

5.t7!sin(t)cos(t)6.t7!tt

25

7.t7!etete

t+ et

8.t7!tan2(t)

9.t7!sin(t)cos

3(t)

Exercice 4 (**)

Calculer

1. Z x 1ln 4tt dt 2. Z x

1dttlnt3.

Z x

0dtcos

2(t)ptan(t)

4. Z 4

01 + sin(x)cos

2(x)dx.Exercice 5 (***)

Calculer

1. Z x

1lnt1t

2dt 2. Z x

11t+pt

dt3. Z x 1 et1t + lnt dt 4. Z x

1tcos(t)sin(t)t

2dt

2 Intégrations par parties

Exercice 6 (*)

À l"aide d"intégrations par parties, calculer 1. Z 1 0 tetdt 2. Z e 1 t2lntdt 3. Z 1 0 arctan(t)dt 4. Z 12

0arcsin(t)dt

5. Z x 0 tcos(t)dt 6. Z 1

1t2+ 5t+ 6cos(2t)dt

Exercice 7 (**)

1.

Calculer la dériv éede t7!1tan(t):

2. En déduire, grâce à une in tégrationpar parties une primitiveZx 1tsin

2(t)dt:

Exercice 8 (***)

À l"aide d"intégrations par parties, calculer 1. Z 1 0 etcos(t)dt2.Z 1 0 tarctan(t)dt

3 Changements de variable

Exercice 9 (*)

En s"aidant à chaque fois d"un changement de variable, calculer les intégrales suivantes. 1. Z x eln(lnt)t dt 2. Z x 0 e2tcosetdt3. Z 4

0tan4(t) dtavec

u(t) = tan(t) HKBLhttps://molin-mathematiques.frExercice 10 (***)

Calculer

Z 2 3 tanu2 ln(1 + cos(u)) du

On pourra posert= tanu2

Exercice 11 (***)

SoientS=Z

2

0sin(t)sin(t) + cos(t)dt

etC=Z 2

0cos(t)sin(t) + cos(t)dt:

1. Mon trerque C=Sgrâce à un changement de vari- ables. 2. Que v autC+S. En déduire les valeurs deCet deS. 3.

En déduire

Z 1

0dtt+p1t2

(on pourra utiliser un changement de variable)

4 Primitives de fonctions circu-

laires

Exercice 12 (**)

Calculer

1.Z x 0 cos3(t)sin2(t)dt 2. Z x 0 cos3(t)sin(t)dt 3. Z x 0 cos3(t)sin4(2t)dt

5 Sommes de Riemann

Exercice 13 (*)

Donner un équivalent lorsquen!+1de

n X k=11n 2+k2:

Exercice 14 (**)

Donner un équivalent lorsquen!+1de

n Y k=1

1 +k2n

2 1n :6 Exercices simple d"intégration

Exercice 15 (*)

Soitf2C0([0;1];R).

Montrer que siZ

1 0 f=12 , alorsfadmet un point fixe.

Exercice 16 (**)

On définitfsurh

4 ;4 i par f(x) =Z x

0pcos2tdt

1.

Mon trerque fest impaire.

2.

Mon trerque 8x2h

0;4 i ; f(x)6x: 3. T racerl"allure de la courb ereprésen tativede f.

Exercice 17 (Dérivabilité)

Montrer que les fonctions suivantes sont dérivables et calculer leur dérivée.

1.x7!Z

x xdt1 +t4:2.x7!Z 2 0 xcos5(tx)dt:

Exercice 18 (**)

On définit la fonctionFpar

F(x) =Z

x

0dt3cos(t)

1. Étudier la parité et la dériv abilitéde F. 2.

Mon trerq ue8x2R;F(x+ 2) =F(x) +F(2).

3. (a) ( ***) En s"aidant du changement de variable u= tan(t=2), calculerF(x)sur];[. (b)

En déduire F(2).

(c)

Calculer F(x)pour toutx2R.

HKBLhttps://molin-mathematiques.fr7 Utilisation de la continuité

Exercice 19 (**)

Soit

F:x7!Z

x

0p1 + sintdt

1. Justifier la définition et la régularité de Fsur[0;]. 2.

Calculer

1F(x)pourx2[0;2

3.

Calculer F2

4. En utilis antun argumen tde symétrie, en déduire la valeur deF().

Exercice 20 (***)

Soitf2C0([a;b];R+).

Le but de cet exercice est de déterminer

lim n!+1 Zb a fn! 1n

On poseM= sup

[a;b]f. 1.

Justifier l"existence de M, et montrer queM2R+.

2.

Mon trerque 8n2N,

Zb a fn! 1n

6M(ba)1n

3.

Soit " >0.

(a)

Mon trerqu"il existe N12Ntel que,

8n > N1;

Zb a fn! 1n 6M+". (b)

Mon trerqu"il existe un in tervalleJ= [c;d], non

réduit à un point, inclus dans[a;b], tel que, pour toutt2J, on aitf(t)>M"2 4.

Conclure.

Exercice 21 (classique : l"inégalité de Cauchy-

Schwarz)

Soientf;g2C0([a;b];R), montrer que

Z b aquotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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