Feuille dexercices no 6

Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est

Applications linéaires matrices

http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=exomaths:exercices_corriges_application_lineaire_et_determinants.pdf

Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est

Matrice dune application linéaire

Vérifier que P est inversible et calculer P?1. Quelle relation lie A B

PCSI1-PCSI2 Corrigé du DS 9 2014-2015 Problème 1 Introduction

Soit P une matrice inversible de Mn(R) : montrer que la matrice PL1AP possède pour tout üx ? F û(üx) := u(üx)

fic00056.pdf

et trouver une matrice P inversible telle que A = PBP?1. 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B (justifier). 5. Calculer expB. Correction ?.

Corrigé TD 3 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016 - S.O.S. MATH

Calculer de deux façons la matrice inverse de B puis de A. Première méthode pour B : avec la matrice adjointe. On peut donc utiliser la formule : 1 det

Réduction

Pour f élément de E ?(f) est l'application définie par : communes si et seulement si la matrice ?A(B) est inversible. Correction ?. [005678].

Feuille dexercices no 6 - Matrices

Si C = 0 et C = ?In alors d'après la question précédente C n'est pas inversible. Exercice 19 - Correction. (retour à l'exercice 19). On tente de résoudre les

1.4 Normes et conditionnement dune matrice

Corrigé détaillé en page 88. On note · une norme matricielle sur Mn(IR). Soit A ? Mn(IR) une matrice carrée inversible cond(A)

Correction du TD 6 Matrices inversibles et applications

1 Justi?er que P est une matrice inversible et déterminer son inverse 2 Véri?er l’égalité PAP?1 = D 3 Démontrer que ?n n ? N: PAnP?1 = Dn 4 En déduire la forme explicite de la matrice An pour tout entier naturel n Correction 1 La matrice P a pour déterminant det(P) = 2?3 = ?1 6= 0 donc P est inversible et P

Chapitre 3bis : Applications linéaires et Matrices

Calculer la matrice associée à l’application linéaire f +g relativement à la base canonique de 2 Réponse 4 2 Multiplication par un scalaire Proposition : Soit f:E?F une application linéaire ayant M pour matrice associée relativement aux bases BE et BF Soit ?? alors l’application linéaire ?f a pour matrice associée ?M

Corrigé TD 3 Chapitre 1 Semestre 2-2015/2016

1 Vérifier l'inversibilité des matrices suivantes : A=(1 1 1 1 2 ?1 1 3 2) et B=(2 2 3 4) Les matrices sont inversibles si leur déterminant est non nul det(A)= 1 1 1 1 2 ?1 1 3 2 Appliquons : C2 C2-C1 : det(A)= 1 0 1 1 1 ?1 1 2 2 puis C3 C3-C1 : det(A)= 1 0 0 1 1 ?2 1 2 1 =(?1)1+1×1×1 ?2 2 1=1+4=5?0 Ainsi A

Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Feuille d"exercices n o6 - Matrices1 Calcul matriciel, produit de matrices, puissances de matrices carrées Exercice 1. (pour s"exercer à la maison)(Voir la correction ici)

On considère les matricesA=?1 3

2 5? , B=?2 2 0 4? etC=?2 0 7-4? CalculerA+B,2A-B,AB,BA,tBtA(vérifier l"égalité), puis3(A-2B) + 2(3B+C)-(2A+C).Exercice 2.

Les matricesAetBsont celles de l"exercice1 . Résoudre les équations suivantes d"inconnueX? M2(R):

1.A-3X= 2B.

2.3X+ 2B= 5X+A.Exercice 3.

Effectuer tous les produits possibles de deux des matrices suivantes :

A=?2 1

3 2?

B=?1-1

1 2?

C=?1 2 0

3 1 4?

D=( (-1-1 0 1 4-1

2 1 2)

)X=?1 2? Y=( (1 2 3) )Exercice 4. On reprend les matrices de l"exercice précédent. 1.

Donner

tA,tC,tXettY. 2.

Calculer

tXA,tY D,tXXetXtXExercice 5.

Calculer, lorsque c"est possible,ABetBA.

1.A=?3 0

1-2? etB=( (1 2 0-1 5 8) 2.A=? -1 0 2? etB=( (3 -2 1) )3.A=( (3 1 0 1-1 0

0 0 3)

)etB=tA 4.A=( (1 2 3 2 3 1

3 1 2)

)etB=( (1 1 1 1 2 1

1 1 3)

)Exercice 6.(Voir la correction ici)

0sii+jest impair

1. (*) Écrire la matrice M. (Demandez l"indication si vous n"y arrivez pas) 2.

Calculer M2,M3,M4.

Conjecturer la fo rmede Mnpuis démontrer le résultat par récurrence.Exercice 7.(Voir la correction ici)

Déterminez les matrices triangulaires supérieuresTtelles queT2=I2.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Exercice 8.

SoientA,B? Mn(R). Développer et simplifier :

1.S= (2A)(3B)-(A+ 2B)2+ (A-B)(A+B)

2.T= (A+B)(2A2-2B)-2A2(A+B) + (-A+B)2.Exercice 9.

SoitA=(

(5 2 1 0 5 2

0 0 5)

1. Déterminer la matrice Bet le réelatels queA=aI3+B. 2.

Calculer B3.

3. En déduire la fo rmegénérale d eAnen fonction deI3,BetB2. Reprendre la même démarche pour déterminer les puissances deA=( (2 0 0 -1 2 0

3 1 2)

).Exercice 10.

SoitJ? M3(R)telle que?i,j?J1,3K,Ji,j= 1.

Écrire Jet vérifier queJ2= 3J.

Écrire les matrices suivante ssous la fo rmeA=aI3+bJet à l"aide du binôme de Newton, calculerAn

pour toutn?N. (a)A=( (3 1 1 1 3 1

1 1 3)

)(b)A=( (1-2-2 -2 1-2 -2-2 1) )(c)A=( (-3-1-1 -1-3-1 -1-1-3) )Exercice 11.

Calculez pour tout entiern,AnoùA=(

(2 2 2 2 2 2

2 2 2)

)Exercice 12.(?)Une généralisation de l"exercice10 (Voir la correction ici)

Soitn?N?etJ? Mn(R)telle que?i,j?J1,nK,Ji,j= 1.

Déterminer J2

2. En déduire une exp ressionde Jmpour tout entierm≥1.Exercice 13.

SoientAetXdeux matrices deMn(K).

Montrer que la matrice

tAAest symétrique. 2. Montrer que si Xest symétrique, alorstAX+XAest symétrique. 3. Montrer que si Xest antisymétrique, alorstAX+XAest antisymétrique.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o62 Matrices inversibles, inverse d"une matrice

Exercice 14.

Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, pour les matrices de taille2qui le sont, déterminer leur

inverse et vérifier votre calcul en calculantAA-1.

1.A=?1 2

3 4?

2.A=?0-1

1 0?

3.A=?1-2

2-4?4.A=?2-1

-3 2? 5.A=( (((1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4)

)))6.A=( (1 2 4 0 0 5

0 0 7)

7.A=( (1 14 6 0 7 0

0 0 8)

(8 0 0

33 2 0

-12 2-3) )Exercice 15. Montrer queAest inversible et déterminer son inverse en fonction des puissances deAetIn.

1.A2+ 3A-2In= 02.A2+ 6A+ 8In= 03.A12+In= 04.A3-4A2+3In= 0Exercice 16.(Voir la correction ici)

SoitA=(

(0 1 0 -1 2 0

1 0-1)

1. Montrez que A3-A2-A+I3= 0et déduisez en queAest inversible et donnezA-1. 2. V érifiezpa run calcul que la matrice A-1trouvée est bien l"inverse deA.Exercice 17. 1.

Soit A=(

(1 2 3 1-1 1 -2 1 1) (a)

Montrer que A3-A2+ 2A+ 11I3= 0.

(b) En déduire que Aest inversible et déterminer son inverse. 2. soit A= (ai,j)? M4(R)la matrice carrée définie parai,j=?0sii=j

1sinon

(a) Quelle est la matrice A+I4? Calculer alors(A+I4)2. (b) En déduire que Aest inversible et déterminer son inverse. 3.

Soit A=(

(5-2 1 -2 2 2

1 2 5)

).Montrer queA2= 6A. En déduire queAn"est pas inversible.Exercice 18. 1. Soient AetBdeux matrices deMn(K)telles queAB= 0. Montrer que niA, niBn"est inversible. 2. Soit Cune matrice telle queC2+C= 0,Cest-elle inversible?ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Exercice 19.(Voir la correction ici)

Montrez que les matricesA=(

(3-2 1 1 0 1

2-2 0)

)etB=( (((1-1 2-2

0 0 1-1

1-1 1 0

1-1 1 0)

)))ne sont pas inversibles.3 Exercices d"entrainement et d"approfondissement

Exercice 20.

On note(un)et(vn)les suites définies paru0= 2,v0= 1et : ?u n+1=un+ 8vn v n+1= 2un+vn . Pour tout entiern≥0, on poseXn=?u n v n? 1.

V érifierque Xn+1=AXnavecA=?1 8

2 1? . En déduire un expression deXnen fonction deAet de X 0. 2.

On p oseP=?2-2

1 1? (a) Calculer P-1, puis vérifier queP-1APest une matrice diagonale que l"on noteraD. (b)

Démontrer que p ourtout entier n?N,An=PDnP-1.

(c) Calculer AnpuisXn. En déduire l"expression deunetvn.Exercice 21.(?) SoitA,B? Mn(R)tel queAB=A+B. Montrez queAetBcommutent.Exercice 22.(?)

Soitn?N?etU=(

((((u 1 u 2... u n) ))))etV=( ((((v 1 v 2... v n) ))))deux matrices deMn,1(C). 1.

Calculer

tUVetVtU 2.

On note λ=n?

k=0ukvk. Démontrer que(VtU)n=λn-1VtUExercice 23. (HHH)(Voir l"indication ici) a i,j=? ??-1sii < j

1sii=j

0sii > j.

Écrire la matrice A.

2. Démontrer que Aest inversible et déterminer son inverse.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Exercice 24. (HHH)(Voir l"indication ici) a i,j=?1sii?=j

0sii=j.

Écrire la matrice A.

Calculer A2, en déduire queAest inversible et déterminer son inverse.Exercice 25. (H)(Voir l"indication ici)

On considère la matriceA=?-1-2

3 4? et on noteIla matrice identité d"ordre2:I=?1 0 0 1? 1. Calculer A2, puis montrer qu"on peut l"exprimer en fonction deAet deI. 2. En déduire un p olynômeannulateur PdeA. On donneraPexplicitement. 3. En déduire que Aest inversible et exprimerA-1en fonction deAet deI. 4. Démontrer qu"il existe deux suites (an)et(bn), que l"on déterminera, telles que : ?n?N, An=anA+bnI. 5.

Démontrer que (an)est une suite linéaire d"ordre2. Puis donner son expression ainsi que celle de(bn).

En déduire l"exp ressionde Anen fonction deAet deI. Vérifiez si cette expression est aussi vraie pour

n=-1. 7.

Déterminer le reste de la division euclidienne de XnparP(X). Retrouvez alors l"expression deAndonnée

à la question6.

8.Application :On considère les suites(un)et(vn)définies paru0= 2etv0=-1et :

?n?N,?u n+1=-un-2vn v n+1= 3un+ 4vn. Déterminer l"expression de(un)et de(vn).ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o6Exercice 26. (HH)(Voir l"indication ici)

Pour tout réelt, on pose :

A(t) =(

(1-t-t0 -t1-t0 -t t1-2t)

On noteEl"ensemble des matrices de cette forme.

Donner A(1)et montrer queQ=(

(12 -12 0 12 12 0 12 12 0) )? E. 2.

Soient settdeux réels. Démontrez queA(s)A(t)? E. Déterminer le réelutel queA(s)A(t) =A(u).

En déduire queA(s)etA(t)commutent.

3. (a) T rouverune matrice X? M3,1(R)non nulle telle queQX= 0. En déduire queQn"est pas inversible. (b)

Montrer que si t?=12

,A(t)?GL3(R). 4.

Déterminer les ma tricesSdeEsolutions deS2=A?

-32 5.

On p oseJ=A(-1).

(a)

Montrer qu"il e xisteune suite (tn)telle que :

?n?N, Jn=A(tn). (b) Déterminer alo rsune relation de récurrence entre tn+1ettn. (c) En déduire Jn, en donnant ses coefficients.ECS1 - Mathématiques Lycée Paul Valéry - 2019/2020 Mathématiques - ECS1 - Feuille d"exercices n o64 Indication Exercice 23 - Indication.(retour à l"exercice 23)quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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[PDF] Feuille dexercices no 6 - Matrices

On considère les matricesA=?1 3

1.A-3X= 2B.

2.3X+ 2B= 5X+A.Exercice 3.

A=?2 1

B=?1-1

C=?1 2 0

3 1 4?

2 1 2)

Donner

Calculer

Calculer, lorsque c"est possible,ABetBA.

1.A=?3 0

0 0 3)

3 1 2)

1 1 3)

0sii+jest impair

Calculer M2,M3,M4.

SoientA,B? Mn(R). Développer et simplifier :

1.S= (2A)(3B)-(A+ 2B)2+ (A-B)(A+B)

2.T= (A+B)(2A2-2B)-2A2(A+B) + (-A+B)2.Exercice 9.

SoitA=(

0 0 5)

Calculer B3.

3 1 2)

SoitJ? M3(R)telle que?i,j?J1,3K,Ji,j= 1.

Écrire Jet vérifier queJ2= 3J.

1 1 3)

Calculez pour tout entiern,AnoùA=(

2 2 2)

Soitn?N?etJ? Mn(R)telle que?i,j?J1,nK,Ji,j= 1.

Déterminer J2

SoientAetXdeux matrices deMn(K).

Montrer que la matrice

Exercice 14.

1.A=?1 2

2.A=?0-1

3.A=?1-2

2-4?4.A=?2-1

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4)

0 0 7)

0 0 8)

33 2 0

1.A2+ 3A-2In= 02.A2+ 6A+ 8In= 03.A12+In= 04.A3-4A2+3In= 0Exercice 16.(Voir la correction ici)

SoitA=(

1 0-1)

Soit A=(

Montrer que A3-A2+ 2A+ 11I3= 0.

1sinon

Soit A=(

1 2 5)

Montrez que les matricesA=(

2-2 0)

0 0 1-1

1-1 1 0

1-1 1 0)

Exercice 20.

V érifierque Xn+1=AXnavecA=?1 8

On p oseP=?2-2

Démontrer que p ourtout entier n?N,An=PDnP-1.

Soitn?N?etU=(

Calculer

On note λ=n?

1sii=j

0sii > j.

Écrire la matrice A.

0sii=j.

Écrire la matrice A.

On considère la matriceA=?-1-2

à la question6.

8.Application :On considère les suites(un)et(vn)définies paru0= 2etv0=-1et :

Pour tout réelt, on pose :

A(t) =(

On noteEl"ensemble des matrices de cette forme.

Donner A(1)et montrer queQ=(

En déduire queA(s)etA(t)commutent.

Montrer que si t?=12

Déterminer les ma tricesSdeEsolutions deS2=A?