[PDF] CONVEXITÉ entièrement située en





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ETUDE DE LA FONCTION TANGENTE

Périodicité. La fonction tan est périodique de période ? . Pour tout x de D : tan ( x + ? ) = tan x. Preuve : Pour tout x ? D x + ? ? D et :.



IV) Étude de la fonction tangente

] ? ?. 2. ; ?. 2. [. Propriété 2. La fonction tan est impaire. Démonstration. Pour tout x ? 3tan = ..



Résumé des propriétés des fonctions trigonométriques

La Figure 1 illustre la mesure des angles en radian sur le cercle trigonométrique la construction géométrique des sinus



Fonction Trigo

La tangente de x noté tan x



La fonction tangente — Définition et propriétés

La fonction tangente — Définition et propriétés. Définition. Soit x un nombre réel tel que x ?= ?. 2. [?]. 1 On appelle tangente du réel x et on note tan x 



CONVEXITÉ

entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Fonction convexe. Fonction concave. Propriétés : - La fonction carré x ! x2 est convexe sur R .





Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique) F) Fonction th (tangente hyperbolique). ‚ th x = sh x ... Et autres propriétés tirées de coth x = 1.



Chapitre V Fonctions arcsin arccos

http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf



Fonctions réciproques

Propriété 2 : La fonction arcsin est dérivable sur ] ? 1; 3 : La fonction arctangente définie sur R est la fonction inverse de la fonction tangente.



[PDF] IV) Étude de la fonction tangente - Normale Sup

Propriété 1 La fonction tan est -périodique Démonstration Pour tout x ? 3tan = tan(x + ) = D Il suffit donc d'étudier la fonction 



[PDF] La fonction tangente — Définition et propriétés

La fonction tangente — Définition et propriétés Définition Soit x un nombre réel tel que x ?= ? 2 [?] 1 On appelle tangente du réel x et on note tan x 



[PDF] ETUDE DE LA FONCTION TANGENTE - Pierre Lux

La fonction tangente est impaire sa courbe représentative admet donc l'origine pour centre de symétrie Preuve : Pour tout x ? D - x ? D et : tan ( - x ) =



[PDF] Résumé des propriétés des fonctions trigonométriques

Propriété fondamentale : ?a ? Rcos2 a + sin2 a = 1 Le formulaire et les valeurs particuli`eres permettent de retrouver toutes les valeurs de cos sin et tan 



[PDF] Fonction Trigo

Propriétés: la fonction tangente est dérivable en tout x de D et tan ' x = 1 + tan² x = 1 cos2 x >0 donc la fonction tangente est strictement croissante sur D



[PDF] 3-Fonctions-tangente-et-cotangentepdf

La fonction tangente notée tan est définie sur Ó\ 2 k k k 2 k 2 k 1 par : tan : x Ì sinx cosx Elle est continue et dérivable sur chaque intervalle 



[PDF] PCSI2 Formulaire de trigonométrie tan(x) = sin(x) cos(x) définie si x

tan(x) = sin(x) cos(x) définie si x = ? 2 (?) cotan(x) = 1 tan(x) = cos(x) sin(x) définie si x =0 (?) cos2(x) + sin2(x) = 1 1 + tan2(x) =



fonction tangente - ChronoMath

Nom de la fonction : tangente en abrégé tan (autrefois en France : tg) Fonction dérivée : 1 + tan2x ou encore : 1/cos2x; Primitive : ln1/cos x + k 





[PDF] TD : Étude de la fonction tangente TS +k? - My MATHS SPACE

Objectif : étudier la fonction tangente notée tan et établir quelques propriétés 1 Résoudre sur ]–?;?] l'équation cos(x)=0

:

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1CONVEXITÉ I. Fonction convexe et fonction concave Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E Définitions : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. La fonction f est concave sur I si, sur l'intervalle I, sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Fonction convexe Fonction concave Propriétés : - La fonction carré

x!x 2 est convexe sur . - La fonction cube x!x 3 est concave sur -∞,0 et convexe sur

0;+∞

. - La fonction inverse x! 1 x est concave sur -∞;0 et convexe sur

0;+∞

. - La fonction racine carrée x!x est concave sur

0;+∞

. - Admis - Notation : La dérivée d'une fonction dérivée f ' se note f ''. Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f''(x)≥0

pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f''(x)≤0

pour tout x de I. - Admis -

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 Méthode : Etudier la convexité d'une fonction Vidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE Soit la fonction f définie sur

par f(x)= 1 3 x 3 -9x 2 +4 . Etudier la convexité de la fonction f. Pour tout x de , on a f'(x)=x 2 -18x . Pour tout x de , on a f''(x)=2x-18 qui s'annule pour x=9 . Pour tout x≤9 f''(x)≤0

Pour tout x≥9

f''(x)≥0 f ' est donc strictement décroissante sur -∞;9 et donc f est concave sur -∞;9 . f ' est donc strictement croissante sur 9;+∞ et donc f est convexe sur 9;+∞

. II. Point d'inflexion Vidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point. Remarque importante : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité. Exemple : On considère la fonction cube

x!x 3 . La tangente au point O(0,0) est l'axe des abscisses. Pour x≤0 , la courbe est en dessous de sa tangente. x≥0

, la courbe est au-dessus de sa tangente. La tangente à la courbe en O traverse donc la courbe. Le point O est un point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. Méthode : Etudier la convexité pour résoudre un problème Vidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10000 par mois. Le coût de fabrication C (en milliers d'euros) de x milliers de clés produites s'exprime par :

C(x)=0,05x

3 -1,05x 2 +8x+4

. 1) À l'aide de la calculatrice graphique, évaluer la convexité de la fonction C. En déduire si la courbe possède un point d'inflexion. 2) Démontrer ces résultats. 3) Interpréter les résultats obtenus. 1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle [7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour

x=7 . 2)

C(x)=0,05x

3 -1,05x 2 +8x+4

C'(x)=0,15x

2 -2,1x+8

C''(x)=0,3x-2,1

Or

0,3x-2,1=0

pour x=7 . On peut ainsi résumer les variations de C' et la convexité de C dans le tableau suivant : x

0 7 10

C''(x)

- 0 + C'(x) Convexité de C concave convexe

C(7)=25,7

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr4Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe. 3) Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication C s'accélère. Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication ralentie. Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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