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  • Comment montrer qu'une partie est fermée ?

    Une partie F est fermée si et seulement si toute suite convergente dans E et à valeurs dans F est convergente dans F . l'élément x qui n'est pas dans F . F = f ?1 ([0 ;+?[)= {x?E,f (x)? 0 } est un fermé et il en est de même de Z = f ?1({0 })= {x?E,f (x)= 0} .

  • Quels sont les fermes de r ?

    Un fermé de R est le complémentaire d'un ouvert : F est un fermé si l'ensemble des nombres réels qui n'appartiennent pas à F est un ouvert.

    R est un fermé ;une intersection de fermés est un fermé ;la réunion d'une famille finie de fermés est un fermé.

  • Comment montrer qu'une boule fermée est un fermé ?

    pour montrer que toute boule fermée de (E,d) est une partie fermée, on montre que toute boule fermée Bf(x,r)={y?E;d(x,y)?r} est le complémentaire d'un ouvert dans (E,d).
  • Un intervalle fermé, comme {a}, [a, b], [a, +?[, ] ? ?,b], ] ? ?, +?[, est fermé. Exemples extrêmes : ? et R sont `a la fois ouverts et fermés.

Espaces complets. Exemples et applications.

1 Espaces complets

1.1 Suites de Cauchy

Définition 1.1.Soit(E,d)un espace métrique. Une suite de points(xn)n?NdeEest unesuite de Cauchysi ?ε >0,?N?N,?p > q > N, d(xp,xq)< ε

Remarque.-Une suite con vergenteest de Cauc hy;

une suite de Cauc hyest b ornée; une suite de Cauc hya yantau moins une v aleurd"adhérence est con vergente. Proposition 1.2([Ska p. 107]).Soitdetd?deux distances uniformément équivalentes deE. Alors toute suite deEest de Cauchy dans(E,d)si et seulement si elle est de Cauchy dans(E,d?). Cela est en particulier vrai lorsquedetd?sont équivalentes. Définition 1.3.On dit qu"un espace métrique(E,d)estcompletsi toute suite de Cauchy deEconverge dansE. Un espace vectoriel surRouCnormé complet s"appelle unespace de Banach. Si de plus la norme est issue d"un produit scalaire, on parle alors d"espace de Hilbert. Proposition 1.4.Toute série normalement convergente d"un espace de Banach est uni- formément convergente.

Absolue convergence?Exemple.SiAest une algèbre de Banach, alors pour tout élémentadeA, la série

e a=?∞n=0ann!est bien définie.

1.2 Exemples

Proposition 1.5.Rest complet.

Proposition 1.6.SoitEetFdeux espaces vectoriels normés, siFest complet alors L c(E,F)est complet pour la norme triple. l"espace(Lp(Ω),|| ||p)est de Banach. 1 Théorème 1.8.SoitXun espace topologique etEun espace complet, alors l"ensemble des fonctions continues surXà valeurs dansE,C(X,E)muni ded∞(d∞(f,g) = sup x?Xd(f(x),g(x))) est complet. De même pour l"ensemble des fonctions bornées deX dansE,(B(X,E),|| ||∞). Proposition 1.9.PourΩun ouvert deC, l"ensemble des fonctions holomorphes surΩ, H(Ω)est complet pour le topologie de la convergence sur tout compact. Proposition 1.10.SoitXun espace métrique compact. Alors l"ensemble des homéo- morphismes deXest complet pour la distanceδ(f,g) =d∞(f,g) +d∞(f-1,g-1). Proposition 1.11.A[[X]]est complet; c"est le complété deA[X].

2 Propriétés des espaces métriques complets et applica-

tions

2.1 Propriétés générales

Proposition 2.1.Toute sous-partie complète d"un espace métrique est fermée. Récipro- quement tout fermé d"un espace complet est complet. Proposition 2.2.Soit(E1,d1),...,(En,dn)des espaces métriques. L"espace métrique E

1×...×Enest complet si et seulement si pour touti, l"espace métrique(Ei,di)est

complet. Exemple.ToutK-espace vectoriel de dimension finie, avecK=RouC, est complet. Théorème 2.3(Fermés emboités).Soit(E,d)un espace métrique complet et soit (Fn)n?Nune suite décroissante de fermés non vides deE, telle quelimn→∞δ(Fn) = 0 (oùδ(Fn)désigne le diamètre deFn). Alors il existex?Etel que∩n?NFn={x}.

Application.Bolzano-Weierstrass.

Théorème 2.4.Une espace métrique est compact si et seulement si il est précompact et complet. Application.Ascoli, équivalence des définitions de compacité, enveloppe convexe com- pacte rel compacte... Théorème 2.5(Complété d"un espace métrique).Soit(E,d)un espace métrique. Il

existe un espace métrique complet(ˆE,ˆd)et une injection naturelle isométriquei:E-→ˆEtelle quei(E)soit dense dansˆE.

Exemple.Le complété deQpour la norme usuelle estR. 2

2.2 Théorème de Picard

Théorème 2.6(Picard).Soit(E,d)un espace métrique complet etf:E→Eune application contractante. Alorsfpossède un unique point fixeaet pour toutx0?E, k n1-kd(x1,x0). Théorème 2.7.Soit(X,d)un espace métrique complet etf:X→Xune application ultimement contractante (i.e. dont l"un des itérés est contractant). Alorsfpossède un unique point fixe et pour toutx0?X, la suitefn(x0)converge versa.

Remarque.Cette propriété sert à démontrer le théorème de Cauchy-Lipschitz. Le théo-

rème du point fixe sert aussi à montrer le théorème d"inversion locale, des fonctions implicites... Théorème 2.8.Soit(X,d)un espace métrique complet etLun espace topologique. Soitf:L×E→Econtinue telle que?λ?L, f(λ,.)est contractante de rapportk (indépendant deλ). Pour toutλon noteaλle point fixe def(λ,.), alors l"application

λ→aλest continue.

Remarque.Cté des solutions d"une EDO par rapport aux CI.

2.3 Théorème de prolongement

Théorème 2.9(Prolongement uniformément continu).Soit(E,d)et(F,δ)deux espaces métriques. SoitAune partie dense deEet supposonsFcomplet. Soitf:A→Fune application uniformément continue. Alors il existe une unique fonctiong:E→F uniformément continue telle queg|A=f.

Théorème 2.10(Plancherel).

2.4 Théorème de Baire et applications

Définition 2.11.On appelleGδd"un espace topologique toute intersection dénombrable d"ouverts. Théorème 2.12(Baire).Soit(E,d)un espace métrique complet et(Ωn)n?Nune suite d"ouverts denses dansE, alors? n?NΩnest unGδdense dansE. Proposition 2.13.Un espace vectoriel normé admettant une base dénombrable ne peut

être complet.

Proposition 2.14.la fonction dérivée d"une fonction dérivable deRdansRest continue sur unGδdense. Proposition 2.15.L"ensemble des fonctions partout continues nulle part dérivables forment unGδdense dans l"ensemble des fonctions continues pour la norme infinie. 3 Théorème 2.16(Sunyer y Balaguer).GourdonSoitf?C∞(R,R)tq?x?R,?nx?

N:f(nx)(x) = 0. Alorsfest un polynôme.

Définition 2.17.SoitXun espace métrique compact etf:X→Xcontinue. On dit quefesttransitivesi?x,y?X,ε >0,?z?X,n?N:d(x,z)< ε,d(y,fn(z))< ε. Proposition 2.18.L"ensemble des pointsx?Xdont l"orbite parftransitive est dense est unGδ-dense. transitive, et l"ensemble des points périodiques defest dense.

2.5 Théorèmes de Banach et applications

Théorème 2.19(Banach-Steinhaus).Soit(Ti)i?Iune famille d"opérateurs linéaires continues entre deux espaces de BanachEetF. Ou bien sup i?I||Ti||L(E,F)<∞ ou bien sup i?I||Tix||=∞ pour toutxdans unGδdense deE. Proposition 2.20(Gourdon).SoitEun espace de Banach etFun espace vectoriel. SoitB:E×F→Gune application bilinéaire dont les applications partielles sont continues, alorsBest continue surE×F. Proposition 2.21.La limite simple d"une suite de fonctions linéaires continues est linéaire et continue. Théorème 2.22(Application ouverte).SoitT:E→Fune application linéaire conti- nue surjective entre deux espaces de Banach, alorsTest ouverte. Application.Coercivité/injectivité Skandalis. Théorème 2.23(Isomorphisme de Banach).SoitT:E→Fune appliaction linéaire continue bijective entre deux espaces de Banach, alorsT-1est continue. Théorème 2.24(Graphe fermé).SoitT:E→Fune application linéaire entre deux espaces de Banach, alorsTest continue si et seulement si son graphe est fermé.

Application.Skandalis p. 220.

4

3 Espaces de Hilbert

Définition 3.1.Hilbert

Exemple.L2,?2

Théorème 3.2(Projection sur un convexe fermé).SoitCun convexe fermé non vide d"un espace de Hilbert(H,? | ?). Alors pour toutxdansH, il existe un unique élément y?Ctel que||x-y||=d(x,C). Proposition 3.3.SoitFun sev fermé deHHilbert. Pour toutx?H,pF(x)est l"uniquep?Htqp?Fetx-p?F?. De plus, l"applicationpF:H→Fest linéaire, continue et surjective, etHse décompose en somme directe orthogonaleH=F?F?.

En particulier, un sevFest dense ssiF?={0}.

Théorème 3.4(Hahn-Banach géométrique).SoitHun Hilbert réel. SiAetBsont deux convexes non vides disjoints deH, avecAfermé etBcompact, alors il existe une forme linéairef?H?telle quesupa?Af(a)