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Étude d'une fonction auxiliaire (a) Soit la fonction g dérivable définie sur [0 ; +?[ par g(x) = x2ex ?1 Étudier le sens de variation de la fonction g
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O3-Fonction exponentielle www famillefutee com 2 CORRECTION Partie A : étude d'une fonction auxiliaire 1) Déterminer les limites de en +?et en ??
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b) Calculer d(0) puis étudier le signe de d(x) c) En déduire la position relative de Cf et T 6- Tracer les asymptotes trouvées à la question 2 la tangente en
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2) Etude d'une fonction auxiliaire : Soit g(x) = (x + 2)ex – 1 – 1 ( x ? IR) a Déterminer les limites de g b Etudier les variations de g
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Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire La fonction est définie sur P par : = 2 +2 ?7 Etudier les limites de la fonction en ?? et en +?
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22 fév 2008 · 2 2 Etude de la fonction exponentielle Proposition 2 6 1 La fonction exp est définie sur R strictement croissante et `a valeurs dans R?
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Problème Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire La fonction g est définie sur R par g(x) = 2ex +2x ?7 1 Etudier les limites de g en ?? et en +?
exponentielle - Maths Paris
tsexponentielle7 pdf : études de fonctions + coefficients à déterminer tsexponentielle18 pdf : dérivée limites fonction auxiliaire bijection ***
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Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire La fonction est définie sur P par : = 2 +2 ?7 Etudier les limites de la fonction en ?? et en +?
Comment faire une etude de fonction exponentielle ?
Pour étudier cette fonction, on utilise les propriétés de la fonction exponentielle : La fonction dérivée de x?exp(ax+b) est x?aexp(ax+b). car la fonction exponentielle est strictement monotone sur R. car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.Comment étudier le signe de exponentielle ?
Comment étudier le signe d'une fonction comprenant la fonction exponentielle ? Pour l'étude de signe d'une fonction, on dresse un tableau de signe avec à chaque ligne tous les facteurs et quotient qui la composent. La dernière ligne sera la “synthèse” de toutes les lignes en appliquant la règle de signes.Comment faire l'étude d'une fonction ?
Pour étudier une fonction
1On calcule la dérivée de la fonction.2On étudie le signe de la dérivée.3On calcule les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition ainsi que les valeurs de la fonction pour les valeurs de x où f' change de signe. Enfin on est en mesure de dessiner son tableau de variations.- 1En mathématiques, la fonction exponentielle est la fonction notée exp qui est égale à sa propre dérivée et prend la valeur 1 en 0. 2On note e la valeur de cette fonction en 1. 3La fonction exponentielle est la seule fonction continue sur ? qui transforme une somme en produit et qui prend la valeur e en 1.
Partie A : Etude d"une fonction auxiliaire .
La fonction
est définie sur par : = 2+ 2 - 7.1. Restitution organisée de connaissances :
Prérequis :
→= +∞. Montrer : →= 02. Etudier les limites de la fonction
en -∞ et en +∞.3. Etudier le sens de variation de la fonction
sur , et donner son tableau de variation.4. Montrer que l"équation
= 0 admet dans une solution unique a.Donner une valeur approchée à
10 près.
5. Etudier le signe de
surPartie B : Etude d"une fonction
La fonction
est définie sur par : =2 - 51 - .1. Etudier le signe de
sur .2. Etudier les limites de
en en -∞ et en +∞.3. Calculer
′, où ′ désigne la fonction dérivée de , et vérifier que ′ et ont le même signe.4. Dresser le tableau de variation de la fonction
5. Démontrer l"égalité :
EXERCICE I : (6 points) POUR TOUS A : 3 points B : 3points D"après Liban 2003
Partie A : Etude d"une fonction auxiliaire . La fonction est définie sur par : = 2+ 2 - 7.1. Restitution organisée de connaissances :
Prérequis :
→= +∞. Montrer : →= 0 1 on pose # = - : # $%& '() + ∞ d"après le prérequis : Donc ./0= 0 Donc →= 02. Etudier les limites de la fonction en -∞ et en +∞.
→= 0 ⟹ →2= 0 →2 - 7 = -∞ 2 ⟹ →2+2 -7= -∞ 3%) →2= +∞ →2 - 7 = +∞ 2 ⟹ →2+2-7= +∞ ⟹3. Etudier le sens de variation de la fonction sur , et donner son tableau de variation.
est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables surPour tout
de , on a : 4= 2+ 2Racine et signe
> 0 donc 2+ 2 > 2 > 0Pas de racine
et pour tout de , on a : 4> 0 donc la fonction est strictement croissante surTableau de variation
-∞ a +∞4 +
04. Montrer que l"équation 6 = 7 admet dans une solution unique a.
Donner une valeur approchée à 87
9 près.
D"après son tableau de variation,
⋆ la fonction est continue et strictement croissante sur ] -∞;+∞[ donc réalise une bijection de ] -∞;+∞[ vers ] -∞;+∞[ de plus0 ∈] -∞;+∞[ donc l"équation = 0 admet une unique solution dans ] -∞;+∞[ ; on la note α :
0,94 0,95 -4×10 0 0,07 Donc 0,94 < < 0,95 0,94 et 0,95 sont des valeurs approchées de5. Etudier le signe de
6 sur
D"après le tableau de variation complété par - 0 + Partie B : Etude d"une fonction . La fonction est définie sur par : 6=96 - D8 - E6.1. Etudier le signe de sur
Racines : = 0 ⇔2 - 51 -
= 0 +G = 1 ⇔ = 2,5 +G - = 0 les racines de sont 2,5 et 0Signe de
1 - 1 - > 0 ⇔ -> -1 < 1 ⇔ - < 0 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur ⇔ > 0 -∞ 0 2,5 +∞ 2-51- - - 0 + - 0 + +
+ 0 - 0 +2. Etudier les limites de en en -∞ et en +∞.
→2 - 5 = -∞ →1 - = -∞H ⟹
→2 - 5 = +∞ *→*= 0 ⟹ →1 - = 1H ⟹
3. Calculer ′6, où ′ désigne la fonction dérivée de ,
et vérifier que ′6 et 6 ont le même signe. est dérivable sur comme somme puis produit de fonctions dérivables surG'4= G4' + '4G
G= 2 - 5 '= 1 -
G4 = 2 '4 = --1=
Pour tout
de ,4= 21 - +2 - 5= 2 - 7+ 2
4= 2 - 7+ 2= I
/0- 7 + 2J = 2- 7 + 2= Ou4= 2 - 7+ 2= 2 -"
0+2 =2-7+2Pour tout de , > 0
Donc ′ et ont le même signe
4. Dresser le tableau de variation de la fonction .
′ - 0 +5. Démontrer l"égalité : K=
9KD9 9KL =2 ∝ -51 - ∝ Or ∝= 0 ⟹2∝+ 2 - 7 = 0 ⟹ ∝=7-2∝2 ⟹ -∝=1
∝=27-2∝
Donc =2 ∝ -5N1 -27 - 2 ∝
O =2 ∝ -5N7 - 2 ∝ -2
7 - 2 ∝O =2 ∝ -5N5 - 2 ∝7 - 2 ∝O = -2 - 5
7 - 2 ∝=2 - 5
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