Exercices corrigés sur les équations différentielles PDF

Untitled

Équations différentielles. Feuille 3 Equations et systèmes linéaires. P. Systèmes linéaires à coefficients constants. Exercice 1.

Exercices corrigés -Systèmes différentiels linéaires - résolution

16 déc. 2019 Exercice 1 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une ... résoudre ce système différentiel. Indication. Corrigé. Exercice 2.

Équations di érentielles linéaires vectorielles

x = 2x ? y + 2z y = 10x ? 5y + 7z z = 4x ? 2y + 2z. Exercice 28 [ 02902 ] [Correction]. Résoudre le système différentiel linéaire.

Exercices du chapitre 6 avec corrigé succinct

Exercice VI.7 Ch6-Exercice7. Résoudre le système différentiel x (t) = Ax(t) avec A = ( 1 ?1. 2 4. ) . Solution : On calcule les valeurs propres de A

Exercices corrigés sur les équations différentielles

Equations et systèmes linéaires à coefficients constants. 4. Equations linéaires du second ordre. 5. Equations non linéaires. 6. Systèmes différentiels. 7.

SystMmes différentiels. Rappels de cours et exercices Farid Ammar

Systèmes différentiels

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS. 1. CAS D'UNE MATRICE DIAGONALISABLE. 2. 1.2. Écriture matricielle. Un système différentiel linéaire homogène est un système

Sujet et corrigé de lexamen de systèmes différentiels de Mai 2014 Il

Exercice 1 Soit K > 0. Donner le portrait de phase de l'équation x (t) = x2(t)(1 ? Kx(t)) où x(t)

Untitled

Déterminer les points d'équilibre et leur type de stabilité puis esquisser un portrait de phase du système différentiel. Exercice 4.

AO 102 Systèmes Dynamiques

des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires leurs questions ou la rédaction de corrigés d'exercice et parmi eux tout par ...

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : EXERCICES CORRIGÉS Exer

Exercice 1 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique suivant l'axe système différentiel de la forme y?? ? ? x?? ? = z?? ? ? = =

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : EXERCICES CORRIGÉS

Exercice M1 Enoncé Résoudre explicitement les systèmes de deux équations différentielles suivants : 1 x' t =x t Cy t y' t =2 x t 2 x' t =2 x t K2 y t y' t = x t Ky t Solution Cet exercice ne présente aucune difficulté d'autant plus que les systèmes à étudier sont linéaires homogènes

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 1 Résoudre sur R les équations différentielles suivantes: 1 y0+2y=x2 (E 1) 2 y0+y=2sinx (E 2) 3 y0 y=(x+1)ex (E 3) 4 y0+y=x ex +cosx (E 4) Correction H Vidéo [006991] Exercice 2 Déterminer toutes les fonctions f : [0;1]!R dérivables telles que 8x 2[0;1]; f0(x)+ f(x)= f(0)+ f(1) Indication H Correction H Vidéo [006992

Exo7 - Cours de mathématiques

Avec cette notation matricielle le système différentiel (S) devient : X0(t) = AX(t) Résoudre le système linéaire X0= AX avec A 2M n(R) (ou A 2Mn(C)) une matrice constante c’est donc trouver X(t) dérivable (c’est-à-dire n fonctions x1(t) xn(t) dérivables) tel que X0(t) = AX(t) pour tout t 2R Remarque

1 Exercices corrigés sur les équations différentielles

1. Les procédures Maple.

2. Equations linéaires d"ordre un.

3. Equations et systèmes linéaires à coefficients constants.

4. Equations linéaires du second ordre.

5. Equations non linéaires.

6. Systèmes différentiels.

7. Intégration par séries.

8. Equations fonctionnelles.

9. Applications géométriques.

Pierre-Jean Hormière

___________

1. Les procédures Maple

On résout les équations différentielles avec la commande " dsolve ». Taper : ? dsolve ; pour obtenir des informations sur cette commande. Le package Powseries permet de résoudre les équations par séries entières.

Le package DEtools permet de visualiser les champs de vecteurs associés et les courbes intégrales.

Ce package concerne aussi les équations aux dérivées partielles, sujet à peine effleuré en taupe.

On résout les équations aux dérivées partielles avec la commande " pdsolve ». > with(DEtools); Dchangevar GCRD LCLM MeijerGsols PDEchangecoords RiemannPsols, , , , , , Xchange Xcommutator Xgauge abelsol adjoint autonomous bernoullisol, , , , , , , buildsol buildsym canoni caseplot casesplit checkrank chinisol clairautsol, , , , , , , , constcoeffsols convertAlg convertsys dalembertsol dcoeffs de2diffop dfieldplot, , , , , , , eulersols exactsol expsols exterior_power firint firtestformal_sol gen_exp, , , , , , , , generate_ic genhomosol gensys hamilton_eqs hypergeomsols hyperode, , , , , , indicialeq infgen initialdata integrate_sols intfactor invariants kovacicsols, , , , , , , leftdivision liesol line_int linearsol matrixDE matrix_riccati maxdimsystems, , , , , , , odepde parametricsol phaseportrait poincare polysols ratsols redode, , , , , , , reduceOrder reduce_order regular_parts regularsp remove_RootOf, , , , , riccati_system riccatisol rifread rifsimp rightdivisionrtaylor separablesol, , , , , , , solve_group super_reduce symgen symmetric_power symmetric_product symtest, , , , , , Les exercices corrigés ci-après font grand usage de Maple.

22. Equations linéaires d"ordre 1

Exercice 1

: Résoudre l"équation x.( 1 - x ).y" + y = x. Solution : 1) C"est une équation différentielle linéaire scalaire d"ordre 1. On l"intègre séparément sur ]-¥, 0[, ]0, 1[ et ]1, +¥[.

Equation homogène

yy" = )1(1-xx = 11-x - x1 s"intègre en ln |y(x)| = ln |xx1-| + K . Finalement y = Cxx1-.

Equation avec second membre

. Faisons " varier la constante ». y(x) = C(x)

xx1- donne C"(x) = )²1(--xx, donc C(x) = ∫--)²1(.xdxx = -∫+duuu.²1 = 11-x - ln | x - 1 | + C.

x1[ 1 - ( x - 1 ) ln(1 - x) ] + Axx1- sur ]-¥, 0 [ y(x) =  x1[ 1 - ( x - 1 ) ln(1 - x) ] + Bxx1- sur ]0, 1[  x1[ 1 - ( x - 1 ) ln(x - 1) ] + Cxx1- sur ]1, +¥[

2) Etude des raccords.

Toutes les solutions sont continues en 1 et valent 1, mais elles ont en (1, 1) une dérivée infinie.

Etude en 0 : un développement limité donne

y(x) = xA-1 + A - 1 + 2x + o(x) en 0- , y(x) = xB-1 + B - 1 + 2x + o(x) en 0+ . La seule courbe continue correspond à A = B = 1. Alors y(x) =

2x + o(x) au V(0), donc y"(0) = ½.

Le raccord est dérivable. Il est même de classe C

1, car y"(x) = )1()(

xxxyx - ® 21 en 0.

Les autres courbes ont des asymptotes en 0.

3) Branches infinies

Quand x ® +¥, y(x) = - ln x + C + o(1).

Quand x ® -¥, y(x) = - ln(-x) + A + o(1).

4) Régionnements et lieux divers

L"isocline y" = 0 est la droite y = x.

Le régionnement y" > 0, y" < 0 est facile à trouver. Les points d"inflexion correspondent à y"" = 0 ; ils sont situés sur la droite 2y = x.

5) Etude de la séparatrice

: cherchons les solutions développables en série entière en 0.

Si y(x) =

∑nnxa est solution avec un rayon de convergence > 0, il vient, après identification : a

0 = 0 , 2a1 = 1 , (n + 1)an = (n - 1)an-1 donne finalement y(x) = ∑

+1)1(nnnnx. Rayon 1. y(x) = =1nn nx - ∑ +11nnnx = ... = 1 + )1ln(.1xxx--. On retrouve la solution correspondant à A = B = 1.

6) Avec Maple

> ed:=x*(1-x)*diff(y(x),x)+y(x)=x; a:=powsolve(ed,y(0)=0);tpsform(a,x,13); := aprocprocprocproc() ... end procend procend procend procpowparm 3 1 2x 1 6x 21
12x 31
20x 41
30x
51
42x
61
56x
71
72x
81
90x
91
110x
101
132x
111

156 + + + + + + + + + + +

12( )Ox13 +

dsolve(ed,y(x)); = ( )yx 1 - + 1x( )ln- + 1x _C1( )- + 1x x Exercice 2 : 1) Résoudre l"équation différentielle y" - y + x1 = 0 sur ]0, +¥[.

2) Montrer qu"il existe une unique solution bornée au V(+¥).

3) Montrer que toutes les solutions tendent vers +¥ en 0+. [ Centrale 2003, écrit ]

Solution : 1) Résolution. L"équation homogène a pour solution y = Cxe.

La variation des constantes : y(x) = C(x)

xe donne C"(x)xe + x1 = 0, donc C"(x) = -xe x-

Par conséquent, C(x) =

xtdtte. + A et y(x) = xe∫ xtdtte. + Axe.

2) La solution

y0(x) = xe∫ xtdtte. est bornée au V(+¥).

En effet, 0 < y

0(x) < xe

x∫ xtdte. = x1 ® 0. Les autres solutions tendent vers ±¥ en +¥.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] Exercices corrigés sur les équations différentielles