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Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire La fonction est définie sur P par : = 2 +2 ?7 Etudier les limites de la fonction en ?? et en +?
Comment faire une etude de fonction exponentielle ?
Pour étudier cette fonction, on utilise les propriétés de la fonction exponentielle : La fonction dérivée de x?exp(ax+b) est x?aexp(ax+b). car la fonction exponentielle est strictement monotone sur R. car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.Comment étudier le signe de exponentielle ?
Comment étudier le signe d'une fonction comprenant la fonction exponentielle ? Pour l'étude de signe d'une fonction, on dresse un tableau de signe avec à chaque ligne tous les facteurs et quotient qui la composent. La dernière ligne sera la “synthèse” de toutes les lignes en appliquant la règle de signes.Comment faire l'étude d'une fonction ?
Pour étudier une fonction
1On calcule la dérivée de la fonction.2On étudie le signe de la dérivée.3On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour les valeurs de x où f' change de signe. Enfin on est en mesure de dessiner son tableau de variations.- 1En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. 2On note e la valeur de cette fonction en 1. 3La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ? qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1.
FONCTION EXPONENTIELLE
I. Définition
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que etDémonstration de l'unicité (exigible BAC) :
L'existence est admise
- Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ.Soit la fonction h définie sur ℝ par .
Pour tout réel x, on a :
La fonction h est donc constante.
Comme , on a pour tout réel x :.
La fonction f ne peut donc pas s'annuler.
- Supposons qu'il existe une fonction g telle que et .Comme f ne s'annule pas, on pose .
k est donc une fonction constante.Or donc pour tout x : .
Et donc . L'unicité de f est donc vérifiée. Définition : On appelle fonction exponentielle l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que et .On note cette fonction exp.
Conséquence :
Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : f'=f f(0)=1 h(x)=f(x)f(-x) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)-f'(-x) =f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x) =f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0 h(0)=f(0)f(0)=1 f(x)f(-x)=1 g'=g g(0)=1 k(x)= g(x) f(x) k'(x)= g'(x)f(x)-g(x)f'(x) f(x) 2 g(x)f(x)-g(x)f(x) f(x) 2 =0 k(0)= g(0) f(0) 1 1 =1 k(x)=1 f(x)=g(x) f'=f f(0)=1 exp(0)=1 2 Remarque : On prouvera dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard.II. Etude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est continue et dérivable sur ℝ et Démonstration : Conséquence immédiate de sa définition2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction exponentielle ne s'annule jamais.Or, par définition, donc pour tout x, .
Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante.3) Limites en l'infini
Propriété : et
- Propriété démontrée au paragraphe III. -4) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x 0 expx '=expx exp(0)=1 expx>0 expx '=expx>0 lim x→-∞ expx=0 lim x→+∞ expx=+∞ expx expx 3III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Démonstration :
Comme , on pose avec y un nombre réel.
Pour tout x, on a .
Donc la fonction f est constante.
Comme , on en déduit que .
Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) b) c) avec expx+y =expxexpy expx≠0 f(x)= exp(x+y) expx f'(x)= exp(x+y)expx-exp(x+y)expx expx 2 =0 f(0)= exp(y) exp(0) =expy exp(x+y) expx =expy exp-x 1 expx expx-y expx expy expnx =expx n n∈! 4Démonstration :
a) b) c) La démonstration s'effectue par récurrence.L'initialisation est triviale.
La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition :2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e.Notation nouvelle :
On note pour tout x réel,
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique .Ses premières décimales sont :
e 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est t ranscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers. Le nombre par exempl e, est irrationnel mais n'est pas transcendant puisqu'il est solution de l'équation . Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'il s'agisse de l'initiale de son nom ma is peut être car e est la première lettre du mot exponentiel. expxexp-x =expx-x =exp(0)=1 expx-y =expx+(-y) =expxexp-y =expx 1 expy expx expy expn+1 x =expnx+x =expnx expx=expx n expx=expx n+1 exp1=e expx=exp(x×1)=exp(1) x =e x expx=e x 2 x 2 =2 5 Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : Rappelons que par exemple 5! se l it "factorielle 5" et e st égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) et b) et c) , , , , avec . d) et Remarque : On retrouve les propriétés des puissances.Démonstration de d) (exigible BAC) :
- Soit la fonction g définie par . Pour x positif, car la fonction exponentielle est croissante.Donc la fonction g est croissante sur .
On dresse ainsi le tableau de variations :
x 00 +
1Comme , on a pour tout x, .
Et donc , soit .
D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que carDériver une fonction exponentielle :
Vidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
e=1+ 1 1! 1 2! 1 3! e 0 =1 e 1 =e e x >0 (e x )'=e x e x+y =e x e y e x-y e x e y e -x 1 e x e x n =e nx n∈! lim x→-∞ e x =0 lim x→+∞ e x g(x)=e x -x g'(x)=e x -1≥e 0 -1=00;+∞
g'(x) g(x) g(0)=1 g(x)≥1 g(x)=e x -x≥0 e x ≥x lim x→+∞ e x lim x→+∞ x=+∞ lim x→-∞ e x =limX→+∞
e -X =limX→+∞
1 e X =0 6Méthode : Simplifier les écritures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquationVidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y
Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y
a) Résoudre dans ℝ l'équation . b) Résoudre dans ℝ l'inéquation . a)Les solutions sont -3 et 1.
b) A= e 7 ×e -4 e -5 B=e 5 -6 ×e -3 C= 1 e -3 2 e 4 -1 e 2 ×e -6 A= e 7 ×e -4 e -5 e 7-4 e -5 e 3 e -5 =e3-(-5)
=e 8 B=e 5 -6 ×e -3 =e5×(-6)
×e -3 =e -30 ×e -3 =e -30-3 =e -33 C= 1 e -3 2 e 4 -1 e 2 ×e -6 1 e -3×2quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9[PDF] habiter les littoraux 6ème contrôle
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