[PDF] 1 Lespace Rn 1.6 Ensembles compacts. Dé

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1 L"espaceRn

1.1 Produit scalaire, norme et distance dansRn

D´efinition

Six= (x1...xn) ety= (y1...yn) sont deux vecteurs deRn, on d´efinit leurproduit scalairepar : ?x,y?=x1y1+···+xnyn

D´efinition

On appellenormedex(ou longueur)?x?=?x,x?1/2et ladistanceentre deux vecteursd(x, y) =?x-y?.

Proposition

On a les propri´et´es suivantes :

(1)?x,y?=?y,x? (2)?x,y+z?=?x,y?+?x,z? (3)?αx,y?=α?x,y? (4)?x,x??0 avec?x,x?= 0 si et seulement six= 0

Th´eor`eme

Le produit scalaire v´erifie l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz?x,y?2??x?2?y?2avec ´egalit´e si et seulement si

xetysont colin´eaires.

Th´eor`eme

La norme d´efinie pr´ec´edemment s"appellenorme euclidienneet v´erifie : (i)?x?= 0 si et seulement six= 0 (ii)?x?>0 six?= 0 (iii)?αx?=|α| ?x? (iv)?x+y???x?+?y?

D´efinition

L"angleentre deux vecteurs non nuls estθ?[0, π] v´erifiant cosθ=?x,y??x? ?y?.

D´efinition

xetydeRnsont ditsorthogonauxsi et seulement si?x,y?= 0.

D´efinition(plan dansR3)

SoientA= (x0, y0, z0) un point deR3etN= (a, b, c) un vecteur non nul. Le plan passant parAet orthogonal `aNestP={x?R3/(x-A)·N= 0}.

1.2 Produit vectoriel dansR3

D´efinition

Six= (x1, x2, x3) ety= (y1, y2, y3) sont deux vecteurs deR3, on d´efinit leproduit vectorieldexet dey

par :x?y= (x2y3-x3y2, x3y1-x1y3, x1y2-y1x2). 1

Aide m´emoire : cela "vaut"det(

(i j k x 1x2x3 y

1y2y3)

Th´eor`eme

On a les propri´et´es suivantes :

(1)x?y=-y?x (2)x?(y+z) =x?y+x?z (3)αx?y=x?αy=α(x?y) (4)x·(x?y) = 0 ety·(x?y) = 0 (5)?x?y?2=?x?2?y?2-(x·y)2(identit´e de Lagrange)

Interpr´etation g´eom´etrique dex?y

?x?y?=?x? ?y?sinθest l"aire du parall´elogrammeengendr´e parxety.

1.3 Coordonn´ees polaires, cylindriques, sph´eriques

Plutˆot que de rep´erer un point (x,y) du planR2par ses coordonn´ees cart´esiennes dans le rep`ere orthonorm´e

form´e par la base canonique, on peut le faire au moyen de sa distance `a l"origine et de l"angle form´e par le

premier vecteur de la base canonique et le vecteur (x,y). La distance `a l"origine est d´efinie au moyen du produit

scalaire comme ci-dessus. L"angle n"est pas d´etermin´e de mani`ere unique. Plusieurs choix sont possibles. On

peut ainsi d´efinir les coordonn´ees polaires d"un point du plan au moyen de l"application suivante :

On aurait pu choisir (le choix est tout aussi bon) de faire varierθdans [-π,π[. On n"attribue g´en´eralement pas

de coordonn´ees polaires au point origine : il est facile de d´efinir sa distance `a l"origine, l"angle n"aurait pas de

sens. DansR3on d´efinit les coordonn´ees sph´eriques d"un point au moyen de l"application

]0,+∞[×[0,2π[×]0,π[→R3(ρ,θ,φ)?→(ρcosθsinφ,ρsinθsinφ,ρcosφ).Le couple (ρ,θ) forme les coordonn´ees polaires de la projection du point sur le plan d"´equationz= 0. L`a encore

on aurait pu choisir d"autres intervalles pour domaines deθetφ. En g´eographie par exemple la latitude qui

correspond `aφvarie de-90 `a 90 degr´es et c"est l"angle avec le plan de l"´equateur qui la d´efinit (pas l"angle

avec l"axe pˆole sud pˆole nord). Pour une illustration tr`es parlante des coordonn´ees polaires on pourra regarder

le premier chapitre du film dimensions 11 http://www.dimensions-math.org/Dimfr.htm 2

1.4 Topologie deRn

D´efinition

Soienta?Rnetr >0.

On appelleB(a, r) ={x?Rn/?x-a?< r}laboule ouvertede centreaet de rayonr.

Exemple

DansR,R2ouR3on retrouve les intervalles, les disques, les boules ouvertes.

Proposition

SoientA?Rn, a?Rn.

Alors une des trois conditions suivantes est v´erifi´ee : (i)?r >0 tel queB(a, r)?A (ii)?r >0 tel queB(a, r)?Aco`uAc=Rn\A (iii)?r >0, B(a, r) contient des points deAet deAc.

D´efinition

L"int´erieurdeA(not´e int(A) ou◦A) est l"ensemble des points deRnv´erifiant (i). L"ext´erieurdeA(not´e extA) est l"ensemble des points deRnv´erifiant la condition (ii). Lafronti`eredeA(not´ee∂A) est l"ensemble des points deRnv´erifiant la condition (iii). LafermeturedeA(not´eeA) est la r´eunion deAet de∂A.

Exemples dansR2

A={x?R2/?x?<1}

A={(n,0)/n?Z}

D´efinition

Un ensembleAdeRnest :

(i)ouvertsi?a?A,?r >0 tel queB(a, r)?A (ii)ferm´esiAcest ouvert.

Proposition

Aest ouvert si et seulement si◦A=A.

Aest ferm´e si et seulement siA=A.

Exemples

A

1={(x, y)/x2+y2<1}est ouvert.

A

2={(x, y)/x2+y2?1}est ferm´e.

A

3=A1? {(1,0)}n"est ni ouvert ni ferm´e.

]0,1[?Rest ouvert dansR. ]0,1[×{0} ?R2n"est ni ouvert ni ferm´e. [0,1]?Rest ferm´e dansR. [0,1]× {0} ?R2est ferm´e dansR2.

Proposition

1.Rnet?sont ouverts (et donc aussi ferm´es).

2. Toute r´eunion d"ouverts est un ouvert.

3. Toute intersection finied"ouverts est un ouvert.

3

1.5 Suites dansRn

D´efinition

Une suite dansRnest une famille de vecteursxk= (x(k)

1,...,x(k)n) index´ee par l"ensemble des entiers naturels

(xk)k?N. Chaque terme de la suitexkest un vecteur avec sesncoordonn´ees.

D´efinition

Une suite (xk)k?NconvergedansRnversb?Rnsi?ε >0,?N?Ntel quek?Nentraˆıne?xk-b?< ε.

De mani`ere ´equivalente on peut d´efinir la convergence d"une suite de vecteurs (xk) par la convergence de chacune

des suites r´eelles donn´ees par les coordonn´eesx(k) i,iallant de 1 `an,kvariant dansN(les suites des coordonn´ees sont index´ees par k et il y en an: (x(k) i)k?N).

Une autre fa¸con de dire que la suite (xk) tend versbest de dire que la suite r´eelle de nombre positifs ou nuls

(d(xk,b))k?Ntend vers 0.

Remarques

1. On dit quebestla limitede la suite (xk) et on notexk→b.

2.xk→bsi et seulement si?ε >0 la bouleB(b, ε) contient toute la suite sauf un nombre fini dexk.

Proposition

Aest ferm´e si et seulement si pour toute suite convergente contenue dansAet convergente, la limite est

dansA.

Cette proposition fournit un crit`ere pour d´emontrer qu"un ensembleAn"est pas ferm´e : il suffit de trouver une

suite de points deAconvergeant vers un point n"appartenant pas `aA.

Th´eor`eme

Soit (xk) une suite born´ee. Il existe une sous-suite de (xk) convergeant dansRn.

1.6 Ensembles compacts

D´efinition

X?Rnest compact siXest ferm´e et born´e (born´e veut dire qu"il existeR >0 tel queX?B(0, R)).

Exemples

[0,23] est un compact dansR. [2,3]×[1,3]×[5,7] est un compact dansR3.

Th´eor`eme(Bolzano-Weierstrass)

SoitX?Rncompact.

Alors toute suite (xk)?Xcontient une sous-suite (xlk) qui converge vers un point deX. 4quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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