Exo7 - Cours de mathématiques PDF

Untitled

Équations différentielles. Feuille 3 Equations et systèmes linéaires. P. Systèmes linéaires à coefficients constants. Exercice 1.

Exercices corrigés -Systèmes différentiels linéaires - résolution

16 déc. 2019 Exercice 1 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une ... résoudre ce système différentiel. Indication. Corrigé. Exercice 2.

Équations di érentielles linéaires vectorielles

x = 2x ? y + 2z y = 10x ? 5y + 7z z = 4x ? 2y + 2z. Exercice 28 [ 02902 ] [Correction]. Résoudre le système différentiel linéaire.

Exercices du chapitre 6 avec corrigé succinct

Exercice VI.7 Ch6-Exercice7. Résoudre le système différentiel x (t) = Ax(t) avec A = ( 1 ?1. 2 4. ) . Solution : On calcule les valeurs propres de A

Exercices corrigés sur les équations différentielles

Equations et systèmes linéaires à coefficients constants. 4. Equations linéaires du second ordre. 5. Equations non linéaires. 6. Systèmes différentiels. 7.

SystMmes différentiels. Rappels de cours et exercices Farid Ammar

Systèmes différentiels

SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS. 1. CAS D'UNE MATRICE DIAGONALISABLE. 2. 1.2. Écriture matricielle. Un système différentiel linéaire homogène est un système

Sujet et corrigé de lexamen de systèmes différentiels de Mai 2014 Il

Exercice 1 Soit K > 0. Donner le portrait de phase de l'équation x (t) = x2(t)(1 ? Kx(t)) où x(t)

Untitled

Déterminer les points d'équilibre et leur type de stabilité puis esquisser un portrait de phase du système différentiel. Exercice 4.

AO 102 Systèmes Dynamiques

des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires leurs questions ou la rédaction de corrigés d'exercice et parmi eux tout par ...

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : EXERCICES CORRIGÉS Exer

Exercice 1 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique suivant l'axe système différentiel de la forme y?? ? ? x?? ? = z?? ? ? = =

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : EXERCICES CORRIGÉS

Exercice M1 Enoncé Résoudre explicitement les systèmes de deux équations différentielles suivants : 1 x' t =x t Cy t y' t =2 x t 2 x' t =2 x t K2 y t y' t = x t Ky t Solution Cet exercice ne présente aucune difficulté d'autant plus que les systèmes à étudier sont linéaires homogènes

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 1 Résoudre sur R les équations différentielles suivantes: 1 y0+2y=x2 (E 1) 2 y0+y=2sinx (E 2) 3 y0 y=(x+1)ex (E 3) 4 y0+y=x ex +cosx (E 4) Correction H Vidéo [006991] Exercice 2 Déterminer toutes les fonctions f : [0;1]!R dérivables telles que 8x 2[0;1]; f0(x)+ f(x)= f(0)+ f(1) Indication H Correction H Vidéo [006992

Exo7 - Cours de mathématiques

Avec cette notation matricielle le système différentiel (S) devient : X0(t) = AX(t) Résoudre le système linéaire X0= AX avec A 2M n(R) (ou A 2Mn(C)) une matrice constante c’est donc trouver X(t) dérivable (c’est-à-dire n fonctions x1(t) xn(t) dérivables) tel que X0(t) = AX(t) pour tout t 2R Remarque

Systèmes différentielsNous allons voir comment des méthodes d"algèbre linéaire permettent de résoudre des problèmes

d"analyse. Dans ce chapitre, les matrices sont à coefficients réels ou complexes.

1. Cas d"une matrice diagonalisable

1.1. Introduction

Vous savez résoudre les équations différentielles du typex0(t) =ax(t), où la dérivéex0(t)est liée

à la fonctionx(t). Par exemple, siaest une constante, les fonctions solutions sont lesx(t) =x0eat

(oùx02R). Plus généralement, on apprend à résoudre les équationsx0(t) =a(t)x(t)+b(t)oùa

etbsont des fonctions det. Dans tous les cas, l"exponentielle joue un rôle central dans l"écriture

des solutions. Considérons maintenant le système différentiel suivant :x0(t) =a x(t)+b y(t) y

0(t) =c x(t)+d y(t)(S)

La situation se complique car les équations sont enchevêtrées :x0(t)est liée àx(t), mais aussi

ày(t). Donc il faudrait d"abord trouvery(t)pour résoudre la première équation. Mais, dans la

seconde équation,y0(t)est liée ày(t), mais aussi àx(t), que l"on n"a pas encore su trouver!

Pour s"en sortir, la solution consiste à considérer le couple(x(t),y(t))comme une seule variable.

On pose

X(t) =x(t)

y(t) ,X0(t) =x0(t) y 0(t) ,A=a b c d Le système différentiel (S) s"écrit alors simplement : X

0(t) =AX(t).

On a alors envie de dire que, comme pour une équation du typex0(t) =ax(t), les solutions de ce type d"équation seraient les fonctions définies par

X(t) =etAX0

(oùX02R2) et ce sera effectivement le cas, une fois que l"on aura défini ce qu"est l"exponentielle

d"une matrice!

Pour l"instant, nous allons voir comment résoudre un système différentiel dans le cas particulier

où la matrice est diagonalisable. SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS1. CAS D"UNE MATRICE DIAGONALISABLE2

1.2. Écriture matricielleUnsystème différentiel linéaire homogèneest un système d"équations différentielles de la forme :8

:x 0

1(t) =a11x1(t)+a12x2(t)++a1nxn(t)

x 0 n(t) =an1x1(t)+an2x2(t)++annxn(t)(S) où lesaij(16i,j6n) sont des coefficients constants réels ou complexes.

On pose

X(t) =0

@x 1(t) x n(t)1 A ,X0(t) =0 @x 0 1(t) x 0 n(t)1 A ,A=0 @a

11a1n......

a n1ann1 A Avec cette notation matricielle, le système différentiel (S) devient :X

0(t) =AX(t).Résoudre

le système linéaireX0=AX, avecA2Mn(R)(ouA2Mn(C)) une matrice constante, c"est donc trouverX(t)dérivable (c"est-à-direnfonctionsx1(t),...,xn(t)dérivables) tel que

X0(t) =AX(t), pour toutt2R.

Remarque.

Dans le casn=1, on retrouve simplement une seule équation que l"on écritx0(t) =ax(t)et dont les solutions sont lesx(t) =x0eat, pour n"importe quelle constante (réelle ou complexe) x0. L"ensemble des solutions est un espace vectoriel. En effet, on prouve facilement que l"ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de l"ensemble des fonctions dérivables deRdans Rn: la fonction identiquement nulle est solution et, siX1etX2sont solutions, alorsX1+X2 est aussi solution (avec,2R).

Exemple 1(Système diagonal).

SiAest une matrice diagonale à coefficients réels, alors le système s"écritX0=AXavec A=0 B BB@ 100
0 ......0 00n1 C

CCA, c"est-à-dire8

:x 0

1(t) =1x1(t)

x 0 n(t) =nxn(t). On résout indépendamment chaque équationx0 i(t) =ixi(t), dont les solutions sont lesxi(t) = kieit,ki2R. Les solutionsX(t)sont donc les fonctions

X(t) =0

@kquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] Exo7 - Cours de mathématiques

1. Cas d"une matrice diagonalisable

1.1. Introduction

0(t) =c x(t)+d y(t)(S)

On pose

X(t) =x(t)

0(t) =AX(t).

X(t) =etAX0

1.2. Écriture matricielleUnsystème différentiel linéaire homogèneest un système d"équations différentielles de la forme :8

1(t) =a11x1(t)+a12x2(t)++a1nxn(t)

On pose

X(t) =0

11a1n......

0(t) =AX(t).Résoudre

X0(t) =AX(t), pour toutt2R.

Remarque.

Exemple 1(Système diagonal).

CCA, c"est-à-dire8

1(t) =1x1(t)

X(t) =0