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1. Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23. Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54. Les polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95. Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126. Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191. La structure d"espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Bases et dimension d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . .
53. Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74. Les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53. Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104. Trace d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155. Noyau et image d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156. Le rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177. Opérations matricielles par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211. Définition récursive du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Premières propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33. Les formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84. Formulation explicite du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 12Table des matières
5. Calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126. Calcul de l"inverse d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157. Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178. Annexe : rappels sur les groupes de symétries . . . . . . . . . . . . . .
189. Annexe : déterminants et formes multilinéaires alternées . . . . . . . .
201. Équations d"évolution linéaire couplées . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Le découplage de système d"équations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53. La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . .
84. Marches sur un graphe et diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . .
115. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Valeurs propres et espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53. Calcul des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94. Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131. Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93. Une obstruction au caractère diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . .
124. Caractérisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . .
155. Matrices diagonalisables : premières applications . . . . . . . . . . . .
176. Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . .
207. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Polynômes de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33. Le lemme de décomposition en noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . .
64. Le polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115. Le théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146. Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33. Les espaces spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44. Décomposition spectrale géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7Table des matières1
5. Décomposition spectrale algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106. Calcul de la décomposition spectrale algébrique . . . . . . . . . . . . .
157. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181. Calcul des puissances d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71. Les suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. La suite de Fibonacci (1202) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33. Dynamique de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . .
22. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Sommaire1. Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12. Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23. Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54. Les polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95. Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126. Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 Ce chapitre contient peu de démonstrations, son rôle est de fixer les notations et de
rappeler les structures algébriques fondamentales, ainsi que les principaux résultats al- gébriques que nous utiliserons dans ce cours. Nous renvoyons le lecteur au cours de première année pour tout approfondissement.§1 Ensembles et applications
0.1.1.Applications.-SoientAetBdeux ensembles. Uneapplication fdeAdansB
est un procédé qui à tout élementxdeAassocie un élément unique deB, notéf(x). On
notef:A!B, ouAf!B, ou encore f:A!B x!f(x):On notef(A)l"image de l"ensembleA, définie par
f(A) =fyjy2B;9x2A;tel quey=f(x)g: 12CHAPITRE 0. PRÉLIMINAIRES ALGÉBRIQUES
L"image inverse d"un sous-ensembleYBest définie par f1(Y) =fxjx2A;f(x)2Yg:
Une applicationf:A!Best diteinjectivesi,f(x) =f(y)impliquex=y. Elle est ditesurjectivesif(A) =B,i.e., pour touty2B, il existe unx2Atel quey=f(x). Une application est ditebijectivesi elle est à la fois injective et surjective. Sif:A!Betg:B!Csont deux applications, on notegf, ou encoregf, l"application, ditecomposée, définie par gf:A!C x!g(f(x)): La composée des applications est une opération associative, i.e., étant données trois applicationsAf!Bg!Ch!D, on a h(gf) = (hg)f:0.1.2.Quelques ensembles fondamentaux de nombres.-Dans tout ce cours, nous
supposons connus les ensembles de nombres suivants et les opérations d"addition, de soustraction, de multiplication et de division sur ces ensembles : ?l"ensemble des entiers naturels, 0, 1, 2,:::, notéN, ?l"ensemble des entiers relatifs, notéZ, formé des entiers naturels et de leurs opposés, ?l"ensemble des rationnels, notéQ, formé des quotientspq , oùpetqsont des entiers relatifs, avecqnon nul, ?l"ensemble des réels, notéR, qui contient les nombres rationnels et les irrationnels, ?l"ensemble des complexes, notéC, formé des nombresa+ib, oùaetbsont des réels etiun complexe vérifianti2=1.Sipetqsont deux entiers relatifs, on notera
Jp;qK=fa2Zjp6a6qg:
§2 Les corps
Uncorpsest un objet algébrique constitué d"un ensemble et de deux opérations sur cet ensemble, une addition et une multiplication, qui satisfont à certaines relations. Intu- itivement, cette structure est proche de notre intuition de nombres et des opérations quequotesdbs_dbs49.pdfusesText_49[PDF] application linéaire définition
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