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Fonctions et expCHAPITRE

8

4 Faire savoir

chapitre

I. Fonction logarithme Népérien

1) Définition 1

La fonction logartihme néperien est la primitive de la fonction x 1 x sur ] 0 ; + [ qui prend la valeur 0 en 1. La fonction logarithme néperien est notée ln .

2) Propriétés

le domaine de définition de ln est ] 0 ; + [ la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+ [,

le signe de ln x est immédiatement fourni par le sens de variation x 0 1 + ln x - 0 +

3) Représentation graphique

2345678

2 -1 -2 -3 01 1 x y

4) Théorème 1

Pour tout réels strictement positif a et b et pour tout entier relatif p on a : ln (ab) = ln a + ln b et ln ( 1 b ) = - ln b ; ln ( a b ) = ln a - ln b ln ap = pln a et ln a 1 2 ln a. CChhaappiittrree 88 FFoonnccttiioonnss llnn eett eexxpp 8866

5) Théorème 2

Pour tout ln x = m a une solution unique dans ] 0 ; + [. Ainsi la fonction ln est une bijection de ] 0 ; + [ dans R

Le ln x = 1 est noté e et on a : e

ln (ep) = p ( e est appelé base du logarithme néperien).

6) Limites

Théorème 3

xlim ln x = + x0lim ln x = - x1lim x x1 ln 1 x0lim x ln x = 0 h0lim 1 h) h (ln = 1 x xlimx ln = 0

7) Dérivée et Primitive

Théorème 4

1) La fonction ln u est dérivable sur tout intervalle où u est dérivable et u(x) > 0, et on a :

[ ln u' u ln u où u(x) > 0

2) La fonction

u' u admet come primitive ln (-u) où u(x) < 0

II. Fonction exponentielle

1) Définition 2

La fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction logarithme, elle est notée exp(x)

ou ex.

Ainsi,

y exp(x) x y x réel y 0 ln

2) Propriétés

exp est définie sur R et exp > 0 x R exp(0) = 1 ; exp(1) = e ; exp(-1) = 1 e Pour tout réel x ; ln (exp(x)) = x et pour tout réel x > 0 exp(ln x) = x

3) Théorème 5

Pour tout réel a et b et pour tout entier n :

exp( a + b) = exp(a).exp(b). exp(a b) = expa expb et exp( b) = 1 expb exp(na) = [exp(a) ]n ; n Z et naexp( ) exp(a) ; n 1n

4) Limites

Théorème 6

xlim ex = + ; xlim ex = 0 ; x x elimx xlim xex = 0 ; h h0 e1limh = 1 CChhaappiittrree 88 FFoonnccttiioonnss llnn eett eexxpp 8877

5) Dérivée

exp est dérivable (donc continue)sur R et pour tout réel x x. affine au voisinage de 0 de al fonction exponentièlle est : h : 1h

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I , alors eu est dérivable sur I et pour tout x de I :

(euu(x). III- Pour tout a> 0 et pour tout réel b on pose : ab = baeln ( ab se lit a puissance b). Cette définition donne un sens à des expressions telle que : 31,8 ; 251
; e ; 2.

Mais logarithme exige dans ab ( a> 0).

Règle de calcul

Pour tou :

ab ac = ab + c ; a-b = b1 a ; ab ab = (a a )b; (ab)c = abc ; ln (ab) = blna

1) Définition 4

Pour tout réel a strictement positif x

ax, appelée fonction exponentielle de base a est la fonction x exlna. Elle est définie et à valeurs positives sur R , elle est dérivable sur R , de fonction dérivée x ln a (ax).

2) Tableaux de variations, courbes représentatives

a > 1 0 < a <1 x - 1 + ax 0 + x ax + 0 a = 1 01 1 x y Croissance comparée des fonctions exponentielles, puissances entières et logarithme

Pour tout entier naturel n ;

xlim x ne=x nx x-lim x e 0 xlim nx x ln = 0

Fonction logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée Log et définie par : Logx = x

10lnln

sur ]0 ; +[.

Remarque : On peut procéder autrement que

fonction f dérivable sur R , telle que: f f et f(0) = 1, puis on définit la fonction logarithme népérien comme étant la bijection réciproque de la fonction exponentielle sur R CChhaappiittrree 88 FFoonnccttiioonnss llnn eett eexxpp 8888

Savoir-faire

A. Applications

Exercice. 1

ln (x2 ln (x2 + x + 1) < 0. b) Simplifier ln a2b3 ; 6 ln 32
1 ab ( 5 1) ( 5 1) 2 ln ln c) Résoudre : ln (x-2) (x-1) = ln 2 ln (x-2) + ln (x-1) = ln 2.

Solution

a) Résolution demandée ln (x2 + x + 1) = 0 x2 + x + 1 = 1 x( x+1) = 0 ; S =

0 ; -1

ln (x2 + x + 1) < 0 x2 + x + 1 < 1 x( x+1 < 0 ; S = ]0 ; 1[. b) Simplification cherchée ln(a2b3) = lna2 + ln b3 = 2 ln a + 3 ln b

6 ln (

32
1 ab ) = -6 ln( 32ab
) = -2 ln( 2ab ) = -4 ln a -2 ln b. ( 5 1) ( 5 1) 2 ln ln 1 2 ln ( 5 + 1) ( 5 - 1) = 1 2 ln 4 = 1 2

2 ln 2 = ln 2.

c) Résolution demandée ln (x-2) (x-1) = ln 2 E = ]- ; 1[ ]2 ; +[ Ainsi, x E ; et (x-2) (x-1) = 2 x E et x = 0 et x = 3. ln (x-2) + ln (x-1) = ln 2 équation (( que pour x> 2).

Exercice. 2

a) Simplifier les écritures : a = ln 2 3eln b c =

25eln ln

d = ln 3e g

3 4 23e ( e)

f = 3 1,23 ee ee b) Résoudre les équations. (ex -1)(ex -2) = 0 ;

2x 12x 35e

= 1 ; e2x + ex - 42 = 0.

Solution

a) Simplification cherchée a = ln ( e 1 2 ln e = 1 2 ; b = 1

31e3ln

; c = 2 25
5 e2e5e lnln lnln d = ln 3e 1 2 ln e3 = 3 2 g =

3 4 23e ( e)

3 4 3 4 3 6 233e e e e e e e e

f = 2 1,23 ee ee 15

5 23 29222

2 15 30

1 23

1,23 15

e e eee e e e b) Résolution demandée (ex -1)(ex -2) = 0 ex = 1 ou ex = 2 x = 0 ou x = ln 2.

2x 12x 35e

= 1 -x2 -12x -35 = 0 x2 +12x +35 = 0 x= -7 ou x = -5. e2x + ex - 42 = 0 ; Posons t = ex t2 + t - 42 = 0 t = 6 x = ln 6 ; ou t = -7(rejetée car t > 0) CChhaappiittrree 88 FFoonnccttiioonnss llnn eett eexxpp 8899

Exercice. 3

Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

1) f(x) = ln(x2 - 1) ; 2) f(x) = ln(cosx) ; 3) f(x) =

2x 2x 1e

; 4) f(x) = esinx.

Solution

1) f est définie sur ] - ; -1[ ]1 ; +[ et

f x) = 22x
x1

2) f est définie sur

*\ k ;k2 et f sinx cosx = -tanx

3) f est définie sur

R et f

2x 12x 1e

4) f est définie sur

R et f sinx.

Exercice. 4

Chercher les primitives des fonctions f sur I :

1) f(x) = tanx (x ]-

; 22 [ ) ; 2) f(x) = x1(x )1eR

3) f(x) =

1x3 xR

Solution

1) f(x) = tanx =

sinx (cosx)' cosx cosx

F(x) = - ln (cosx) + c

2) f(x) =

x1 1e ; 1 - f(x) = x xe 1e

F(x) = x - ln (1 + ex) + c

3) ) f(x) =

1xx ( 3)x3

x11( ) e e33 lnln

F(x) =

( 3)x1ec3 lnln x11c33 uln

Exercice. 5

Etudier et représenter graphiquement les fonctions :1) f(x) = x 1 + ln x2 x2 ; 2) f(x) = (x + 1)2e-x

Solution

1) f(x) = x 1 + ln

x2 x2

Df = ] -; -2 [ ]2 ; + [

xlim (x) f x ( 2)lim (x)f x2lim (x)f xlim (x) f f 2

21 1 x

x 2 x 2 x 4 , ff(x) est croissante sur Df . x = -2 ; x = 2 sont des asymptotes verticales. Comme xlim ln x2 x2 = 0 y = x 1 est une asymptote oblique à C en +. De plus ]2 ; + [ ; x2 x2 < 1 ln x2 x2 < 0 ; il en découle que C f est au dessous de .

Tableau de variation

x - -2 2 +

f + + CChhaappiittrree 88 FFoonnccttiioonnss llnn eett eexxpp 9900
f(x) +

Représentation graphique

234-1-2-3

2 -1 -2 -3 01 1 x y

2) f(x) = (x + 1)2e-x

Df =

R xlim (x) f xlim (x) f f(x) e-x (x +1)2 e-x f(x)quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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