[PDF] Chapitre 1 - Espaces métriques

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La notion dedistancea été introduite pour formaliser les propriétés d"une façon de mesurer l"écart entre des

éléments d"un même ensemble; ces propriétés sont modelées sur celles de la longueur d"un vecteur dansR2ou

R 3. Définition 1.1.SoitXun ensemble. UnedistancesurXest une fonctiond:XX![0;+1[satisfaisant les propriétés suivantes :

1.8x;y2X d(x;y) = 0,x=y.

2.8x;y2X d(x;y) =d(y;x).

3.8x;y;z2X d(x;z)d(x;y) +d(y;z).

On dit alors que(X;d)est unespace métrique.

La première des trois propriétés ci-dessus est appeléeaxiome de séparation: elle dit en particulier que

deux points distincts sont nécessairement à distance strictement positive. La deuxième propriété est l"axiome de

symétrie. Enfin, la troisième est appeléeinégalité triangulaire. C"est peut-être la moins intuitive; dansR2, muni

de sa notion usuelle de distance, elle correspond au fait que la longueur d"un côté d"un triangle est toujours

inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Exercice 1.2.Soit(X;d)un espace métrique. Montrer que, pour toutx;y;z2X, on ajd(x;z)d(y;z)j d(x;y).

L"exemple le plus important d"espace métrique estRmuni de la distanced(x;y) =jxyj; plus généralement,

presque toutes les distances que nous rencontrerons proviennent d"unenorme, dont nous rappelons la définition

maintenant. Définition 1.3.SoitXun espace vectoriel surR(resp. surC). UnenormesurXest une fonctionk k:X! [0;+1[satisfaisant les conditions suivantes :

1.8x2Xkxk= 0,x= 0.

2.8x;y2Xkx+yk kxk+kyk.

3.82R(resp.2C)8x2Xkxk=jj kxk.

On dit alors que(X;k k)est unespace normé.

Exercice 1.4.1.Rapp elerla défin itionde la norme euclidienne sur Rn, qui sera notée par la suitek k2.

2.

P ourx= (x1;:::;xn)2Rn, on pose

kxk1=nX i=1jxijetkxk1= max(jx1j;:::;jxnj): Montrer quek k1etk k1définissent des normes surRn. 1 Exercice 1.5.Montrer que, si(X;kk)est un espace normé, alors la fonctiond:XX![0;+1[définie par d(x;y) =kxykest une distance surX.

On dira queddéfinie comme ci-dessus est la distance induite park k. Ce sont les distances avec lesquelles

nous travaillerons principalement; l"ensembleXne sera pas forcément un espace vectoriel tout entier, c"est

pourquoi la remarque suivante sera importante : si(X;d)un espace métrique, etAX, alors la restriction de

dàAmunitAd"une structure d"espace métrique. Exercice 1.6.SoitXun ensemble. On définit une fonctiond:XX![0;+1[en posant

8x;y2X d(x;y) =(

0six=y

1sinon:

Montrer quedest une distance surX, appeléedistance discrète. Définition 1.7.Soit(X;d)un espace métrique,x2Xetr0. On définit :

La boule ouvertede centrexet de rayonrpar

B(x;r) =fy2X:d(x;y)< rg:

La boule ferméede centrexet de rayonrparB(x;r) =fy2X:d(x;y)rg: PourRmuni de la distance usuelle,B(x;r) =]xr;x+r[etB(x;r) = [xr;x+r].

Exercice 1.8.Représenter les boules ouvertes/fermées dansR2pour les distances associées aux normesk k1,

k k

2etk k1de centre(1;0)et de rayon1.

Exercice 1.9.Déterminer les boules ouvertes et les boules fermées d"un ensembleXmuni de la distance

discrète. Proposition 1.10.Soit(X;dX)et(Y;dY)deux espaces métriques. Alorsd1etd1définies pour(x1;y1)et (x2;y2)dansXYpar d

1((x1;y1);(x2;y2)) =dX(x1;x2) +dY(y1;y2)et

d

1((x1;y1);(x2;y2)) = max(dX(x1;x2);dY(y1;y2))

sont des distances surXY. On appellerad1ladistance produitdedXetdY.

Preuve:

Les applicationsd1etd1sont à valeurs dans[0;+1[et satisfont de manière évidente les deux premières propriétés (axiome de séparation et axiome de symétrie). Vérifions l"inégalité triangulaire : soit(x1;y1),(x2;y2)et(x3;y3)dansXY. Alors, d

1((x1;y1);(x3;y3)) =dX(x1;x3) +dY(y1;y3)dX(x1;x2) +dX(x2;x3) +dY(y1;y2) +dY(y1;y3)

=d1((x1;y1);(x2;y2)) +d1((x2;y2);(x3;y3)): On a d X(x1;x3)dX(x1;x2) +dX(x2;x3)max(dX(x1;x2);dY(y1;y2)) + max(dX(x2;x3);dY(y2;y3)); d"où d

X(x1;x3)d1((x1;y1);(x2;y2)) +d1((x2;y2);(x3;y3)):

De même,

d

Y(y1;y3)d1((x1;y1);(x2;y2)) +d1((x2;y2);(x3;y3)):

Ainsi,

d

1((x1;y1);(x3;y3)) = max(dX(x1;x3);dY(y1;y3))d1((x1;y1);(x2;y2)) +d1((x2;y2);(x3;y3)):

2

L"intérêt principal de la notion de distance, pour nous, est de pouvoir formaliser la notion de suites conver-

gentes : une suite(xn)n0converge versxsi et seulement si la distanced(xn;x)tend vers0quandntend vers l"infini. Avec des quantificateurs, on obtient la définition suivante.

Définition 1.11.Soit(X;d)un espace métrique,(xn)n0une suite d"éléments deXetx2X. On dit que la

suite(xn)n0converge versxsi :

8" >09N2N8nN d(xn;x)" ;

c"est-à-dire si : d(xn;x)!n!+10:

Exercice 1.12.Soit(X;d)un espace métrique et(xn)une suite d"éléments deX, qui converge à la fois vers

xetx0. Montrer quex=x0(autrement dit, la limite d"une suite convergente est unique). Exercice 1.13.Soit(X;dX)et(Y;dY)deux espaces métriques. On munitXYde la distance produitd1

définie à la Proposition 1.10. Montrer qu"une suite(xn;yn)n0d"éléments deXYconverge vers(x;y)si, et

seulement si,(xn)n0converge versxet(yn)n0converge versy. Montrer que ce résultat reste vrai si on remplaced1pard1.

Ainsi, dansRnmuni de la distance induite park k1, on retrouve le fait qu"une suite est convergente si et

seulement si chaque suite de coordonnées converge.

A priori, la notion de convergence dépend de la distance considérée surX; mais il arrive que des distances

différentes aient les mêmes suites convergentes. Définition 1.14.SoitXun espace vectoriel, etkk1;kk2deux normes surX. On dit quekk1etkk2sont équivalentess"il existe des constantesm;Mstrictement positives et telles que :

8x2X mkxk1 kxk2Mkxk1:

Exercice 1.15.Montrer que la norme du sup et la norme euclidienne surRnsont équivalentes.

On reverra plus tard le théorème, normalement déjà connu et qu"il est en tout cas sans doute utile d"avoir

en tête, selon lequel toutes les normes surRnsont équivalentes. Cette définition a un analogue pour les distances : Définition 1.16.SoitXun ensemble. Deux distancesd1;d2surXsont diteséquivalentess"il existe des constantesm;Mstrictement positives et telles que :

8x;y2X md1(x;y)d2(x;y)Md1(x;y):

Bien sûr, sid1;d2sont les distances associées à des normes équivalentes, alors elles sont elles-mêmes équiva-

lentes. Cette définition est importante pour nous à cause de la propriété suivante.

Proposition 1.17.SoitXun ensemble etd1;d2deux distances surX. Sid1etd2sont équivalentes, alors une

suite(xn)n0converge dans(X;d1)si et seulement si elle converge dans(X;d2). Autrement dit : deux distances équivalentes ont les mêmes suites convergentes.

Preuve:

Soit deux constantesm;Mstrictement positives telles que :

8x;y2X md1(x;y)d2(x;y)Md1(x;y):

Soit(xn)une suite etxun élément deX. On a alors pour toutn2N, md

1(xn;x)d2(xn;x)Md1(xn;y);

ce qui entraîne que : d

1(xn;x)!n!+10si et seulement sid2(xn;x)!n!+10:

3 Quand on peut considérer des suites, on peut aussi considérer des suites extraites...

Définition 1.18.SoitXun ensemble, et(xn)n0une suite d"éléments deX. Unesuite extraitede(xn)n0est

unesous-suitede la forme(xnk)k0où(nk)k0est une suite strictement croissante d"entiers, ou, de manière

équivalente, de la forme(x'(k))k0, où':N!Nest une fonctionstrictement croissante(il suffit de poser pour

k0,'(k) =nk).

Intuitivement : une suite extraite est obtenue en ne gardant que certains termes de la suite(xn)n0et en

oubliant les autres; par exemple, la suite(x2k)k0est une suite extraite de la suite(xn)n0. Exercice 1.19.Soit':N!Nune fonction strictement croissante. Montrer que pour toutk2Non a'(k)k (et en particulier'(k)tend vers+1!).

Exercice 1.20.Soit(X;d)un espace métrique. Montrer que si(xn)n0est une suite convergente alors toute

suite extraite(x'(k))k0est convergente. La réciproque est-elle vraie? Exercice 1.21.Soit(X;d)un espace métrique et(xn)une suite d"éléments deX. Supposons d"abord que les suites(x2k)et(x2k+1)convergent vers la même limite. Montrer que(xn)est

convergente. Ce résultat reste-t-il vrai si l"on ne suppose pas que les limites de(x2k)et(x2k+1)sont égales?

Montrer que si(x2k),(x2k+1)et(x3k)sont toutes les trois convergentes alors(xn)est convergente. Lemme 1.22.Toute suite de réels admet une sous-suite monotone.

Preuve:

Soit(xn)une suite de réels. Pour cette preuve, on dira qu"un entiernest un pic, si pour toutm > n,

x n> xm. S"il y a une infinité de picsn0< n1< n2< ::: < nk< :::, alors la suite extraite(xnk) est strictement décroissante. Sinon, il existe un entierNtel qu"aucun entiernNn"est un pic. On construit alors par récurrence une suite strictement croissante d"entiers(nk)tel que la sous-suite(xnk)soit croissante : pour l"initialisation, on posen0=N. Supposons que l"on a choisitN=n0< n1< ::: < nk, tel que x n0:::xnk(condition vide sik= 0). CommenkN,nkn"est pas un pic et par conséquent il existenk+1> nktel quexnkxnk+1.

Si on est intéressé plus par la notion de "proximité" induite par une distance que par les valeurs exactes de

la distance, on est amené à la notion d"ouvert :AXest ouvert ssi, dès quea2A, tout point suffisamment

proche deaappartient àA. Autrement dit,Acontient une petite boule non vide autour de chacun des ses

points. Définition 1.23.Soit(X;d)un espace métrique. Une partieAdeXest unouvertsi

8a2A9r >0B(a;r)A:

Une boule ouverte est bien un ouvert! L"ensembleXtout entier et l"ensemble vide;sont des ouverts. Dans

R, muni de la distance usuelle, tout intervalle ouvert est un ouvert (intervalles de la forme]a;b[,] 1;a[,

]b;+1[et] 1;+1[, aveca;b2R). Exercice 1.24.Vérifier qu"une partieAd"un espace métrique est un ouvert si et seulement si

8a2A9n2NB(a;1=n)A:

Exercice 1.25.Vérifier qu"une partieAd"un espace métrique est un ouvert si et seulement si

8a2A9r >0B(a;r)A:

La notion d"ouvert dépend de la distance surX; par contre pour deux distances équivalentes les ouverts

sont les mêmes.

Exercice 1.26.1.Donner un exemple de deux distances sur Rqui ne définissent pas les mêmes ouverts.

4

2.Soit Xun ensemble etd1;d2deux distances équivalentes surX. Montrer qu"une partieAdeXest un

ouvert de(X;d1)si et seulement si elle est un ouvert de(X;d2).

Théorème 1.27.SoitAune partie d"un espace métrique(X;d). Alors,Aest un ouvert si et seulement pour

toute suite(xn)d"éléments deXqui converge vers un élément deA, alorsxnappartient àApour toutn

suffisamment grand.

Preuve:

SupposonsAouvert et considérons une suite(xn)d"éléments deXqui converge versa2A. Comme Aest ouvert, il exister >0tel queB(a;r)A. La convergence de la suite versa, entraîne qu"il existe un entierNtel que pour toutnN,d(xn;a)< r, c"est-à-dire tel que pour toutnN, x n2B(a;r)A. Réciproquement, siAn"est pas ouvert, il existea2Atel que pour toutn2N,B(a;1n+1)6A. On choisit ainsi pour toutn, un élémentxn2B(a;1n+1)nA. Alors aucun élément de la suitexn n"appartient àAmais elle converge versaqui appartient àA.

Définition 1.28.Une partieAd"un espace métrique est unfermési son complémentaireXnAest ouvert.

Une boule fermée est bien un fermé! L"ensembleXtout entier et l"ensemble vide sont des fermés. DansR,

muni de la distance usuelle, tout intervalle fermé est un fermé.

Les fermés sont caractérisés par la propriété suivante : la limite de toute suite convergente d"éléments d"un

fermé est dans ce fermé. Notons que toute propriété des ouverts se traduit, par passage au complémentaire, en

une propriété des fermés.

Proposition 1.29.SoitAune partie d"un espace métrique(X;d). Alors,Aest un fermé si et seulement pour

toute suite(xn)d"éléments deAqui converge vers un élémentxdeX, alorsxappartient àA.

Preuve:

SupposonsAfermé. Soit(xn)une suite d"éléments deAqui converge vers un élémentx. Comme aucunxnn"est dans l"ouvertXnA, (encore moins pour toutnsuffisamment grand), d"après le théorème 1.27,xne peut appartenir à l"ouvertXnAet donc appartient àA.

Réciproquement, siAn"est pas fermé, c"est-à-dire siXnAn"est pas ouvert, alors le théorème 1.27

garantit l"existence d"une suite(xn)d"éléments n"appartenant pas àXnA, c"est-à-dire appartenant

àA, qui converge vers un élément deXnA.

Proposition 1.30.Dans un espace métrique(X;d)donné, 1. si (Oi)i2Iest une famille d"ouverts, alorsS i2IO iest également un ouvert (uneunion quelconqued"ouverts est un ouvert); 2. si O1;:::;Onsont des ouverts, alorsO1\:::\Onest également un ouvert (uneintersection finied"ouverts est un ouvert); 3. si (Fi)i2Iest une famille de fermés, alorsT i2IF iest également un fermé (uneintersection quelconquede fermés est un fermé); 4. si F1;:::;Fnsont des fermés, alorsF1[:::[Fnest également un fermé (uneunion finiede fermés est un fermé).

Preuve:

(1) Soita2S i2IO i, alors il existei02Itel quea2Oi0. CommeOi0est ouvert, il exister >0, tel queB(a;r)Oi0S i2IO i, ce qui permet de conclure. (2) Soita2O1\:::\On, alors pour chaquei2 f1;:::;ng, on aa2Oiqui est un ouvert. Ainsi, pour chaquei2 f1;:::;ng, il existeri>0tel queB(a;ri)Oi. En posantr= min(r1;:::;rn), on en déduit que la boule ouverteB(a;r)est incluse dans chacun desOiet donc queB(a;r)O1\:::\On, ce qui permet de conclure. (3) On aXnT i2IF i=S i2I(XnFi), qui est ouvert par (1). Ainsi,T i2IF iest fermé. (4) On aXn(F1[:::[Fn) = (XnF1)\:::\(XnFn), qui est ouvert par (2), et doncF1[:::[Fn est fermé. 5 Exercice 1.31.1.Donner un exemple d"une in tersectiond"ouv ertsqui n"est pas un ouv ert. 2. Donner un exemple d"une union de fermés qui n"est pas un fermé.

Définition 1.32.Étant donné un espace métrique(X;d), et une partieAX, l"intérieurdeA, dénotéA, est

la réunion de tous les ouverts contenus dansA, c"est-à-dire A=[

O??????

OAO:

Par définition,

Aest un ouvert, est contenu dansA, et il contient tous les autres ouverts contenus dansA:

c"est le plus grand ouvert contenu dansA. Attention,Apeut tout à fait être vide même siAne l"est pas!

Exercice 1.33.SoitAune partie d"un espace métrique(X;d). Montrer que pour toutx2X, on a x2A() 9r >0tel queB(x;r)A:

Définition 1.34.Étant donné un espace métrique(X;d), et une partieAX, l"adhérencedeA, notéeA, est

l"intersection de tous les fermés contenantA, c"est-à-direA=\

F?????

FAF:

Cette fois,Aest un fermé, contientA, et est contenu dans tous les autres fermés qui contiennentA: c"est

le plus petit de tous les fermés contenantA. Exercice 1.35.Soit(X;d)un espace métrique, etAX. Montrer queXnA=XnAet z}|{

XnA=XnA.

Exercice 1.36.Soit(X;d)un espace métrique,AXetx2X. Montrer qu"il existe une suite d"éléments de

Aqui converge versxsi, et seulement si,B(x;r)\A6=;pour toutr >0.

Ceci nous permet d"établir la caractérisation suivante de l"adhérence, qui est fondamentale.

Proposition 1.37.Soit(X;d)un espace métrique,Aune partie deXetx2X. Alorsx2Asi, et seulement si, il existe une suite d"éléments deAqui converge versx.

Preuve:

Supposons qu"il existe une suite d"éléments deAqui converge versx2X. Alors, pour tout ferméF

contenantA, il existe aussi une suite (la même!) d"éléments deFqui converge versx; par conséquent,

xappartient àF. Doncxappartient à tous les fermés qui contiennentA:x2A. Réciproquement, supposons qu"il n"existe pas de suite d"éléments deAqui converge versx2X. Alors, d"après l"exercice??, il doit existerr >0tel queB(x;r)\A=;. Autrement dit,XnB(x;r) est un fermé deX, contenantA, mais auquelxn"appartient pas :x62A.

Exercice 1.38.Déterminer l"intérieur et l"adhérence deQ;[0;1]\Q;]0;1[\Q(dansRmuni de sa distance

usuelle).

Exercice 1.39.Soit(E;k k)un espace vectoriel normé (on considèreEmuni de la distance induite par sa

norme). Soita2Eetr >0. 1. Mon trerq uel"in térieurde la b oulefermée B(a;r)est la boule ouverteB(a;r). 2. Mon trerq uel"adhérence de la b ouleouv erteB(a;r)est la boule ferméeB(a;r). 3. Les deux propriétés ci-dessus son telles vraies p ourtout espace métrique ? Définition 1.40.Soit(X;d)un espace métrique, etAX. On dit queAestdensedansXsiA=X. Par exemple, il est bien connu queQetRnQsont tous les deux denses dansR.

Avant de passer aux propriétés des fonctions continues, attardons-nous un peu sur un cas fondamental : celui

des ouverts deR, muni de sa distance usuelle. 6quotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

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