[PDF] Cours dAnalyse Fonctionnelle Exemple 1.1.3 (1)

View - Download Cours dAnalyse Fonctionnelle

Previous PDF

Next PDF

Cours d"Analyse Fonctionnelle

Mostafa MBEKHTA

2016-2017

2

Chapitre 1

Espaces Métriques

1.1 Définitions et premières propriétés

Définition 1.1.1SoitEun ensemble. Unedistance(ou métrique) surE est une application d:EE!R; possédant les propriétés suivantes : (I)d(x;y)0pour toutx;y2E; (II)d(x;y) = 0()x=y; (III)d(x;y) =d(y;x)pour toutx;y2E; (IV)d(x;z)d(x;y) +d(y;z)pour toutx;y;z2E(inégalité triangulaire).

Dans ce cas,(E;d)est appeléespace métrique.

Remarque 1.1.2(1) Les conditions(II);(III);(IV)impliquent(I). En effet, il suffit de prendrez=xdans(IV), puis utiliser(II)et(III). (2) Soit(xn)nune suite dansE. Alors, en utilisant(IV), on obtient pour n3, d(x1;xn)n1X k=1d(xk;xk+1): (3) Si(E;d)est un espace métrique alors pour toutx;y;z2E, on a jd(x;z)d(y;z)j d(x;y): Exemple 1.1.3(1) Les espaces normés, seront étudiés dans le prochain pa- ragraphe. Si(E;k:k)est un espace normé alors(E;d)est un espace métrique avecd(x;y) =kxyk. (2)(R;d)avecd(x;y) =jxyjest un espace métrique. 3

4CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

(3)([0;1];d)avecd(x;y) =jxyjest un espace métrique. (4)E=]0;+1[etd(x;y) =j1x 1y j; x;y2E. Alors(E;d)est un espace métrique. (5)Eun ensemble non vide, posonsd(x;y) = 1six6=yetd(x;y) = 0si x=y. Alors(E;d)est un espace métrique dit,espace métrique discret. (6) SoitE=Lp([0;1]);0< p <1etd(f;g) =R1

0jfgjp; f;g2E. Alors

(E;d)est un espace métrique.

Notons que la quantité(f) = (R1

0jfjp)1p

; f2Lp([0;1]);0< p <1;n"est pas une norme.

Exercice 1.1Soit(

;;)un espace mesuré et0< p <1. (1) Montrer par un exemple quekfkp= (R jf(x)jpd)1p n"est pas une norme surLp( (On pourra considérer = [0;1]; =la mesure de Lebesgue etf=[0;12 etg=[12 ;1[). (2) Montrer que pour touta;b2R+;(a+b)pap+bp. (On pourra étudier les variations de la fonctionhp(t) = (1+t)p1tp; t2 R +et0< p <1).

En déduire queLp(

;)est un espace vectoriel. (3) Pourf;g2Lp( ;), on posed(f;g) =R jf(x)g(x)jpd.

Montrer qued(:;:)est une distance surLp(

(4) Montrer queLp( ;)muni ded(:;:)est complet. Notations :Soit(E;d)un espace métrique etx02Eetr >0, on notera dans la suite :

B(x0;r) =fx2E;d(x;x0)< rgla boule ouverte de centrex0et de rayonr.B(x0;r) =fx2E;d(x;x0)rgla boule fermée de centrex0et de rayonr.

Un sous-ensemble

Eest ditouvertdansEsi pour toutx2

, il exister >0tel queB(x;r) Un sous-ensembleAEest ditfermési son complémentaire,Ac=

EnA, est un ouvert deE.

Remarque 1.1.4(1) Par exemple toute boule ouvertB(x0;r)est un ouvert deE. En effet six2B(x0;r), alorsd(x0;x) =s < r. Donc,rs >0et

B(x;rs)B(x0;r).

(2) L"union de toute famille d"ensembles ouverts est un ouvert et donc l"in- tersection de toute famille d"ensembles fermés est un fermé deE. Aussi, l"intersection (resp. l"union) finie d"ensembles ouverts (resp. fermés) est un ouvert (resp. fermé) deE. (3) L"espace entierEet l"ensemble vide;, sont ouverts et fermés.

1.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS5

Soit(E;d)un espace métrique etx02E. Un sous-ensembleVdeE est ditvoisinagedex0si9r >0tel queB(x0;r)V.

Remarque 1.1.5(1) Tout voisinage dex0contientx0.

(2) Tout sous-ensemble contenant un voisinage dex0est un voisinage de x 0. (3) L"intersection de voisinages dex0est un voisinage dex0. La famille des voisinages d"un point est en général "inutilement" vaste. D"où la notion de "systèmes fondamentaux" de voisinages. Définition 1.1.6On appellesystème fondamental de voisinagedex0 toute familleVx0de voisinage dex0vérifiant8Wvoisinage dex0;9V2Vx0tel queVW. Exemple 1.1.7fB(x0;r);r >0g;fB(x0;r);r >0g;fB(x0;1n );n2Ng, sont des systèmes fondamentaux de voisinages dex0. Noter que le dernier exemple montre que dans un espace métrique tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages. D"où l"im- portance du rôle des suites dans la topologie des espaces métriques.

SiAE, l"union de tout les ouverts

A, (c"est le plus grand ouvert

contenu dansA), est appelél"intérieurdeAet sera notéA.

A=fx2A;9r >0;B(x;r)Ag:

L"intersection de tout les fermésFA, (c"est le plus petit fermé

contenantA), est appelél"adhérence(ou lafermeture) deAet sera notéA.A=fx2E;8r >0;B(x;r)\A6=;g:

L"ensemble@A=AnAest appelé lafrontièredeA.

Aest ditdensedansEsiA=E.

x02Aest ditpoint isolédansAsi9r >0; B(x0;r)\A=fx0g. Dans ce cas on notera,x02iso(A). x02Eest ditpoint d"accumulationdeAsi

8r >0;[B(x0;r)n fx0g]\A6=;:

Dans ce cas on notera,x02acc(A).

Définition 1.1.8Aest ditnulle part dense (ou ensemble rare)dans EsiA=;(i.e l"intérieur de l"adhérence deAest vide).

6CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

Remarque 1.1.9SiAest nulle part dense alors,

E= (;)c= (A)c=(A)c=

Autrement dit, on a l"équivalence :

Aest nulle part dense si et seulement si son complémentaireAca un intérieur dense. Remarque 1.1.10(1)Aest un ouvert si et seulement siA=A. (2)Aest un fermé si et seulement siA=A. (3)A=acc(A)[iso(A). Exemple 1 :SoitA=]0;1][f2g E=Rmuni de la distanced(x;y) = jxyj. AlorsA=]0;1[;A= [0;1][f2g;acc(A) = [0;1];iso(A) =f2g;@A= f0;1;2g.

Exemple 2 :A=QE=Rmuni de la distanced(x;y) =jxyj.

AlorsQ=R;Q=;et@Q=R.

Exercice 1.2Soit(E;d)un espace métrique etAun ensemble deE.

Montrer que

A= (A c)c

SolutionOn a :

AA)Ac(A)c)A

c(

A)c= (A)c)A(A

c)c:

AussiAcA

c)(A c)cA. Mais(A c)cest un ouvert. Donc(A c)cA.

AinsiA= (A

c)c. Exercice 1.3Soit(E;d)un espace métrique etA; BEdeux ensembles.

Montrer que :

(i)

ûA\B=A\B.

(ii) A[B

ûA[B.

(iii)A[B=A[B. (iv)A\BA\B. (v) SiBest ouvert, alorsA\BA\B.

1.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS7

Exercice 1.4Soit(E;d)un espace métrique etAun ensemble deE. (1) Supposons queAest ouvert ou fermé. Montrer que la frontière,@A, de

Aest nulle part dense dansE.

(2) Sans l"hypoth`se "Aouvert ou fermé", est-ce que la conclusion de (1) reste vraie?

Solution(1) Puisque,@A=@Ac=A\A

c, on peut supposer queAest fermé. D"où,

÷@A=

üA\A

c=

üA\A

c=A\A cA\A c=A\(A)c=;: @A=A\A cest fermé comme intersection de deux fermés, d"où

÷@A=÷@A=;:

Ceci montrer que@Aest nulle part dense dansE.

(2)Sans l"hypothèse "Aouvert ou fermé" la conclusion n"est pas vraie en général. Par exempleE=R;j:jetA=Q. Alors@A=R=E. Soit(E;d)un espace métrique etAEun sous-ensemble. Alors(A;d) est un espace métrique (Topologie induite ou relative).

AAest un

ouvert relativement àAsi8x2

A;9r >0tel que siy2Avérifiant

d(x;y)< r, alorsy2A.

Remarque 1.1.11(1) Un ensemble

AApeut être un ouvert relative-

ment àAsans être un ouvert deE.

ExempleE=R2;A=R f0get

A=]0;1[f0g.

(2) un sous-ensemble

AAest un ouvert relativement àAsi et seulement

si il existe un ouvert deEtel que A=A\

Une suite(xn)ndansE,convergeversx2E(on notexn!xou

lim n!1xn=x) silimn!1d(xn;x) = 0

Une suite(xn)ndansEest dite deCauchysi

8" >0;9N2N;tel que8n;pN;d(xn;xp)":

Toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque n"est pas vraie en général. D"où la définition suivante : Un espace métriqueEest ditcompletsi toute suite de Cauchy dans

Econverge dansE.

Soit(E;d)un espace métrique et(xn)nune suite deE. Une suite(yn)n est ditesuite extraite (ou sous-suite)de(xn)nsi il existe':N!Nune

8CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

application strictement croissante telle queyn=x'(n);8n2N. Soit(E;d)un espace métrique un élémenta2Eest ditvaleur d"adhé- rencede la suite(xn)nsi il existe une suite(x'(n))nextraite de(xn)ntel que (x'(n))nconverge versa. Remarque 1.1.12(1)a= limn!+1xnsi et seulement sia= limn!+1x'(n) pour toute suite extraite de(xn)n. (2) Siaest une valeur d"adhérence d"une suite extraite de(xn)nalors elle est aussi valeur d"adhérence de(xn)n. (3) Sia= limn!+1xnalorsaest l"unique valeur d"adhérence de(xn)n. La réciproque n"est pas vraie en général. ExempleSoitE=Rmuni de la métrique usuelle. Soit la suite(xn)ndéfinie parx2n=1n etx2n+1=n; n1. Alors0est l"unique valeur d"adhérence de (xn)nmais elle ne converge pas vers0. Proposition 1.1.13Soit(E;d)est un espace métrique et(xn)nune suite deE. Alors les conditions suivantes sont équivalentes (1)a2Eest une valeur d"adhérence de(xn)n; (2)8 >0;8p2N;9nptel qued(xn;a); (3)8p2N; a2A poùAp=fxn;npg; (4)aest un point d"accumulation defxn;n1gou bien l"ensemblefn2N;xn=agest infini. Remarque 1.1.14L"ensemble des valeurs d"adhérances d"une suite est fermé. En effet d"après la Proposition précédente il est égal à\p1A p. Soit(xn)nRla plus grande valeur d"edhérence (éventuellement+1) de(xn)nsera appeléelimsupxnet la plus petite valeur d"edhérence de (éven- tuellement1)(xn)nsera appeléeliminfxn.

Alors on a :

limsupxn= infnsup knxketliminfxn= sup ninfknxk: La suite(xn)nest convergente si et seulementlimsupxn= liminfxn.

SixnynpournNalors

limsupxnlimsupynetliminfxnliminfyn: Exemple,(1) Si(xn)ncontient tous les nombres rationnels alors limsupxn= +1etliminfxn=1:

1.2. FONCTIONS CONTINUES9

(2) Sixn= (1)n[1 +1n ]alors limsupxn= 1etliminfxn=1: Exercice 1.5Soit(E;d)un espace métrique et(xn)n;(yn)ndeux suites de E. (1) Montrer que si(xn)net(yn)nsont de Cauchy alorsd(xn;yn)converge dansR. (2)Montrer que si(xn)n;(yn)nconvergent versxetyrespectivement, alors lim n!+1d(xn;yn) =d(x;y): (3) Montrer qu"une suite de Cauchy converge si et seulement si elle admet une sous-suite convergente. Proposition 1.1.15Si(E;d)est un espace métrique,AEetx2A, alors (i)x2A()(ii)B(x;r)\A6=;;8r >0()(iii)x= limn!1xn;avec(xn)nA: PreuveSiB(x;r)\A=;alorsEnB(x;r)est un fermé contenantAmais pasx, doncx =2A. Réciproquement, six =2A, puisqueEnAest ouvert,

9r >0tel queB(x;r)EnAEnA. D"où(i)()(ii).

Supposons que(ii)est vraie, alors pour toutn2N;9xn2B(x;1n )\A. Clairement,xn!x. D"autre part, siB(x;r)\A=;, alorsd(x;y)rpour touty2A. Donc il n"existe pas de suite deAqui converge versx.

1.2 Fonctions continues

Soit(E;d)et(F;d0)des espaces métriques.

Une fonctionf:E!Fest ditecontinue enx02Esi

8" >0;9 >0;tel que8x2E;d(x;x0))d0(f(x);f(x0))":

fest dite continue surA, une partie deE, si elle est continue en tout points deAi.e.

8x2A;8" >0;9 >0;tel que8y2A;d(x;y))d0(f(x);f(y))":

fest diteuniformément continuesurAsi

8" >0;9 >0;tel que8x;y2A;d(x;y))d0(f(x);f(y))":

10CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

Remarque 1.2.1Le point le plus important dans la définition de la conver- gence uniforme, c"est que""ne dépend pas dex.

Théorème 1.2.2

(Con tinuitélo cale) Soit(E;d)et(F;d0)deux espaces métriques etf:E!Fune fonction. Alors les conditionns suivantes sont équivalentes. (1)fest continue enx2E; (2) pour tout voisinageWFdef(x); f1(W)est un voisinage dexdans E; (3) pour toute suite(xn)nEtelle quex= limn!+1xn, la suite(f(xn))n converge dansFet on a lim n!+1f(xn) =f( limn!+1xn) =f(x):

Théorème 1.2.3

(Con tinuitéglobale) Soit(E;d)et(F;d0)deux espaces métriques etf:E!Fune fonction. Alors les conditionns suivantes sont équivalentes. (1)fest continue dansE; (2) pour tout ouvertWF; f1(W)est un ouvert deE; (3) pour tout ferméWF; f1(W)est un fermé deE; (4) pour toute suite convergente(xn)nEla suite(f(xn))nest convergente dansFet on a limn!+1f(xn) =f( limn!+1xn): Exercice 1.6Soit(E;d)et(F;d0)deux espaces métriques etf:E!F une fonction. Montrer quefest continue dansEsi et seulement si pour tout ensembleWF; f1(W)f1(W);si et seulement si pour tout ouvert

WF; f1(W) =f1(W).

Exercice 1.7Soit(E;d)et(F;d0)deux espaces métriques etf:E!F une fonction. Montrer quefest continue dansEsi et seulement si pour tout ensembleWF; f1(W)f

1(W);si et seulement si pour tout fermé

WF; f1(W) =f

1(W). Deux résultats sur le prolongement des fonctions : Soitf:AE!Fune fonction définie surAensemble deE. On dira quefadmet unprolongementsi il existeef:E!Fune fonction définie surEtel queefjA=f. Théorème 1.2.4Soit(E;d);(F;d0)deux espaces métriques. SoitAun en- semble deEdense dansE. Soitf:A!F. Alorsfadmet un prolongement continu surEsi et seulement si8x2E;limy!x;y2Af(y)existe.

1.3. ENSEMBLES COMPACTS11

Théorème 1.2.5Soit(E;d);(F;d0)deux espaces métriques. SoitAun en- semble deEdense dansE. Soitf:A!F. Supposons queFest complet et funiformément continue. Alorsfadmet un prolongement continu surE.

De plus ce prolongement est unique.

Définition 1.2.6Soit(E;d)un espace métrique. UncomplétédeEest un espace métrique complet(^E;^d)tel que il existe une isométrie ':E!^Eà image dense dans^E(i.e.^E='(E)). Remarque 1.2.7(1) On rappelle qu"une isométrie est une application': E!^Eentre espaces métriques qui préserve la distance, i.e; d('(x);'(y)) =d(x;y)8x;y2E: (2) Souvent on identifieEà son image. Dans ce cas,Eest une partie dense de^E, telle que la métrique induite surEpar celle de^Esoit la métriqued. Théorème 1.2.8(1) Toute espace métrique admet un complété. (2) Soit(E;d)un espace métrique. Si(^E1;^d1)et(^E2;^d2)sont deux complé- tés deEet'1;'2les isométries deEdans^E1et^E2, il existe une unique isométrie surjective:^E1!^E2telle que'2='1. Remarque 1.2.9Le (2) du Théorème précédent dit que le complété d"un espace métrique est unique à une isométrie surjective près.

1.3 Ensembles compacts

Définition 1.3.1Soit(E;d)un espace métrique. un sous-ensembleKEest ditcompactsi pour tout recouvrement par des ouverts( )2I(i:eK [2I et ouvert dansE) deKil existe un sous-recouvrement fini deK(i.e il existeJIfini tel queK [j2J j). (Propriété deBorel-Lebesgue). Si l"ensemble entierEest compact, alors(E;d)est ditespace métrique compact. un sous-ensembleKEest ditrelativement compactsi son adhérenceKest compacte dansE. un sous-ensembleKEest ditprécompact(outotalement borné) si pour tout" >0;il existe un recouvrement fini deK, formé de boules ouvertes de rayon"(i.e8" >0;9fx1;x2;;xng Ktel queK [ni=1B(xi;")). Le Théorème suivant montre les liens entre ces différentes définitions.

12CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

Théorème 1.3.2Soit(E;d)un espace métrique etKEun sous-ensemble, alors (1)Bolzano-Weierstrass :Kest compact si et seulement si de toute suite deKon peut extraire une sous-suite convergente dansK. (2)Kest précompact si et seulement si de toute suite deKon peut extraire une sous-suite de Cauchy dansK. (3)Kest relativement compact si et seulement si toute suite de points deK possède une valeur d"adhérence dans E. Remarque 1.3.3Comme conséquence du Théorème précédent, on a : (1) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i)Kest compact; (ii)Kest précompact et complet; (iii)Kest relativement compact et fermé (2) Si(E;d)est complet alors, un sous-ensembleKdeEest précompact si et seulement si il est relativement compact. Théorème 1.3.4Soit(E;d)un espace métrique etKAE. AlorsK est compact relativement àEsi et seulement siKest compact relativement

àA.

Remarque 1.3.5Le Théorème précédent montre que, contrairement à la notion d"ouvert ou de fermé (voir Remarque 1.1.11), la compacité d"un sous- ensemble est une notion intrinsèque, ne dépend pas de l"espace dans lequel il est considéré. Ceci explique, entre autre, pour quoi on parle d"espace compact et pas d"espace ouvert ou espace fermé. Théorème 1.3.6SoitEun espace vectoriel métrique. Si la dimension de

Eest finie (en particulierE=RnouCn), alors :

(1) Une partie deEest compacte si et seulement si elle est fermée et bornée. (2) Une partie deEest relativement compacte si et seulement si elle est précompacte si est seulement si elle est bornée. Remarque 1.3.7Si la dimension deEest infinie, alors tout compact est fermé borné. Mais la réciproque n"est pas vraie. Exemple (d"ensemble fermé borné non compact).

SoitE=C([0;1]);k:k1et

f n(x) =8 >>:0si0x12 n+1; 2 n+2(x12 n+1)si12 n+1x312 n+2;

2n+2(x12

n)si312 n+2x12 n; 0 12 nx1

1.3. ENSEMBLES COMPACTS13AlorsH=ffn;n2Ng Eest un ensemble fermé borné. MaisHn"est

pas compact. En effet, on a :

8p;q2N; p6=qkfpfqk1= 1:

Théorème 1.3.8

(Théorème de T ychonoff) Soit(K)2une famille d"espaces compacts alors le produit E= 2K est compact. Théorème 1.3.9Soit(K;d)un espace métrique compact non vide etf: K!Rune fonction continue, alorsf(K)est borné et il existem;M2K tel queinfx2Kf(x) =f(m)etsupx2Kf(x) =f(M).

Dans ce cas on dit quefatteint ses bornes.

L"exercice suivant donne la réciproque du Théorème précédent.

14CHAPITRE 1. ESPACES MÉTRIQUES

Exercice 1.8Soit(E;d)un espace métrique.

Montrer queEest compacte si et seulement si toute fonction continue à valeur réelle atteint ses bornes. Théorème 1.3.10Soit(K;d)un espace métrique compact et(F;d0)un es- pace métrique. Sif:K!Fune fonction continue, alors elle est uniformé- ment continue. L"exercice suivant donne la la réciproque du Théorème précédent. Exercice 1.9Supposons que(E;d)un espace métrique tel que toute fonction continue deEdansRest uniformément continue. (a) Montrer queEest complet; (b) Montrer que siEadmet un nombre fini de points isolés alorsEest compact. (c) Donner un exemple d"espace métrique non compact qui admet cette propriété.

Exercice 1.10

(Un Théorème du Graphe fermé) Soit(E;d)et(F;d0)deux espaces métriques etf:E!Fune fonction. On appelle le graphe defle sous ensemble deEF, notéG(f), défini par

G(f) =f(x;y)2EF;y=f(x)g:

Le produitEFsera muni de la distance

((x1;y1);(x2;y2)) =d(x1;x2) +d0(y;y2);(x1;y1);(x2;y2)2EF: (1) Montrer que si(F;d0)est compact, alorsfest continue si et seulement siG(f)est fermé dansEF. (2) Est-ce que ce résultat reste vrai si on supprime l"hypothèse "(F;d0)est compact". Solution :Notons que(xn;yn)2EFconverge vers(x;y)si et seulement sixn!xetyn!y. Sifest continue, alorsxn!ximplique quef(xn)!f(x). D"autre part, f(xn) =yn!y. Par l"unicité de la limite,y=f(x)et donc(x;y)2G(f).

D"où le graphe defest fermé.

Réciproquement, supposons que(F;d0)est compact etG(f)est fermé. Sif n"est pas continue alors il existe(xn)nEet >0tel quexn!x2E etd0(f(xn);f(x)). PuisqueFest compact, on peut extraie une sous- suitef(x'(n)!y2F. Alors pour toutn;(x'(n);f(x'(n))2G(f)et

1.4. ESPACES NORMÉS15

(x'(n);f(x'(n))!(x;y)2EF. CommeG(f)est fermé,(x;y)2G(f) et doncy=f(x). Il résulte alors d

0(f(xn);f(x))!(f(x);f(x)) = 0;

contraduction avecd0(f(xn);f(x)). D"oùfest continue. (2) Soitf:R!Rdéfinie parf(x) =1x six6= 0etf(0) = 0. AlorsG(f)est fermé maisfn"est pas continue.

1.4 Espaces normés

Dans ce tout paragrapheEdésignera un espace vectoriel sur le corpsK (=RouC). D"abord, on donne la définition d"une semi-norme. Définition 1.4.1SoitEun espace vectoriel sur le corpsK(=RouC). L"applicationp:E!R+est ditesemi-normesi elle satisfait les propriétés suivantes : (I)p(x+y)p(x) +p(y);8x;y2E; (II)p(x) =jjp(x);8x2E;82K. Remarque 1.4.2(1) Par définitionp(x)0;8x2E. Cette propriété, on peut la déduire de(I)et(II). (2) la condition (II) implique que six= 0alorsp(x) = 0. La réciproque n"estquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

[PDF] définition compact maths

[PDF] espace fermé définition

[PDF] convertir photo en basse definition

[PDF] espace compact pdf

[PDF] lexique juridique marocain pdf

[PDF] les lois de la donation au maroc

[PDF] conversion pixel octet

[PDF] habiter un espace de faible densité

[PDF] exo7 matrice exercice

[PDF] habitude alimentaire definition

[PDF] guide de bonnes pratiques d'hygiène en pâtisserie

[PDF] propriété d archimède exercices

[PDF] partie entière inégalité

[PDF] espace numérique éducation

[PDF] portail numérique éducation