[PDF] Compacité Montrer qu'une suite convergente





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Chapitre 3 - Espaces métriques compacts

Exemple 3.1.5 (a) [0 1] est compact mais ni ]0



Compacité

Montrer qu'une suite convergente et sa limite forment un ensemble compact. Donner un exemple de deux fermés de R2 dont la somme n'est pas fermé.



Espaces Vectoriels Normés et Topologie

Maurice Fréchet (1878-1973); (convergence uniforme convergence compacte



Université Paris Dauphine Notes sur le cours dAnalyse

les sous-ensembles compact de l'ensemble des fonctions continues. faible il y a plus d'ensembles compacts : par exemple les boules fermées deviennent ...



Cours dAnalyse Fonctionnelle

Exemple 1.1.3 (1) Les espaces normés seront étudiés dans le prochain pa- ragraphe. Si (E



1 Lespace Rn

1.6 Ensembles compacts. Définition. X ? Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ? B(0 R)). Exemples.





Chapitre 4 Opérateurs compacts et théorie spectrale sur les espaces

On note par K(E F) l'ensemble des opérateurs compacts de E dans F et par K(E) si E = F. 4.1.13 EXEMPLE (LES OPÉRATEURS INTÉGRAUX SONT COMPACTS).



Convexes métriques compacts

Un ensemble convexe est une partie C d'un espace vectoriel E telle que pour tous x0 Exemple. Soit E un espace de Banach muni de sa norme .



Espaces topologiques compacts

Notation I désignera un ensemble quelconque (fini dénombrable ou indénom- Exemple Les intervalles fermés et bornés de IR sont des espaces compacts pour ...



[PDF] Espaces topologiques compacts

Exemple Les intervalles fermés et bornés de IR sont des espaces compacts pour la topologie définie par la valeur absolue 3 Suites dans un espace compact



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Exemple 3 1 5 (a) [0 1] est compact mais ni ]0 1] ni R ne l'est (b) Toute partie finie d'un espace métrique est compacte (c) Dans l'espace (C0([0 



[PDF] Chapitre 4 Compacité

Un espace topologique X est localement compact si et seulement s'il est séparé et tout point de X admet un voisinage compact Exemple 4 6 2 Les espaces 



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Un espace métrique (Xd) est dit complet si toute suite de Cauchy converge Exemples Un espace métrique compact est complet (proposition précédente et Bolzano- 



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Une partie A d'un espace métrique (Ed) est dite compacte si de toute suite de A on peut extraire une sous-suite convergente (dans (Ed)) vers un élément de A



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Exemple : considérons l'espace normé R muni de la norme usuelle quels on sait tr`es bien montrer qu'un ensemble est compact Par exemple lorsqu'il 



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Si A est une partie de E on dit que A est une partie compacte si et seulement A munie de la distance induite est un espace métrique compact 1 1 2 Exemples • 



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Soient K et L deux parties compactes d'un espace métrique X Montrer que K ? L est une partie compacte Exercice 3 Soit Mn(R) l'ensemble des matrices de 



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A est l'ensemble des limites des suites de A alors il existe un ensemble fini F ? I tel que X = ?i?F Ui Exemple [01] est compact



[PDF] Chapitre 4: Espaces compacts et espaces con- nexes

5 Page 6 Définition Un espace topologique E est localement compact si E est séparé et si tout point de E admet un voisinage compact Exemples ? IR et IRn 

  • Comment savoir si un ensemble est compact ?

    Par définition de ·?, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.

  • Qu'est-ce qu'une partie compacte ?

    Une partie K de E est dite compacte si, de toute suite (un) d'éléments de K , on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de K . En particulier, toute réunion finie ou toute intersection quelconque de parties compactes est compacte.

  • Comment montrer que tout ensemble fini est compact ?

    Il suffit donc de montrer que O(n) est fermé et borné dans cet espace. Le caractère fermé est évident : la fonction f : Mn(R) ? Mn(R) qui à M associe MtM est polynomiale, donc continue, et l'on voit que O(n) = f?1({I}), image réciproque d'un fermé. est donc borné ; il est ainsi compact.
  • Ainsi ? n'est pas compact, puisque la fonction identité, qui à x associe x lui-même, est continue mais non bornée.

Enoncés : V. Mayer

Corrections : A. BodinExo7

Compacité

Exercice 1

SoitXun espace métrique.

1. Soit AetBdeux compacts disjoints dansX. Montrer qu"ils possèdent des voisinages ouverts disjoints (commencer par le cas oùBest réduit à un point). 2. Soit Kun compact non vide deXetUun ouvert deXcontenantK. Montrer qu"il exister>0 tel que pour toutx2X, on ait l"implication: d(x;K)SoitEun espace compact et soit(F;d)un espace métrique. Soitf:E!Fune application localement bornée,

ce qui signifie que, pour touty2E, il existe un voisinageVydeysur lequelfest bornée. Montrer quefest

bornée surE.

SoitXun espace métrique.

1.

Soit (Fn)nune suite décroissante de fermés deXet soit(xn)nune suite convergente telle quexn2Fnpour

toutn>0. Montrer que limn!¥xn2\ n>0F n:

Donner un exemple pour lequel

T n>0Fn=/0. 2. Soit maintenant (Kn)nune suite décroissante decompactsnon vides deX. Vérifier queK=T n>0Knest non vide et que tout ouvertWqui contientKcontient tous lesKnà partir d"un certain rang. SoitXun espace topologique etf:X[0;1]!Rcontinue. Montrer que l"applicationg:x2X!R1

0f(x;y)dy

est continue. 1 SoitEun espace normé. SiAetBsont deux parties deE, on noteA+Bl"ensemblefa+b;a2Aetb2Bg. 1. Montrer que si Aest compact etBest fermé, alorsA+Best fermé. 2. Donner un e xemplede deux fermés de R2dont la somme n"est pas fermé.

Soitf:Rn!Rnune application continue. Elle est ditepropresi pour tout compactKRn, l"image réciproque

f

1(K)est compact.

1. Montrer que, si fest propre, alors l"image parfde tout fermé deRnest un fermé. 2.

Établir l"équi valencesui vante:l"application fest propre si et seulement si elle a la propriété:

kf(x)k !¥quandkxk !¥: SoitE=ff:[0;1]!Rcontinueg. On munitEde la métriqued¥(f;g) =supt2[0;1]jf(t)g(t)j. Montrer que

la boule unité fermée deEn"est pas compact (on pourra construire une suite dont aucune sous suite n"est de

Cauchy).

Que peut-on dire de la boule unité fermée del¥(l"espace des suites bornées muni de la norme sup)?

Soit(X;d)un espace métrique, soit(Y;d)un espace métrique compact et soitf:X!Yune application dont

le graphe

G=f(x;f(x))x2Xg XY

est fermé dansXY. Notonsp:G!Xetq:G!Yles restrictions des deux projectionsp(x;y) =xet Soit(X;d)un espace métrique compact etf:X!Xune application vérifiant d(f(x);f(y))Justifier que fpeut avoir au plus un point fixe. 2. Montrer que les ensembles Xn=fn(X),n2N, forment une suite décroissante de compacts et queY=T n>0Xnn"est pas vide. 3.

Montrer que Yest un ensemble invariant, i.e.f(Y) =Y, et en déduire que le diamètre de cet ensemble

est zero. 4. Conclure que fa un unique point fixep2Xet que pour toutx02Xla suitexn=fn(x0)!p, lorsque n!¥. 2 Soient(E;d)un espace métrique compact etf:E!Eune application vérifiant d(f(x);f(y))>d(x;y)pour toutx;y2E: On se propose de montrer quefest une isométrie surjective. Soienta;b2Eet posons, pourn>1,an= f n(a) =ffn1(a)etbn=fn(b). 1. Montrer que pour tout e>0, il existek>1 tel qued(a;ak)On se donne une métriquedsurX= [0;1]telle que l"identitéi:(X;j:j)!(X;d)soit continue (i.e. la topologie

définie pardest moins fine que la topologie usuelle deX). 1. Montrer que tout sous-ensemble de Xcompact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie définie pard; puis montrer cette propriété pour les fermés. 2. En déduire que la topologie définie par dest la topologie usuelle. Indication pourl"exer cice1 N1.Remarquer si Uaest un voisinage dea, alorsAS a2AUa. 2.

Raisonner par l"absurde et construire une suite (xn)dont aucun élément n"est dansUet une suite(yn)de

K. Quitte à extraire une sous-suite se débrouiller pour qu"elle converge vers la même limite.Indication pourl"exer cice2 NUtiliser qu"un ensembleKest compact si et seulement si de toute suite d"éléments deKon peut extraire une

sous-suite convergente vers un élément deK.Indication pourl"exer cice3 NExtraire des sous-suites...

Indication pour

l"exer cice

7 NOn pourra utiliser la caractérisation de la fermeture par des suites.

Indication pour

l"exer cice

8 N1.Utiliser la caractérisation de la fermeture par des suites.

2. Remarquer que " kf(x)k !¥quandkxk !¥" est équivalent à "8M>09m>08x2Rn(x=2B(0;m))f(x)=2B(0;M)):00Indication pourl"exer cice11 N1.... 2.

Utiliser l"e xercice

4 3.

Montrer f(Y)YpuisYf(Y).

4. Diamètre zéro implique ensemble réduit à un singleton. 4

Correction del"exer cice1 N1.(a) Si Aest compact etB=fbgavecb=2A. Soita2Aalorsa6=bdonc il existe un voisinage ouvert de

a,Uaet un voisinage ouvert deb,Vatels queUa\Va=?. Bien évidemmentAS a2AUa. Comme Aest compact on peut extraire un ensemble finiAAtel queAS a2AUa=:Ub. Notons alors V b:=T a2AVa.Ubest ouvert comme union d"ouverts etVbest ouvert comme intersectionfinie d"ouverts. De plusUb\Vb=?. (b) Maintenant Best compact. Pour chaqueb2Ble point précédent nous fournitUbetVbdisjoints qui sont des voisinages ouverts respectifs deAetb. On aBS b2BVb. On extrait un ensemble finiB de telle sorte queBS b2BVb=:V0.V0est un voisinage ouvert deB. Et siU0:=T b2BUbalors U

0est un ouvert contenantA, etU0\V0=?.

2.

Supposons que ce ne soit pas vrai alors

8r>09x2X(d(x;K)

En prenantr=1n

,n2Nnous obtenons une suite(xn)tel qued(xn;K)<1n etxn=2U. Commed(xn;K)< 1n alors il existeyn2Ktel qued(xn;yn)<1n . Nous avons une suite(yn)dansKcompact donc on peut en extraire une sous-suiteyf(n)qui converge ; notons`sa limite, alors`2KcarKest compact. Regardons la suite extraite(xf(n)), montrons quelle converge également vers`: d(xf(n);`)6d(xf(n);yf(n))+d(yf(n);`)

Les deux termes à droite de l"inégalité tendent vers 0, donc(xf(n))tend vers`. SoitF=XnUalorsFest

une fermé (carUest ouvert) et(xf(n))2Fdonc la limite`est dansFégalement. Donc` =2Uet comme KUalors` =2K. Nous avons montrer deux choses contradictoires`2Ket` =2Kce qui prouve le

résultat demandé.Correction del"exer cice2 NNous allons utiliser le fait qu"un ensembleKest compact si et seulement si de toute suite d"éléments deKon

peut extraire une sous-suite convergente vers un élément deK. Soit(un)n2Nune suite convergente et soit`sa limite. Notons

K=funjn2Ng[f`g:

Soit(vn)une suite d"éléments deK. Si(vn)ne prend qu"un nombre fini de valeurs, on peut extraire une sous-

suite constante, donc convergente. Sinon(vn)prend une infinité de valeurs. Nous allons construire une suite

convergente(wn)extraite de(vn). Soitw0le premier des(v0;v1;v2;:::)qui appartient àfu0;u1;:::g. Soitw1

le premier des(v1;v2;:::)qui appartient àfu1;u2;:::g... Soitwnle premier des(vn;vn+1;:::)qui appartient à

fun;un+1;:::g. Alors(wn)est une suite-extraite de(vn)et par construction(wn)converge vers la limite de(un),

donc vers`2K.Correction del"exer cice3 N1.Notons `=dist(K;F). Alors il existe(xn)suite d"éléments deKet(yn)suite d"éléments deFtelles que

kxnynk !`. CommeKest compact alors on peut extraire de(xn)une sous-suite(xf(n))qui converge dansK. Notonsa2Kcette limite Alors la suite extraite(yf(n))est bornée car kyf(n)k6kyf(n)xf(n)k+kxf(n)k:

La suite(xf(n))qui converge est donc bornée, et la suite(kyf(n)xf(n)k)qui converge dansR(vers`) est

bornée également. Donc la suite(yf(n))est bornée on peut donc en extraire une sous-suite convergente

(yfy(n)). De plus commeFest fermé alors cette suite converge versb2F. La suite(xfy(n))extraite de(xf(n))converge versa2K. Et comme nous avons extrait deux suites(xn)et(yn)on a toujours kxfy(n)yfy(n)k !`. A la limite nous obtenonskabk=`aveca2Ketb2F. 5

2.Remarque : si Kétait supposé fermé mais pas compact alors le résultat précédent pourrait être faux. Par

exemple pourK=f(x;y)2R2jxy>1 ety>0getF=f(x;y)2R2jy60gnous avonsd(K;F) =0 maisK\F=?.Correction del"exer cice4 NCommeEest compact etES y2EVyil existe un ensemble finiYEtel queES y2YVy. Sur chaque voisinageVy,fest bornée par une constanteMy. NotonsM=maxy2YMy. Alorsfest bornée surEparM. En effet pour un élément quelconquex2E, il existey2Ytel queyVydoncf(x)est bornée parMydonc par

M.Correction del"exer cice5 N1.Soit x=limxn. SoitN2N; montrons quexest dansFN. On axN2FN,xN+12FN+1FN,xN+22

F N+2FN+1FN, etc. Donc pour toutn>Nalorsxn2FN. CommeFNest fermé, alors la limitexest aussi dansFN. Ceci étant vrai quelque soitN, alorsx2T NFN.

Pour construire un exemple comme demandé il est nécessaire que de toute suite on ne puisse pas extraire

de sous-suite convergente. Prenons par exemple dansR,Fn= [n;+¥[, alorsT nFn=?. 2. (a) Pour chaque non prendxn2Kn, alors pour toutn,xn2K0qui est compact donc on peut extraire une sous-suite convergente. Sixest la limite de cette sous-suite alorsx2K. DoncKest non vide. (b)

P arl"absurde supposons que c"est f aux,alors

8N2N9n>N9xn2Kntel quexn=2W:

De la suite(xn), on peut extraire une sous-suitexf(n)qui converge versx2K. Orxn2XnWqui est

fermé doncx2XnW. CommeKWalorsx=2Kce qui est contradictoire.Correction del"exer cice6 NSoitx2Xete>0.

1. Pour tout y2[0;1]fest continue en(x;y)donc il existe unU(y)voisinage dexet[a(y);b(y)]voisinage deytel que pour(x0;y0)2U(y)[a(y);b(y)]on aitjf(x;y)f(x0;y0)j6e. 2.

Comme [0;1]S

y2[0;1][a(y);b(y)]et que[0;1]est un compact deRil existe un ensemble finiYtel que [0;1]S

y2Y[a(y);b(y)]. De plus quitte à réduire les intervalles ont peut supposer qu"il sont disjoints et

quitte à les réordonner on peut supposer que ce recouvrement s"écrit : [0;1] = [0;t1][[t1;t2][:::[tk;1]: 3.

Notons U=T

y2YU(y), c"est un voisinage dexcar l"intersection est finie. Pourx02Unous avons jg(x)g(x0)j=Z 1

0f(x;y)dyZ

1

0f(x0;y)dy

6 Z 1

0jf(x;y)f(x0;y)jdy

6 Z t1

0jf(x;y)f(x0;y)jdy+Z

t2 t 1+Z 1 t kjf(x;y)f(x0;y)jdy

6e(t10)+e(t2t1)++e(1tk)

6e

Doncgest continue.

6

Correction del"exer cice7 N1.Pour montrer que A+Best fermé, nous allons montrer que toute suite deA+Bqui converge, converge

vers un élément deA+B. Soit(xn)un suite deA+Bqui converge versx2E. Alors il existean2Aet b n2Btel quexn=an+bn. CommeAest compact on peut extraire une sous-suite(af(n))qui converge versa2A. Alorsbf(n)=xf(n)af(n)est convergente versxa. Notonsb=xacommeBest fermé alorsb2B. Maintenantx=a+bdoncx2A+B. 2. Soit F=f(x;y)2R2jxy>1 etx>0g, soitG=f(x;y)2R2jy60 etx>0g. AlorsF+G=f(x;y)2 R

2jx>0gqui n"est pas un fermé.Correction del"exer cice8 N1.Supposons fpropre et soitFun fermé. Montrons quef(F)est un fermé. Soit(yn)une suite def(F)qui

converge versy2Rn. NotonsKl"union defyngn2Net defyg. AlorsKest compact. Commeyn2f(F), il existexn2Ftel quef(xn) =yn. En faitxn2f1(K)qui est compact carfest propre. Donc de(xn)on peut extraire une sous-suite convergente(xf(n)), on notexla limite de cette sous-suite. Commexf(n)2F et queFest fermé alorsx2F. Commefest continue alorsyf(n)=f(xf(n))tend versf(x), oryf(n)tend aussi versy. Par unicité de la limitey=f(x). Doncy2f(F)etf(F)est fermé. 2. Dire kf(x)k !¥quandkxk !¥est équivalent à

8M>09m>08x2Rn(x=2B(0;m))f(x)=2B(0;M)):

(a) Supposons fpropre, soitM>0. AlorsB(0;M)est un compact (nous sommes dansRn) donc f

1(B(0;M))est compact donc borné, c"est-à-dire qu"il existem>0 tel quef1(B(0;M))

B(0;m). Donc six=2B(0;m)alorsf(x)=2B(0;M).

(b) Réciproquement, soit Kun compact deRn. Commefest continue et queKest fermé alorsf1(K) est un fermé. Reste à montrer quef1(K)est borné. CommeKest compact alors il existeM>0 tel queKB(0;M), par hypothèse il existem>0 tel que six=2B(0;m)alorsf(x)=2B(0;M), ce qui s"écrit aussi par contraposition : "sif(x)2B(0;M)alorsx2B(0;m)", doncf1(B(0;M)) B(0;m). OrKB(0;M)doncf1(K)f1(B(0;M))B(0;m). Doncf1(K)est borné donc

compact.Correction del"exer cice9 N1.Soit fnla fonction affine suivantefn(t) =0 pourt2[0;1n+1]et pourt2[1n

;1]. Sur[1n+1;1n ]on définit

une "dent" qui vaut 0 aux extrémités et 1 au milieu du segment. Alors siBdénote la boule unité fermée

(centrée en la fonction nulle), nous avonsd¥(fn;0) =supjfn(t)j=1 doncfn2B. Par contre sip6=q

alorsd(fp;fq) =1 donc la suite(fn)et toute sous-suite ne sont pas de Cauchy. SiBétait compact alors

on pourrait extraire une sous-suite convergente donc de Cauchy. Contradiction. 2.

Notons xn= (0;0;:::;0;1;0;0;:::)la suite del¥(le 1 est à lan-ième place). Alorsxnest dans la boule

unité ferméeBcentrée en 0. De plus sip6=q, alorsd¥(xp;xq) =1. Donc toute sous-suite extraite de(xn)

n"est pas de Cauchy donc ne peut pas converger. DoncBn"est pas compact.Correction del"exer cice11 N1.Si fa deux points fixesx6=y, alorsd(x;y) =d(f(x);f(y)) plus un point fixe. 7

2.fest continue etXcompact doncX1=f(X)est compact, par récurrence siXn1est compact alors

X n=f(Xn1)est compact. De plusf:X!X, doncf(X)XsoitX1X, puisf(X1)f(X)soit X

2X1, etc. Par récurrenceXnXn1 X1X. Comme chaqueXnest non vide alorsYn"est pas

vide (voir l"exercice 4 3. Montrons d"abord que f(Y)Y. Siy2Y, alors pour toutn>0 on ay2Xndoncf(y)2f(Xn) =Xn+1 pour toutn>0. Donc pour toutn>0,f(y)2Xn, orf(y)2X0=X. Doncf(y)2Y. Réciproquement montronsYf(Y). Soity2Y, pour chaquen>0,y2Xn+1=f(Xn). Donc il existe x n2Xntel quey=f(xn). Nous avons construit(xn)une suite d"élément deXcompact, on peut donc en extraire une sous-suite convergente(xf(n)). Notonsxla limite, par l"exercice4 ,x2Y. Alorsy=f(xf(n)) pour toutnetfest continue donc à la limitey=f(x). Doncy2f(Y). Soity6=y02Ytel qued(y;y0) =diamY>0. CommeY=f(Y)alors il existex;x02Ytel quey=f(x) ety0=f(x0). Ord(y;y0) =d(f(x);f(x0))strictement plus grand que le diamètre deYce qui est absurde. Doncy=y0et le diamètre est zéro.

4. Comme le diamètre est zéro alors Yest composé d"un seul pointfpget commef(Y)=Yalorsf(p)=p. Doncpa un point fixe et nous savons que c"est le seul. Par la construction deYpour tout pointx02Xla

suitexn=fn(x0)converge versp.Correction del"exer cice12 N1.Comme EEest compact alors de la suite(an;bn)on peut extraire une sous-suite(af(n);bf(n))qui

convergevers(a¥;b¥). Soite>0ilexisten2Ntelquesik>nalorsd(af(k);a¥)Donc en particulierd(af(n+1);af(n))6d(af(n+1);a¥)+d(a¥;af(n)) d(ak;bk0)6d(ak+1;bk0+1)>. Doncd(af(n+1)f(n);a0)6d(af(n+1)f(n)+1;a1)6:::6d(af(n+1)1;af(n)1)6 d(af(n+1);af(n))0 alors il existek>1 tel queak=fk(a)2f(E)avecd(a;ak)compact alors son diamètre est borné, donc(un)est majorée. La suite(un)est croissante et majorée

donc converge versu.

Maintenantunu0>0 et

06unu0=d(an;bn)d(a;b)6d(an;a)+d(a;b)+d(b;bn)d(a;b) =d(an;a)+d(bn;b):

Doncuntend versu0. Comme(un)est croissante alorsun=u0pour toutn. En particulieru1=u0 doncd(a1;b1) =d(a0;b0)soitd(f(a);f(b)) =d(a;b). Doncfest une isométrie.

(c)fest une isométrie donc continue (elle est 1 lipschitziènne !).Eest compact doncf(E)est compact

donc fermé orf(E)est dense doncf(E) =E. Doncfest surjectiveCorrection del"exer cice13 NDire quei:(X;j:j)!(X;d)est continue c"est exactement dire que tout ensembleUouvert pourdest ouvert

pourj:j(cari1(U) =U). 1.

Soit Kun compact pourj:j. SoitUi,i2Itels queKS

i2IUiet tels queUisoient des ouverts pourd.

Alors lesUisont aussi des ouverts pour la topologie définie parj:j. CommeKest compact pourj:jalors

on peut extraire un ensemble finiJItel queKS i2JUi. DoncKest aussi compact pourd. SiFest un fermé pourj:jalorsF[0;1]est compact pourj:jDonc compact pourd, donc fermé pourd. 8

2.Si Uest un ouvert pourdalorsUest un ouvert pourj:j. Cariest continue. Réciproquement siUest

un ouvert pourj:jalorsF=XnUest un fermé pourj:jdoncFest un fermé pourdpar la question précédente, doncU=XnFest un ouvert pourd. Conclusion les ouverts pourj:jetdsont les mêmes doncj:jetddéfinissent la même topologie.9quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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