[PDF] 5 points EXERCICE 4 (Pondichéry - 17/04/2015) Candidat nayant





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Géométrie dans lespace

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère (A ;. ???. AB ???. AD



Pondichery-avril-2015.

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère (A ; ? Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite ? .



La Réunion Bac juin 2003 On considère un cube ABCDEFGH d

On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1. Soit K le barycentre du système de points pondérés : {(M; a²) (B; 1)



5 points EXERCICE 4 (Pondichéry - 17/04/2015) Candidat nayant

17 avr. 2015 Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère (A ; ... 1. Voir la figure à la fin. 2. Déterminer les coordonnées des vecteurs ???.



Géométrie dans lespace - Lycée dAdultes

29 mai 2016 Exercice 1. Soit un cube ABCDEFGH et un plan (IJK) tel que : ... Soit un tétraèdre ABCD et un plan (EFG) ... ABCDEFGH est un cube d'arête 1.



S Amérique du Sud novembre 2017

4 points. On considère un cube ABCDEFGH. 1.a. Simplifier le vecteur ? Déterminer les coordonnées du point d'intersection K de la droite (AG) et du plan ...



Correction des exercices de bac

Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1. Dans le repère (A ;. ??. AB ??. AD



Spécialité Polynésie

Dans l'espace on considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur égale à 1. Soit d la droite orthogonale au plan (EGD) et passant par M.



Exercices dans lespace en tout genre Exercice 1 Soit le cube

Soit ABCDEFGH un cube d'arête de côté a . 1) Calculer AF en fonction de a. 2) Calculer le volume du tétraèdre AFHC. Exercice 4. Soit ABCDEFGH un pavé droit.



CORRECTION

doc/revbac/esp/esp



Ex4 ABCDEFGH est un cube d’arête de longueur 1

ABCDEFGH est un cube d’arête de longueur 1 et sont les milieux respectifs des arêtes et On se place dans le repère orthonormal ( ; ? ? ?) 1 Donner les coordonnées des points et (0 ;0 ;1 ); ( 05 ;1 ;0 ) On admet pour la suite que ( 1 ;0 ;1 ) ( 1 ; ?;1 ) et ? 1 ;0 ; ? ˆ 2



Le cube dans tous ses états - Université de Franche-Comté

ABCDEFGH est un cube d’arête a O est le centre de la face EFGH et I le milieu du segment [CG] 1) Faire une ?gure 2) Calculer en fonction de a a) ???? AO · ???? CG b) ???? AO · ??? GI Exercice23 On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur a (a réel strictement positif)



MATHEMATIQUES Orthogonalité et distances dans l’espace

Soit ABCDEFGH un cube d’arête 1 L’objectif de cet exercice est de calculer la longueur d’une des quatre grandes diagonales du cube a Montrer que la droite (GC) est orthogonale au plan (ABC) b En déduire la longueur de la grande diagonale [AG] A B E F C H G D



FICHE D’EXERCICES : CHAPITRE 7 ORTHOGONALITE

ABCDEFGH est un cube d'arête 1 a) Choisir un repère orthonormé de l'espace d'origine A b) Dans ce repère donner les coordonnées du vecteur DF????? c) Démontrer que la droite (DF) est orthogonale au plan (EBG) Exercice 20 L’espace est muni d’un repère orthonormé ABCD est un tétraèdre avec A(2;2;2)



Orthogonalité et distances dans l’espace – Exercices – Devoirs

Exercice 1 corrigé disponible Soit ABCDEFGH un cube 1 Montrer que (EF)?(BG) 2 En déduire que (EC)?(BG) 3 Prouver que la droite (EC) est perpendiculaire au plan (BDG) Indication : on pourra étudier la position de (BD) par rapport au plan (EAC) Exercice 2 corrigé disponible

Comment représenter un cube d’arête?

Une représentation possible de ce cube, d’arête , est obtenue à partir de celle d’un parallélépipède rectangle dont la face située dans un plan frontal, est un carré de côté , les arêtes perpendiculaires à cette face étant de longueur a.

Comment calculer l’arête d’un cube?

On peut aussi trouver la valeur de l’arête du cube qu’occupe la particule en utilisant V = l3 L = V1/3= 6.43*10-8 m ou 64.3 nm (cohérent avec la dimension des nanoparticules de ferrofluides de l’ordre de 10 nm).

Comment calculer l'arête de longueur d'un cube ?

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal (A,AB,AD,AE). On nomme I le milieu de [AB], J le milieu de [AD] et K le milieu de [CG]. 1. Donner les coordonnées des points I, J et K et prouver qu'ils dé?nissent un plan. Merci d'avance.

Comment le plan de symétrie intersecte les arêtes du cube ?

Le plan de symétrie intersecte les arêtes du cube en formant un hexagone régulier. Deux tétraèdres inscrits dans le cube, symétriques l'un de l'autre par la symétrie centrale Enfin, les huit sommets du cube peuvent se répartir en deux tétraèdres réguliers, symétriques l'un de l'autre par la symétrie centrale.

5 pointsEXERCICE4

Candidat

n"ayantpassuivil"enseignementdespécialitéSoit un cube ABCDEFGH d'arête ∞.

Dans le re?ère³

A ;??!AB ,??!AD ,?!AE´

, on considère les ?oints M, N et P de coordonnées res?ectives Mµ ∞ ; ∞ ;34 , Nµ ? ;∞2 , Pµ ∞ ; ? ;?54

1.Voir la gure à la n.

2.Déterminer les coordonnées des vecteurs??!MN et??!MP .??!MNµ

∞ ;?∞2 ;14 et ??!MP?? ;?∞ ;???. Les vecteurs??!MN et??!MP ne sont ?as colinéaires, les droites ?MN? et ?MP? ne sont ?as ?arallèles donc les ?oints M, N et P ne sont ?as alignés.

3. a.?∞??ŵ

?∞2 ???∞?ŵ∞4 ????AE∞2 ?∞2 AE? b.L'algorithme ∞ calcule le ?roduit scalaire??!MN???!MPAE?, donc les vecteurs sont orthogonaux donc les droites ?MN? et ?MP? sont ?er?endiculaires : le triangle MNP est donc rectangle en M. 4.

5. a.Sinest un vecteur normal au ?lan ?MNP? une équation de celui-ci est :

5x??yÅ

4zAEd, avecd2R;

N2?MNP?() ???∞2

Å4?∞AEdAE()?AEd

Une équation cartésienne du ?lan ?MNP? est donc 5x??yÅ4zAE?. b.On traduit la relation vectorielle :M?x;y;z?2Δ()??!FMAEt?!n,t2R soit8< :x?∞AE5t y??AE ??t z?∞AE4t()8 :xAE∞Å5t yAE ??t zAE∞Å4t

6. a.Les coordonnées de K vérient l'équation du ?lan et l'équation ?aramé-

trique deΔ, soit :8>>< >:5x??yÅ4zAE? xAE∞Å5t yAE ??t ∞?5tÅ9AE?()tAE?9105 ()tAE?335

D'oùxAE∞Å5?µ

?335

AE∞?37

AE47 ;35 yAE???µ ?33

AE?4;zAE∞Å4?µ

?33

AE∞?∞?35

AE?335

Donc F

µ47

;2435 2335
b.Puisque ?FK? est orthogonale au ?lan MNP, [FK] est hauteur du tétraèdre

MNPF, donc

V

MNPFAE∞

3?A?MNP?FK?.

Or MNP est rectangle en M, doncA?MNPAEMN?MP2

.MN ?AE∞Å4∞Å∞16

AE?∞16

)MNAEp ?∞4 MP ?AE∞Å4AE5 MPAEp 5;

DoncVAE∞3

?p ?∞4 ?∞2 ?p

5?r??35

AE∞24

?r?∞ 35???
?p 5AE ∞24 ?r?

5∞?p5AE924

AE38

ANNEXE à remettreavecla copie

E XERCICE 4: Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialitéA BC DE FG H PN M Algorithme ∞ Algorithme ? ?à com?léter? r endl av aleurxN¡xMd?r endl av aleurxN¡xMe? r endl av aleuryN¡yMe?r endl av aleuryN¡yMf? r endl av aleurzN¡zMf?r endl av aleurzN¡zMg? r endl av aleurxP¡xMg?r endl av aleurxP¡xM?? r endl av aleuryP¡yM??r endl av aleuryP¡yM?? r endl av aleurzP¡zM??r endl av aleurzP¡zMk? r endl av aleurd£gÅe£?Åf£?k?r endl av aleurd£gÅe£?Åf£?Afcherkl? r endl av aleurd?Åe?Åf?m? r endl av aleurg?Å??Å??SikAE? e ts ilAEmAfcher : " Le triangle MNP e st rectangle isocèle en M »Sinon Afcher : " Le triangle MNP n 'est pas rectangle ou n'est pas iso- cèle en M »

EXERCICE15 points

1. a)De I¡∞2

;? ; ?¢, J¡? ;∞2 ;∞¢et K¡∞ ;∞2 ;?¢, on déduit : ?!IJ¡?∞2 ;∞2 ;∞¢et?!JK?∞ ; ? ;?∞?.

D'autre ?art

FD??∞ ; ∞ ;?∞?et :??!FD??!IJAE∞2

Å∞2

Le vecteur

??!FD orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du ?lan ?IJK? est normal à ce ?lan. b)D'a?rès la question ?récédente :M?x;y;z?2?IJK?() ?xÅy?zÅ dAE?.

En ?articulier I2?IJK?() ?∞2

ÅdAE?()dAE∞2

D oncM?x;y;z?2?IJK?() ?xÅy?zÅ∞2

AE?()x?yÅz?∞2

AE?.

2.On aM?x;y;z?2?FD?()il existet2R, tel que??!FMAEt??!FD()8<

:x?∞AE ?t y??AEt z?∞AE ?t()8 :xAE∞?t yAEt zAE∞?t. tion de la droite et celle du ?lan soit :8>>>< :xAE∞?t yAEt zAE∞?t x?yÅz?∞2

AE?)∞?t?tÅ∞?t?∞2

AE?() ?3tÅ32

AE?() tAE∞2 D 'où les coordonnées deM¡∞2 ;∞2 ;∞2 4 .IJ?AE¡?∞2 ?Å¡∞2 ?Å∞?AE?4 ;de même IK?AE¡∞2 ?Å¡∞2 ?Å??AE?4 et JK?AE ?Å??Å∞?AE?. Or ?4

Å?4

AE?()IJ?ÅIK?AEJK?égalité qui montre d'a?rès la réci?roque du théorème de Pythagore que le triangle IJK est rectangle en I.

L'aire du triangle ?IJK? est donc égale à :

A?IJK?AE∞2

?IJ?IKAE∞2 ?p? 2 ?p? 2

AEp∞?

8 AEp3 4 5 .V?FIJK?AE∞3 ?A?IJK??FM.

FM?AE¡?∞2

?Å¡∞2 ?Å¡?∞2 ?AE34 )FMAEp3 2 D oncV?FIJK?AE∞3 ?p3 4 ?p3 2

AE∞8

6 .Vérions si L¡∞ ; ∞ ;∞2

¢a??artient au ?lan IJK :

∞?∞Å∞2 ?∞2 AE?estvraie, donclesquatrelointsI, J, KetLsont co?lanaires. Vérions si ?IJ? est ?arallèle à ?KL? :?!IJ¡?∞2 ;∞2 ;∞¢et?!KL¡? ;∞2 ;∞2

¢:ces deux vecteurs ne sont ?as colinéaires

donc les droites co?lanaires ?IJ? et ?KL? sont sécantes.

Exercice1PartieA

1.On ?eut utiliser ici le théorème de Thalès ?our ?rouver que¡¡!BUAE∞3

BSet ainsi construire le ?oint.

Pour cela considérons le triangleSOB.

Noussavons que?DU?est ?arallèle à?OB? carDetU?artagentlamême cote etOetBsont également de même cote. Nous savons également que ODOS

AE∞3

, là encore en raison de la cote deDetS. On en déduit, ?ar a??lication de l'antique théorème, que BUBS

AEODOS

AE∞3

2.Considérons les ?lans ?)UE?et ?BCS?. Ces ?lans sont sécants en la droite?UV?. Or, ?BC?, incluse dans

?BCS?, est ?arallèle à ?)E?, incluse dans ?)EU?; ?uisque)BCEest un carré.

Par a??lication du théorème du toit, on en déduit que ?UV? est ?arallèle à ?BC?. Cette dernière ?ro-

?riété ?ermet de construire le ?ointV.

3.Il nous faut ?rouver d'une ?art queKa??artient à ?)E? et d'autre ?art que ?KU? est ?er?endiculaire

à ?)E?.

On lit les coordonnées de)0

?1 A et celles deE0@? ?1A et on calcule ainsi¡!)E0@¡∞ ?1A .D'autre ?art on dé- termine

¡!)K0@¡∞6

¡∞6

?1A

On en déduit que

¡¡!)KAE∞6

¡¡!)E, ce qui ?rouve queKest un ?oint de [)E].

Déterminons les coordonnées deU. On a démontré dans la question ∞ que¡¡!BUAE∞3

BS, ce qui donne

un système ?ortant sur les coordonnées deU: 8>>>< >>:x u¡?AE∞3 (0¡?? y u¡∞AE∞3 (0¡∞? z uAE∞()8 >:x uAE? y uAE?3 zuAE∞ On ?eut maintenant déterminer les coordonnées de

¡¡!KU0

@¡56 56
∞1A On obtient ainsi, sachant que le re?ère est orthonormé :

¡¡!KU¢¡!)EAE¡56

£?¡∞?Å56

£?¡∞?Å∞£?AE?, ce

qui ?ermet de conclure. Le ?ointKest bien le ?ied de la hauteur issue deUdans le tra?èze)UV E.On pouvait également déterminer une équation paramétrique de (BS?

an de calculer les coordonnées deU.

Une telle méthode revient à chercher le réelttel que¡¡!BUAEt¡¡!BSavec la cote deU

égale à ∞.PartieB

1.Il suft de s'assurer que les ?oints),EetUvérient bien l'équation ?ro?osée.Pour le point), on a bien 3£∞¡3£?Å5£?¡3AE?.

De même ?our le ?ointE, il est clair que 3£?¡3£?¡∞?Å5£?¡3AE?. Et enn, ?our le ?ointU, on vérie mentalement que 3£?¡3£?

3Å5£∞¡3AE?.

Cette équation de ?lan convient donc.

2.Puisque l'on a muni l'es?ace d'un re?ère orthonormé, on déduit de l'équation cartésienne ?ro?osée

les coordonnées d'un vecteur normal au ?lan ?EAU?. Notons?!n0 @3 3 51A
ce vecteur. C'est unvecteur directeur de?d??uisque ?d?est orthogonaleau ?lan ?EAU?.À ?artir descoordonnées du ?ointSet de celles de ce vecteur, on en déduit une équation ?aramétrique de ?d? : 8< :xAE3t yAE ?3t zAE3Å5tt2R

3.Les coordonnées0@x

y z1 A de ce ?oint satisfont simultanément une équation ?aramétrique de ?d? ainsi qu'une équation cartésienne du ?lan ?EAU?. On cherche doncx,y,zetttels que : 8>>< :xAE3t yAE ?3t zAE3Å5t ?AE3x?3yÅ5z?3

À ?artir del'équation cartésienne du ?lan, en substituantx,yetzon en déduitle système équivalent :

8>>< :xAE3t yAE ?3t zAE3Å5t ?AE3?3t??3??3t?Å5?3Å5t??3 La dernièreéquation ?ermet de déterminertAE?∞?43 et, par suite, on peut déterminer les coordonnées deH0 @?3?43

364369

43
1 A

4.Le ?lan ?EAU?cou?e le ?yramideSABCEen un solideABUECVd'une ?art et une ?yramideSAUV E

d'autre ?art. Il nous faut donc déterminer si ces deux solides ont le même volume; ce qui revient à

déterminer si le volume de l'un des deux solides corres?ond à la moitié de celui deSABCE.

Or toutes les questions ?récédentes nous ont ?ermis de rassembler des éléments ?ermettant de cal-

culer le volume de la ?yramideSAUVE. Nous connaissons en effet l'aire de sa baseAAUVEAE5p43 18

Reste à calculer sa hauteurSH. On a ainsi :

SHAEsµ

3?43

ŵ3?43

3??943

AE ∞?p43 Le volume de la ?yramideSAUVEest doncVSAUVEAE∞3

AAUVE?SH, ce qui donne a?rès calcul :

V

SAUVEAE∞?9

Pour nir, déterminons le volume de la grande pyramideSABCE. On ?eut, ?ar a??lication du théo- rèm ?e de Pythagore au triangleABOrectangle enO?rouver queABAEp ?. Sa base a donc ?our aire ABAE?. D'autre ?art, sa hauteur estSOAE3. Le volume de la grande ?yramide est doncVSABCEAE

3AB?SOAE?.

On constate que

∞2

VSABCE6AEVSAUVE, ce qui ?ermet de conclure.

3 pointsEXERCICE1

Commun

àtouslescandidats1.

-→AI=16

AB??--→AB=6-→AI??B(6 ; 0 ; 0);

AJ=14

AD??--→AD=4-→AJ??D(0 ; 4 ; 0);

AK=12

AE??-→AE=2--→AK??K(0 ; 0 ; 2).

Comme

AG=--→AC+--→CG=--→AB+--→AD+-→AE=6-→AI+4-→AJ+2--→AK , donc G(6; 4; 2).

On en déduit que-→IG (-1 ; 1 ; 0) et-→JG (6 ; 3 ; 2). Or-→n·-→IG=-2+2+0=0 et-→n·-→JG=12+6-18=0. du plan (IJG) est normal à ce plan.

2.On sait qu'alors une équation du plan (IJG) est :

M(x;y;z)?(IJG)??2x+2y-9z+d=0.

En particulier : I(1 ; 0 ; 0)?(IJG)??2+0-0+d=0??d=-2. Une équation du plan (IJG) est :M(x;y;z)?(IJG)??2x+2y-9z-2=0.

3.On a-→AF=--→AB+-→BF=--→AB+-→AE , donc F(6; 0; 2).

OrM(x;y;z)?(BF)??il existet?Rtel que--→BM=t-→BF??8< :x-6=t(6-6) y-0=t(0-0) z-0=t(2-0)??8quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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