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"mathL3" - 2009/5/19 - 13:48 - page 5 - #22

Chapitre 1

ESPACES TOPOLOGIQUES

C echapitre a pour but d"introduire les notions générales dans un cadre abstrait et de don- ner les premiers exemples. Il ne présente aucune diculté, mais toutes les dé"nitions et propriétés doivent être parfaitement connues

. Deux cas particuliers importants despacestopologiques seront étudiés en détail dans la suite : les espaces métriques dans le chapitre 5 et

les espaces vectoriels normés, qui sont des espaces métriques particuliers, dans le chapitre 7.

Après avoir donné les premières dé"nitions, nous introduisons dans ce chapitre et dans les deux

suivants les notions que lon peut dé"nir à partir dune topologie, sans avoir besoin doutils

supplémentaires.

I. Topologies, notions ensemblistes associées

Ce paragraphe définit la structure d"espace topologique, obtenue en adjoignant à un ensembleE donné un ensemble de parties deEvérifiant des propriétés naturelles.

I.1.Définitions et exemples

Définition 1.1. (Topologie, ouvert).Une topologie sur un ensembleEest une partieTde P(E)qui vérifie les propriétés suivantes :

1.∅T,ET.

2. Lintersection de deux éléments deTest un élément de

T.

3. La réunion ("nie ou in"nie) dune famille déléments deTest un élément deT.

Un espace topologique est un couple(E,T)oùEest un ensemble etTune topologie surE. Les éléments deTsont appelés les ouverts, ou les parties ouvertes, deE.

Exemple 1.2.

1. Sur un ensembleE

, il existe toujours deux topologies " extrêmes » : la topologie discrèteT d =P(E)et la topologie grossièreT g =∅,E. Un espace muni de la topologie discrète (respectivement grossière) est dit discret (respectivement grossier).

2. Un ensemble à deux élémentsE=a,bpeut être muni de quatre topologies différentes :

T g=∅,E,T 1 =∅,a,E,T 2 =∅,b,E,T d =∅,a,b,E.

3. SurR, l"ensemble formé de∅,Ret des intervalles de la forme]a,b[, n"est pas une topologie,

car la propriété 3 nest pas véri"ée. En revanche, lensemble formé de∅,Ret des réunions

quelconques dintervalles de la forme]a,b[est bien une topologie surR. Sauf mention contraire,Rsera toujours muni de cette topologieT

u appelée topologie usuelle. Nous verrons dans lexemple 1.17 que cest la topologie associée à la relation dordre total. Définition 1.3. (Fermé).Un fermé (ou une partie fermée) de(E,T)est une partie deEdont le complémentaire dansEest un ouvert de(E,T). "mathL3" - 2009/5/19 - 13:48 - page 6 - #23

Partie I. Topologie

6

Exemple 1.4.

1. Pour la topologie grossière, les fermés sont∅etE. Pour la topologie discrète, toute partie

deEest à la fois ouverte et fermée.

2. Avec les notations de lexemple 1.2, les fermés deT

1 sont les éléments deT 2 et inversement.

3. Sur(R,T

u ), les fermés sontR,∅et les réunions d"intervalles[a,b]. En particulier, les sin- gletons sont fermés.

Attention

Être ou ne pas être ouvert ou fermé?

Une erreur grossière mais malheureusement fréquente est de dire qu"une partie est fermée

car elle nest pas ouverte, ou réciproquement. Cest faux : tous les cas sont possibles! Toute

partie dun espace discret est à la fois ouverte et fermée. Sur(R,T u ),]0,1[est ouvert et non fermé;[0,1]est fermé et non ouvert et]0,1]n"est ni ouvert, ni fermé. Dans un espace topologique(E,T)quelconque,Eest à la fois ouvert et fermé.

Remarque.Une topologie peut aussi être définie par l"intermédiaire de ses fermés. En effet, on

véri"e facilement que, pour quune partieFdeP(E)soit l"ensemble des fermés d"une topologie, il faut et il sut quelle véri"e les conditions suivantes :

1.∅F,EF.

2. Lintersection ("nie ou in"nie) dune famille déléments deFest un élément deF.

3. La réunion de deux éléments deFest un élément deF.

La topologie, cest-à-dire lensemble des ouverts, est alors lensemble des complémentaires des

éléments deF.

Attention

Intersections d"ouverts et réunions de fermés Par définition, les ouverts sont stables par réunion quelconque et par intersection finie. Les fermés sont stables par intersection quelconque et par réunion "nie. Cependant, une intersection quelconque douverts nest pas toujours ouverte et une réunion quelconque de fermés nest pas toujours fermée. Pour sen convaincre, on retiendra les deux exemples suivants sur(R,T u nN ]1/n;1/n[=0et nN [1/n,1]=]0,1]. Comme pour les structures algébriques, il est naturel de se demander si une topologie sur un ensembleEpermet de définir sans ambiguïté une topologie sur une partie deE.Laproposition

suivante montre que la réponse est positive pour toute partie dun espace topologique. Il est à

noter que, dans le cas algébrique, ce nest pas toujours le cas : par exemple, toute partie dun

groupe nest pas nécessairement un sous-groupe. Définition 1.5. (Topologie induite).Soient(E,T)un espace topologique etAunepartiede

E. On vérifie immédiatement que l"ensemble

T A =OAOT est une topologie surA. On l"appelle topologie induite surAparT. Lorsque aucune précision

nest donnée, on considère toujours quune partie dun espace topologique(E,T)est munie de

la topologie induite parT. "mathL3" - 2009/5/19 - 13:48 - page 7 - #24 7

Chapitre 1. Espaces topologiques

Remarque.Les ouverts de la topologie induite surApar la topologie deEsont donc les intersections des ouverts deEavecA. Par passage au complémentaire, on vérifie facilement que les fermés deAsont aussi les intersections des fermés deEavecA. Exemple 1.6.L"intervalle[0,1[est un ouvert de[0,2]muni de la topologie induite parT u car[0,1[=]1,1[[0,2]et]1,1[T u .Noterque[0,1[est aussi un fermé de[1,1[muni de la topologie induite parT u car[0,1[= [0,4][1,1[avec[0,4]fermé de(R,T u ). En revanche, [0,1[n"est ni ouvert ni fermé dans(R,T u

Attention

L"exemple 1.6 montre que, lorsqu"on utilise les adjectifs ouvert et fermé, il faut toujours

préciser lespace topologique de référence. Toutefois, lorsquil ny a quun seul espace de

référence possible, et donc aucune ambiguïté, on se permettra de ne pas le préciser. Définition 1.7. (Partie discrète).Une partieAdeEest dite discrète lorsque la topologie induite surAest la topologie discrète, c"est-à-dire lorsqueT A =P(A). Il est naturel de comparer deux topologies données sur un même ensemble. Définition 1.8. (Topologie plus ou moins fine).SoientEun ensemble,TetT deux topologies surE. La topologieTest dite plus fine queT lorsqueT

Tet moins fine queT

lorsqueTT Remarque.On prendra d"une part garde au caractère apparemment contradictoire de ces

termes : la topologie la plus "ne est la plus grosse du point de vue de linclusion, mais elle décrit

plus "nement les propriétés de lespace considéré, puisquelle a plus douverts. Dautre part, il

est important de noter que la relation dordre " être plus "ne que» nest pas totale. Par exemple,

avec les notations de lexemple 1.2,T 1 n"est ni plus fine, ni moins fine queT 2 Exemple 1.9.La topologie discrète est la topologie la plus fine que l"on peut définir sur un ensemble; la topologie grossière est la topologie la moins "ne. La proposition suivante montre quune application peut transporter une structure topologique de son ensemble darrivée à son ensemble de départ.

Proposition 1.10.SoientEun ensemble non vide,(E

,T )un espace topologique etfune application deEdansE . L"ensembleT=f 1 (O )O T est une topologie surE, appelée limage réciproque deT parf.Onlanotef 1 (T

Preuve.La preuve est immédiate grâce aux propriétés de stabilité de la réunion et de l"inter-

section par image inverse.n

Test 1.1.

Montrer queAest discrète si et seulement si

tout singleton deAest ouvert dansA.

Test 1.2.

L"image directe d"une topologie par une appli-

cation est-elle une topologie? "mathL3" - 2009/5/19 - 13:48 - page 8 - #25

Partie I. Topologie

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I.2.Bases de topologie

Dans les situations concrètes, les topologies sont souvent dé"nies à partir dautres structures

déjà présentes (par exemple, une distance sur un espace métrique). Ce paragraphe formalise ce

type de construction. Proposition 1.11.SoientEun ensemble non vide etTunensemblenonvidedetopologies surE. L"intersection des éléments deTest une topologie surE. De plus, pour toute partie AP(E),on définitT(A)comme l"ensemble des topologies qui contiennentA.On conclut

alors queT(A)possède un plus petit élément qui est l"intersection des éléments deT(A).

Preuve.SoitTl"intersection des éléments deT. Comme∅etEsont dans chaque élément deT, ils sont aussi dansT.Si(O i iI est une famille d"éléments deT,chacundesO i est dans chaque topologie deT, donc la réunionO= iI O i est aussi dans chaque topologie deT, doncOT.SiO 1 etO 2 sont des éléments deT, ils appartiennent à chaque topologie deT, donc leur intersection appartient aussi à chaque topologie deT,doncàT. Les propriétés de la dé"nition 1.1 sont donc véri"ées,Test une topologie surE. L"ensembleT(A)est non vide, puisquil contient la topologie discrèteP(E). L"intersectionTdesélémentsdeT(A)est donc une topologie surEet elle contientA,doncTT(A).IlestclairqueTest le plus petit

élément deT(A).n

Définition 1.12. (Topologie engendrée).SoientEun ensemble etAun ensemble de parties deE. L"intersection de toutes les topologies qui contiennentAest appelée topologie engendrée parA. C"est la topologie la moins fine surEqui contient l"ensemble de partiesA.

En général, la description des éléments d"une topologie engendrée par un ensemble de partiesA

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