Loi exponentielle exercices corrigés. Document gratuit disponible
LOIS EXPONENTIELLES - EXERCICES. Exercice n°1 (correction). La durée de vie en heures
Probabilités – Loi exponentielle Exercices corrigés
Remarque préalable : Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliser des temps d'attente ou des durées de vie. Probabilités – Loi exponentielle.
Loi exponentielle de param`etre ? : Exercices Corrigés en vidéo
Déterminer une valeur approchée de P(X ? 500) `a 10?5 pr`es. La durée de vie T en année d'un appareil avant la premi`ere panne suit une loi exponentielle de
Exercices corrigés
Soit (XY ) un couple de variables aléatoires indépendantes. On suppose que X suit une loi uniforme sur [0
Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle
Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle. (page de l'énoncé/page du corrigé). • La compagnie d'autocars (Bac série S centres étrangers
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EXERCICE : Une usine produit des machines. La loi exponentielle est la loi suivie par la variable aléatoire T lorsque le taux ... Exercice 1 (corrigé).
CORRIGE DES EXERCICES – LOIS A DENSITE
Exercice 3 : Guyane 2015. Le temps d'attente en minutes à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre.
Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento
Loi exponentielle E(?) ? ?]0 ?[. ] Exercice 1. Lois binomiale et ... Exercice 2. Minimum et maximum d'une famille de variables aléatoires exponentielles.
Cours et exercices corrigés en probabilités
2.12 Exercices corrigés . 3.4.2 Loi exponentielle . ... Dans le deuxième et le troisième chapitre nous avons proposé des séries d'exercices corrigés.
Modèles de durée / Examen du 13 mai 2005 Corrigé Exercice n°1
Corrigé. Durée 2h – tous les documents sont autorisés. Exercice n°1 (loi exponentielle). Sous l'hypothèse d'une arrivée aléatoire des patients dans un
Leçon 10 Exercices corrigés - univ-toulousefr
Il contient 10 exercices corrigés intégralement classés par thèmes et/ou par niveaux La page JGCUAZ FR étant en constante évolution (ajout de nouveaux exercices améliorations) il est conseillé de régulièrement la visiter pour y télécharger la nouvelle version de ce fichier
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Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre (loi de durée de vie sans vieillissement) Exercice 3 : calcul de probabilité d’un événement avec la loi exponentielle Exercice 4 : calcul de
Corrigés des exercices sur la loi exponentielle Exemple 23 du
Exemple 23 du cours a La probabilité que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km est : 100 1 (50 6 D 6 100) = e? t 82 dt = h?e? 1 ti100 82 = ?e?100
Leçon 10 Exercices corrigés - univ-toulousefr
Exercice 1 Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( ; A; P) de loi exponentielle E(1) de paramètre 1 Décrire et représenter la fonction de répartition de la loi de la variable aléa- toire Z = min(X; 2)
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1 pendantes X suivant la loi uniforme U(0; ) sur l’intervalle [0; ] et Y la loi exponentielle E( ) de paramètre 0 Décrire la loi du couple (X; Y ) et calculer P(X ) Corrigé Comme X et Y sont indépendantes la loi du couple (X; Y ) est le produit des lois de X et Y à savoir la mesure
Modèles de durée / Examen du 13 mai 2005
Corrigé
Durée 2h - tous les documents sont autorisésExercice n°1 (loi exponentielle)
Sous l'hypothèse d'une arrivée aléatoire des patients dans un laboratoire d'analyses médicales,
le temps passé à attendre avant d'être pris en charge est distribué selon une loi exponentielle
de paramètre , ie telle que la fonction de hasard soit constante égale à1- Un patient a attendu 10 minutes. Donner la vraisemblance de cette observation, et la
représenter graphiquement en fonction du paramètre. On note T la v.a. qui mesure le temps d'attente, et t la réalisation de cette variable. Ici l'échantillon est réduit à une seule observation. La densité de probabilité de la loi exponentielle est t etf , donc la probabilité associée à l'échantillon est 111111 ,dtedtttTP t . La fonction de vraisemblance correspond à cette expression, lorsqu'on la considère comme une fonction de 1 t eV
Si l'on trace cette fonction en fonction de
, on trouve la forme caractéristique de la fonction de vraisemblance : une courbe avec un unique maximum :Vraisemblance en fonction de lambda
00,0050,010,0150,020,0250,030,0350,04
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
lambda vraisemblance L'estimation de au maximum de vraisemblance s'obtient en déterminant la valeur qui annule la dérivée de la vraisemblance, donc = 1/t 1 . L'estimateur de au maximum de vraisemblance est donc la variable 1/ T.2- A la fin de la journée, on tire au sort un échantillon de 10 patients parmi ceux de la
journée. Les temps d'attente observés sont (en minutes) : 1; 13; 4; 4; 3; 6; 23; 1; 16;3. Donner la vraisemblance de cet échantillon. Quelle est l'estimation naturelle du
temps moyen passé dans ce service ? La densité des observations est la fonction , que l'on peut calculer, sous l'hypothèse d'indépendance entre les 10 patients, comme le produit des 10 densités de probabilités individuelles. Il est ici plus simple de passer à la log vraisemblance pour calculer l'estimation de . On transforme ainsi un produit en une somme de terme. Finalement on a =n/(t 1 t n ), et l'estimateur du maximum de vraisemblance estT1 ou T est la v.a. qui donne la moyenne
empirique des observations. Le temps moyen passé dans le service est de 7,4 minutes.3- Dans un groupe de 10 patients tirés au hasard, le plus petit temps d'attente est de 10
minutes. Que peut-on dire de plus ? (vraisemblance, temps moyen d'attente ?) On se trouve en situation de censure au premier décès, donc la vraisemblance s'écrit : expexp!! 11nTnTnnL
Le passage au logarithme conduit à
lnlnln 1 nTnL, d'où 11nT ; le temps
moyen d'attente estimé est donc de 100 minutes ! Exercice n°2 (modèle à risques concurrents) Dans cet exercice on utilise la paramétrisation suivante des lois exponentielles et de Weibull : loi exponentielle : e th1, loi de Weibull : 1 ww tthOn considère pour modéliser le fonctionnement d'un appareil jusqu'à sa défaillance le modèle
de durée WET,min où les variables aléatoires E et W sont indépendantes, E suivant une loi exponentielle et W une loi de Weibull définies comme ci-dessus.1- Déterminez la fonction de hasard, la densité, et la fonction de survie de T.
La fonction de hasard s'écrit
1 1 wwe tth ce qui est la conséquence directe du fait que la fonction de survie de T est le produit des fonctions de survie de E et W : tWtEtWtEtWEtT !! ! !PrPr,Pr,minPrPrOn en déduit donc que
OO E weT tttSexp ; la densité s'obtient alors facilement en dérivant la fonction de survie (au signe près).2- On suppose 2 et on veut déterminer la probabilité que la défaillance provienne de
E ; montrez que
OOS OO ew ew erfcET 22Pravec f S xux dueexerfc 22
2 la fonction d'erreur complémentaire. On pourra conditionner par la durée exponentielle, puis faire le changement de variable w xy
On écrit
>@EETEETPrPr ; mais ^`EWET et donc on peut écrire : fOOquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6
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