AO 102 Systèmes Dynamiques PDF des systèmes dynamiques ré

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Équations différentielles. Feuille 3 Equations et systèmes linéaires. P. Systèmes linéaires à coefficients constants. Exercice 1.

Exercices corrigés -Systèmes différentiels linéaires - résolution

16 déc. 2019 Exercice 1 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une ... résoudre ce système différentiel. Indication. Corrigé. Exercice 2.

Équations di érentielles linéaires vectorielles

x = 2x ? y + 2z y = 10x ? 5y + 7z z = 4x ? 2y + 2z. Exercice 28 [ 02902 ] [Correction]. Résoudre le système différentiel linéaire.

Exercices du chapitre 6 avec corrigé succinct

Exercice VI.7 Ch6-Exercice7. Résoudre le système différentiel x (t) = Ax(t) avec A = ( 1 ?1. 2 4. ) . Solution : On calcule les valeurs propres de A

Exercices corrigés sur les équations différentielles

Equations et systèmes linéaires à coefficients constants. 4. Equations linéaires du second ordre. 5. Equations non linéaires. 6. Systèmes différentiels. 7.

SystMmes différentiels. Rappels de cours et exercices Farid Ammar

Systèmes différentiels

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS. 1. CAS D'UNE MATRICE DIAGONALISABLE. 2. 1.2. Écriture matricielle. Un système différentiel linéaire homogène est un système

Sujet et corrigé de lexamen de systèmes différentiels de Mai 2014 Il

Exercice 1 Soit K > 0. Donner le portrait de phase de l'équation x (t) = x2(t)(1 ? Kx(t)) où x(t)

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Déterminer les points d'équilibre et leur type de stabilité puis esquisser un portrait de phase du système différentiel. Exercice 4.

AO 102 Systèmes Dynamiques

des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires leurs questions ou la rédaction de corrigés d'exercice et parmi eux tout par ...

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : EXERCICES CORRIGÉS Exer

Exercice 1 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique suivant l'axe système différentiel de la forme y?? ? ? x?? ? = z?? ? ? = =

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : EXERCICES CORRIGÉS

Exercice M1 Enoncé Résoudre explicitement les systèmes de deux équations différentielles suivants : 1 x' t =x t Cy t y' t =2 x t 2 x' t =2 x t K2 y t y' t = x t Ky t Solution Cet exercice ne présente aucune difficulté d'autant plus que les systèmes à étudier sont linéaires homogènes

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 1 Résoudre sur R les équations différentielles suivantes: 1 y0+2y=x2 (E 1) 2 y0+y=2sinx (E 2) 3 y0 y=(x+1)ex (E 3) 4 y0+y=x ex +cosx (E 4) Correction H Vidéo [006991] Exercice 2 Déterminer toutes les fonctions f : [0;1]!R dérivables telles que 8x 2[0;1]; f0(x)+ f(x)= f(0)+ f(1) Indication H Correction H Vidéo [006992

Exo7 - Cours de mathématiques

Avec cette notation matricielle le système différentiel (S) devient : X0(t) = AX(t) Résoudre le système linéaire X0= AX avec A 2M n(R) (ou A 2Mn(C)) une matrice constante c’est donc trouver X(t) dérivable (c’est-à-dire n fonctions x1(t) xn(t) dérivables) tel que X0(t) = AX(t) pour tout t 2R Remarque

AO 102

Systèmes Dynamiques

Stabilité et Commande

Cours et exercices corrigés

Édition 2017/2018

Frédéric JEAN

Table des matières

Avant-propos: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :V

1 Calcul différentiel: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :1

1.1 Applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 *Dérivées d"ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Et en dimension infinie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Équations différentielles linéaires autonomes: : : : : : : : : : : : : :43

2.1 Approche élémentaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Calcul de l"exponentielle de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Forme des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Comportement asymptotique des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Équations différentielles linéaires: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :77

3.1 Existence et unicité globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 La résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Quelques propriétés de la résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4 Équations affines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5 *Équations linéaires périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Théorie générale des équations différentielles: : : : : : : : : : : : :101

4.1 Existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Table des matières

4.2 Solutions maximales et durée de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3 Flots, portraits de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Linéarisation et perturbation du flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Stabilité des équilibres: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :139

5.1 Équilibres et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2 La stabilité par la linéarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3 Fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6 Commande des systèmes: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :167

6.1 Systèmes commandés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2 Linéarisation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3 Commandabilité (relation entrée/état) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.4 Observabilité (relation état/sortie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.5 Stabilisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A Espaces vectoriels normés et théorèmes du point fixe: : : : :199 A.1 Topologie des espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A.2 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

A.3 Théorèmes du Point Fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

A.4 Conséquence pour l"inversion locale et les fonctions implicites . 203 B Forme normale des systèmes commandables: : : : : : : : : : : : : :207 B.1 Équations différentielles scalaires d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . 207 B.2 Forme normale : casm= 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

B.3 Forme normale : cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

B.4 Démonstration du théorème 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Bibliographie: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :217

Index: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :219

Avant-propos

Les systèmes dynamiques sont les notions mathématiques qui permettent de modéliser des phénomènes évoluant dans le temps, ces phénomènes pouvant provenir de la physique, la mécanique, l"économie, la biologie, l"écologie, la chimie... Un système dynamique est constitué d"un espace de phases, l"espace des états possibles du phénomène convenablement paramétré, muni d"une loi d"évolution qui décrit la variation temporelle de l"état du système. Dans le cadre choisi ici, celui de lois déterministes en temps continu, cette loi d"évolution prend la forme d"une équation différentielle. La résolution explicite, ou même approchée, d"une équation différentielle est en général impossible, les méthodes numériques permettant seulement de calculer sur un intervalle de temps fini une solution correspondant à des conditions initiales données. La théorie vise donc plutôt une étude qualitative des phénomènes et cherche en particulier à en comprendre l"évolution à long terme. Ce polycopié a deux objectifs. Le premier est d"aborder l"étude générale des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires. L"accent est mis principalement sur la notion de stabilité dont l"importance, pour de nombreux problèmes pratiques, est comparable à celle de la con- naissance effective des solutions. Le deuxième objectif est de présenter une introduction à la commande des systèmes dynamiques, c"est-à-dire à l"automatique. Il s"agit en particulier d"étudier, dans le cadre de l"automatique linéaire, les notions essentielles que sont la commandabilité, l"observabilité et la stabilisation. Chaque chapitre est constitué d"une part de notes de cours et d"autre part d"exercices suivis de leurs corrigés. Les deux parties sont d"égale importance. En effet, les notes de cours sont volontairement rédigées dans un style assez théorique, les exemples et les applications étant présentés dans les exercices.

Table des matières

Ceux-ci contiennent aussi beaucoup de méthodes classiques d"analyse des systèmes dynamiques ainsi qu"un certain nombre de résultats annexes. À quelques exceptions prés, les résultats sont accompagnés de leur preuve. Lorsque celle-ci n"est pas utile à la compréhension du cours ou est trop difficile, elle est précédée du symbole *. Le même traitement (symbole *) est appliqué aux parties les plus avancées du document, qui peuvent être ignorées lors d"une première lecture.

Le plan de cet ouvrage est le suivant.

Le chapitre 1 est consacré au calcul différentiel : application linéaire tan- gente, théorèmes d"inversion locale et des fonctions implicites... Ces con- cepts sont nécessaires pour la partie du cours qui concerne la linéarisation, mais leur utilité dépasse largement le cadre des équations différentielles. Après ce chapitre, une deuxième partie qui traite des équations différen- tielles ordinaires linéaires, autonomes dans un premier temps (chapitre 2), puis non autonomes (chapitre 3). Cette partie permet d"aborder dans un cadre plus simple des thèmes importants pour la suite : étude des portraits de phase et du comportement asymptotique des solutions, ainsi qu"exponentielle de matrice et résolvante, qui préfigurent la notion de flot. L"étude de la stabilité des équations différentielles ordinaires non linéaires fait l"objet d"une troisième partie. On commence par présenter au chapitre 4 les éléments fondamentaux de la théorie générale des équations différen- tielles, puis le chapitre 5 est consacré à l"étude de la stabilité des équilibres. On montre en particulier comment celle-ci peut se réduire dans certains cas à l"étude de la stabilité des équations différentielles ordinaires linéaires, à l"aide d"une technique dite de linéarisation. Enfin, le chapitre 6 présente une introduction à l"automatique. On y voit d"abord comment se ramener, par linéarisation à des systèmes commandés linéaires, puis on aborde, dans le cadre de l"automatique linéaire, les prob- lèmes de l"analyse du comportement dynamique d"un système et de la syn- thèse des lois de commande. Deux annexes viennent compléter cet ouvrage, l"une comprenant des rap- pels et précisions sur les espaces de Banach, l"autre traitant des équations différentielles d"ordre supérieur à un et de leur lien avec la notion de com- mandabilité. Il faut noter qu"une autre organisation de la lecture (ou de l"enseignement) est possible. Ainsi, ces deux dernières années, les séances de cours à l"ENSTA étaient répartis de la façon suivante : 1. calcul différentiel (chapitre 1), 2.

théorie générale des équations différentielles (sections 4.1, 4.2 et 4.3), 3. équa-

tions linéaires autonomes (chapitre 2), 4. linéarisation et équations linéaires VIquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Systèmes Dynamiques

Stabilité et Commande

Cours et exercices corrigés

Édition 2017/2018

Frédéric JEAN

Table des matières

1 Calcul différentiel: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :1

1.1 Applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 *Dérivées d"ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Et en dimension infinie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Équations différentielles linéaires autonomes: : : : : : : : : : : : : :43

2.1 Approche élémentaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Calcul de l"exponentielle de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Forme des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Comportement asymptotique des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Équations différentielles linéaires: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :77

3.1 Existence et unicité globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 La résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Quelques propriétés de la résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4 Équations affines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5 *Équations linéaires périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Théorie générale des équations différentielles: : : : : : : : : : : : :101

4.1 Existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Table des matières

4.2 Solutions maximales et durée de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3 Flots, portraits de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.4 Linéarisation et perturbation du flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Stabilité des équilibres: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :139

5.1 Équilibres et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.2 La stabilité par la linéarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3 Fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

6 Commande des systèmes: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :167

6.1 Systèmes commandés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

6.2 Linéarisation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6.3 Commandabilité (relation entrée/état) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.4 Observabilité (relation état/sortie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.5 Stabilisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

Avant-propos

Table des matières

Le plan de cet ouvrage est le suivant.