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Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire La fonction est définie sur P par : = 2 +2 ?7 Etudier les limites de la fonction en ?? et en +?

  • Comment faire une etude de fonction exponentielle ?

    Pour étudier cette fonction, on utilise les propriétés de la fonction exponentielle : La fonction dérivée de x?exp(ax+b) est x?aexp(ax+b). car la fonction exponentielle est strictement monotone sur R. car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

  • Comment étudier le signe de exponentielle ?

    Comment étudier le signe d'une fonction comprenant la fonction exponentielle ? Pour l'étude de signe d'une fonction, on dresse un tableau de signe avec à chaque ligne tous les facteurs et quotient qui la composent. La dernière ligne sera la “synthèse” de toutes les lignes en appliquant la règle de signes.

  • Comment faire l'étude d'une fonction ?

    Pour étudier une fonction

    1On calcule la dérivée de la fonction.2On étudie le signe de la dérivée.3On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour les valeurs de x où f' change de signe. Enfin on est en mesure de dessiner son tableau de variations.
  • 1En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. 2On note e la valeur de cette fonction en 1. 3La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ? qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1.
TaleSTIEtude de fonctions exponentiellesFiche n°11 EXERCICE no1 (problème France juin 2007 - 11 points) Soitfla fonction définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par f(x) = e xlnx+e x x.

On appelleCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthogonal (O;-→ı;-→?) d"unités gra-

phiques 4 cm sur l"axe des abscisses et 1 cm sur l"axe des ordonnées.

Partie A

L"objet de cette première partie est l"étude des limites de la fonctionfaux bornes de son ensemble de

définition.

1. Déterminer la limite defen +∞.

2. (a) Montrer que pour tout nombre réel strictement positifx,f(x) =e

x x(xlnx+ 1).

On rappelle que lim

x→0xlnx= 0. En déduire la limite defen 0. (b) Montrer que la courbeCadmet une asymptoteDdont on donnera une équation. Partie B : étude d"une fonction intermédiaire Soitgla fonction définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ par g(x) = lnx+2 x-1x2

1. (a) On désigne parg?la dérivée de la fonctiong.

Montrer que, pour tout nombre réel strictement positifx,g ?(x) =x

2-2x+ 2

x3. (b) Étudier le signe deg ?(x). En déduire que la fonctiongest strictement croissante sur l"intervalle ] 0 ; +∞[. L"étude des limites n"est pas demandée.

2. (a) Démontrer que l"équationg(x) = 0 admet une solution uniqueαdans l"intervalle

?1 2; 1 (b) Donner un encadrement d"amplitude 10 -2deα.

3. Déduire des questions B

1et B2le signe deg(x), pourxappartenant à l"intervalle ] 0 ; +∞[.

Partie C : étude des variations de la fonctionfet construction de la courbe associée

1. (a)f

?désignant la dérivée def, calculerf?(x) et montrer quef?(x) = exg(x), pour tout nombrex appartenant àl"intervalle ] 0 ; +∞[. (b) En déduire le signe def ?(x) sur l"intervalle ] 0 ; +∞[.

2. (a) Dresser le tableau de variations de la fonctionf.

(b) Calculer une valeur approchée à 10 -1près def(α), en prenant 0,6 pour valeur approchée deα.

3. (a) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous.

x0,250,50,7511,251,51,7522,252,5 f(x) à

10-1près

(b) Construire l"asymptoteDet la courbeCpourxappartenant à l"intervalle ] 0 ; 2,5 ].

Partie D : calcul d"aire

1. Montrer que la fonctionF, définie sur l"intervalle ] 0 ; +∞[ parF(x) = e

xlnxest une primitive def.

2. On désire calculer l"aire de la partieEdu plan comprise entre la courbeC, l"axe des abscisses et les

droites d"équations respectivesx= 1 etx= 2. (a) Hachurer la partieEsur le dessin. (b) Déterminer la valeur exacte de l"aire deEen unités d"aires, puis en cm 2. http://nathalie.daval.free.fr TaleSTIEtude de fonctions exponentiellesFiche n°11 EXERCICE no2 (Problème France juin 2005 - 11 points)

L "objectif est de déterminer une fonction dont la représentation graphique est donnée sur la page annexe à

joindre à la copie, puis d"étudier certaines propriétés de cette fonction.

Partie A

Sur la page annexe, on a représené dans le plan muni d"un repère orthonormal (O;-→ı;-→?) d"unité graphique

2 cm, la courbeCd"une fonctionfdéfinie surR.

La courbeCpasse par les points de coordonnées A(0;4) et B(-1,5;1)

1. Donner les valeurs def(0) et def(-1,5).

2. On suppose que pour tout nombre réelx,f(x) s"écrit sous la forme suivante :

f(x) = (ax+b)e -x+ 1,oùaetbsont deux nombres réels. Utiliser les résultats de la question1pour déterminer la valeur des nombres réelsaetb

Partie B

Dans toute la suite du problème on étudie la fonctionfdéfinie surRpar f(x) = (2x+ 3)e -x+ 1.

1. Déterminer la limite defen-∞.

2. (a) Montrer que pour tout nombre réelx:f(x) = 2x

ex+3ex+ 1. (b) Déterminer alors la limite defen +∞. En déduire que la courbeCa une asymptote (D) dont on donnera une équation. (c) Démontrer que cette asymptote (D) coupe la courbeCau point B.

(d) Étudier, en le justifiant soigneusement, la position de la courbeCpar rapport à la droite (D).

3. Prouver que la dérivéef

?de la fonctionfest définie pour tout nombre réelxpar : f ?(x) = (-2x-1)e-x.

4. Étudier le signe def

?(x) surR, puis dresser le tableau de variations de la fonctionf.

5. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbeCau point A.

Partie C

On rappelle que, sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe dans un repère

orthonormal d"unité graphique2cm.

1. Déterminer le coefficient directeur de la tangente Δ à la courbeCau point E d"abscisse (-0,5).

Tracer sur la feuille annexe la tangente en Δ.

Compléter cette figure en représentant l"asymptote (D) et latangente (T).

Hachurer la partie du plan comprise entre l"axe des abscisses, la courbeCet les droites d"équation

x=-1 etx= 0.

2. Montrer que la fonctionFdéfinie par

F(x) = (-2x-5)e

-x+x est une primitive de la fonctionfsurR.

3. SoitAl"aire en cm

2de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte deA, puis en

donner une valeur arrondie au centième. http://nathalie.daval.free.fr TaleSTIEtude de fonctions exponentiellesFiche n°11 EXERCICE no3 (Problème nouvelle calédonie novembre 2008 - 11 points) Le planPest rapporté au repère orthonormal (O;-→ı;-→?).(L ?unitégraphiqueest4cm.) Le but du problème est l"étude de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0 ; +∞[ par : f(x) =e x+ 1 ex+x. On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans le planP.

I - Étude d"une fonction auxiliaire

On notegla fonction définie sur l"intervalle [0 ; +∞[ par : g(x) = e x(x-2)-1.

1. Déterminer la limite de la fonctiongen +∞.

2. Étude des variations deg

(a) Calculer la fonction dérivéeg ?de la fonctionget étudier son signe sur l"intervalle [0 ; +∞[. (b) Dresser le tableau de variations de la fonctiongsur l"intervalle [0 ; +∞[.

3. Résolution de l"équationg(x) = 0

(a) Démontrer que l"équationg(x) = 0 possède une unique solution, notéeα, appartenant à l"intervalle

[1; 3]. (b) Donner un encadrement deαd"amplitude 10 -1.

4. Déterminer le signe deg(x) pourxappartenant à l"intervalle [0 ; +∞[.

II - Étude de la fonctionf

1. Étude de la limite en +∞.

(a) Démontrer que pour tout nombre réelxappartenant à l"intervalle [0 ; +∞[, f(x) =1 + e -x

1 +xe-x.

(b) En déduire la limite defen +∞et interpréter graphiquement cette limite.

2. Étudier la position relative de la courbeCet de la droiteDd"équationy= 1 sur l"intervalle [0 ; +∞[.

3. Étude des variations def

(a) On notef ?la fonction dérivée de la fonctionf. Démontrer que, pour tout réelxappartenant à l"intervalle [0 ; +∞[, f ?(x) =g(x)(ex+x)2oùgest la fonction définie en 1. (b) Déduire de la question I. 4., le sens de variations defsur l"intervalle [0 ; +∞[.

4. Construire la courbeCet la droiteDdans le repère .

III - Calcul d"aire

On noteBl"aire, exprimée en cm

2du domaine limitée par la courbeC, la droiteD, l"axe des ordonnées et

la droite d"équationx= 1.

1. Hachurer sur le graphique le domaineB.

2. Déterminer une primitiveFde la fonctionfsur l"intervalle [0 ; +∞[.

3. En déduire la valeur exacte deB, puis une valeur approchée arrondie au mm

2. http://nathalie.daval.free.fr TaleSTIEtude de fonctions exponentiellesFiche n°11 EXERCICE no4 (Problème France septembre 2008 - 9 points) Étude de l"énergie fournie par le rayonnement solaire

Le but de ce problème est d"étudier le rayonnement solaire enun point de la surface de la Terre dont la

latitude est 45°N et l"altitude 900 m.

Dans les questions1., 2.et3., on étudie le rayonnement solaire un 21 mars ensoleillé sur un plan perpen-

diculaire au rayonnement solaire d"une surface de 1 m 2.

1. On suppose d"abord que le rayonnement solaire exprimé en W/m

2est donné en fonction de l"inclinaison

θdu soleil (θétant exprimé en degrés) parp(θ) = 1230e -1

3,8 sin(θ+1,6).

On attire l"attention du candidat quant à l"utilisation de la calculatrice pour ces calculs : dans la

formule ci-dessus le sinus porte sur un angle exprimé en degrés. heure solaire6 h7 h8 h9 h10 h11 h12 h13 h14 h15 h16 h17 h18 h inclinaisonθdu soleil (en °)010,520,73037,743454337,73020,710,50 rayonnement solaire p(θ) (en W/m 2)

350744856

2. On veut maintenant modéliser l"évolution du rayonnementsolaire en fonction de l"heure.

On définit la variabletcomme étant le temps écoulé depuis le lever du soleil, qui se produit à 6 heures.

Pour des raisons de symétrie entre le matin et l"après-midi,on se limitera à faire variertdans l"intervalle

[0; 6], ce qui correspond à des heures solaires variant entre6 h et 12 h.

On admet que le rayonnement solaire (en W/m

2) peut être exprimé en fonction detpar :

f(t) = 856?1-e-0,6t?.

(a) Compléter le duplicata du tableau 2 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie).

heure solaire6 h7 h8 h9 h10 h11 h12 h tempst(en heures)0123456 rayonnement so- laire f(t) (en W/m 2)

715833

(b) On désigne parf?la dérivée de la fonctionf.

Calculerf

?(t) et étudier son signe sur l"intervalle [0; 6]. (c) En déduire le tableau de variations de la fonctionf. (d) Tracer la courbe représentativeCde la fonctionfdans un repère orthogonal (2 cm pour une unité en abscisse et 1 cm pour 100 unités en ordonnée).

(e) Donner une équation de la tangenteTà la courbeCau point d"abscisse 0. TracerTdans le même

repère queC. (f) Les dernières lignes des tableaux 1 et 2 vous paraissent-elles cohérentes?

3. La quantité d"énergie solaire E, exprimée en Wh, reçue au cours de la journée, est donnée par :

E = 2 ?6 0 f(t) dt= 1712 ?6 0?

1-e-0,6t?dt.

Calculer la valeur exacte de E puis fournir la valeur arrondie à l"unité.

4. On s"intéresse maintenant à l"énergie solaire reçue sur une année.

Un logiciel de météorologie fournit une énergie solaire annuelle égale à 1206 kWh, toujours pour une

surface de 1 m 2.

(a) Vérifier que cette valeur correspond environ à 161 journées telles que celle étudiée aux questions

1., 2.et3..

(b) On suppose qu"un dispositif de production d"énergie électrique reçoit l"énergie solaire sur une

surface de 1 km

2et qu"il convertit 20 % de cette énergie en électricité.

Combien d"habitants auraient leur consommation électrique domestique fournie par ce dispositif, sachant qu"un habitant consomme en moyenne 700 kWh/an d"énergie électrique domestique (hors chauffage)? http://nathalie.daval.free.fr TaleSTIEtude de fonctions exponentiellesFiche n°11

Annexe du problème à rendre avec la copie

1 2 3 4 5-1-2

1234
-1 -2-10123456 -1 0 1 2 3 4 5 ?A B O

ANNEXE RELATIVE AU PROBLÈME

( à rendre avec la copie) heure solaire6 h7 h8 h9 h10 h11 h12 h13 h14 h15 h16 h17 h18 h inclinaisonθdu soleil (en °)010,520,73037,743454337,73020,710,50 rayonnement solairep(θ) (en W/m 2)

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Tableau 1

heure solaire6 h7 h8 h9 h10 h11 h12 h tempst(en heures)0123456 rayonnement so- lairef(t) (en W/m 2)

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Tableau 2

http://nathalie.daval.free.frquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9
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