[PDF] 3. Théorie de Fredholm Espaces de dimension et codimension finie

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3. Th´eorie de Fredholm

Espaces de dimension et codimension finie

Lemme 3.1.Projection sur un sous-espace de dimension finie.SiEest un sous-espace vectoriel de dimension finie d"un espace norm´eX, il existe un projecteurPcontinu sur

Xtel queP(X) = E.

lin´eaires coordonn´ees sur E; par le th´eor`eme de Hahn-Banach on peut prolonger ces Px=nX j=1x Il est clair que P est continue, et facile de v´erifier que P est une projection de X sur E. Corollaire.SiEest un sous-espace vectoriel de dimension finie d"un espace norm´eX, il existe un sous-espace vectoriel ferm´eY½Xtel queX = E©Y. Preuve. Il suffit de prendre pour Y le noyau de la projection P de X sur E donn´ee par le lemme pr´ec´edent. D´efinition.Un sous-espace vectoriel ferm´e Y½X estde codimension finie dansX si le quotient X=Y est de dimension finie. Lacodimensionde Y dans X est la dimension de l"espace vectoriel quotient X=Y. On la notera codimXY ou simplement codimY si aucune confusion n"est `a craindre. Si X=Y est de dimension finienet si on rel`eve une base (ˆf1;:::;ˆfn) du quotient en des vecteurs (f1;:::;fn) de X, on obtient un syst`eme libre qui engendre un sous-espace vectoriel F de X, de dimension finie ´egale `an= codimY, tel que X = Y©F. Il est clair que dire que X = Y©F, avec F de dimension finied, ´equivaut `a dire que Y est codimension finie ´egale `ad. Notons¼Yla projection canonique de X sur X=Y, qui associe `a chaque vecteurx2X sa classe¼Y(x) modulo Y, c"est-`a-dire

Y(x) =fx+y:y2Yg:

On rappelle que la norme de l"espace quotient X=Y est d´efinie par

8x2X;k¼Y(x)k= inffkx+yk:y2Yg;

ce qui signifie que la norme de la classe est l"inf des normes des ´el´ements de la classe. On va faire quelques remarques simples mais utiles.

1.SiX = Y + FavecFde dimension finie, alorsYest de codimension finie et

codimY·dimF. La codimension deYest·ksi et seulement s"il existeFde dimension

·ktel queX = Y + F.

Si X = Y + F, alors X=Y =¼Y(F), qui est donc un espace de dimension finie·dimF.

2.SiY\F =f0gavecFde dimension finie, alorscodimY¸dimF. La codimension

deYest¸ksi et seulement s"il existeFde dimensionktel queY\F =f0g. 20 Si Y\F =f0g, la projection¼Yest injective sur F, donc l"image¼Y(F) a la mˆeme dimension que F et dimX=Y¸dimF.

3.Codim dans codim : siZest de codimensionkdansYetYde codimension`

dansX, alorsZest de codimensionk+`dansX. On peut ´ecrire X = Y©E et Y = Z©F, avec E et F de dimensions finies ´egales aux codimensions respectives; alors la relation X = Z©(E©F) montre que codim

XZ = codimYZ + codimXY:

4.L"intersection d"un sous-espace ferm´eZavec un sous-espace de codimension finie

Yest de codimension finie dansZ.

L"image¼Y(Z) est de dimension finie, donc admet une base (ˆf1;:::;ˆfd), qu"on rel`eve en (f1;:::;fd) dans Z; on pose F = Vect(f1;:::fd), et on constate que Z = (Z\Y)+F. En effet, siz2Z on ´ecrit¼Y(z) =Pcjˆfj, et on voit quez¡Pcjfjest dans Z\Y.

5.L"intersectionZ\Yd"un sous-espace de dimension infinieZ½Xavec un sous-

espaceYde codimension finie dansXest de dimension infinie. On a vu que Z\Y est de codimension finie dans Z, donc Z = (Z\Y)©F, avec dimF< +1; il n"est pas possible que Z\Y soit de dimension finie, puisque dimZ = +1.

Projection deY + FsurF

On suppose que Y est un sous-espace ferm´e d"un espace norm´e X, et F un sous-espace de dimension finie tel que Y\F =f0g. On a

±= minfdist(f;Y) :f2SFg>0

car la sph`ere unit´e de F est compacte et disjointe du ferm´e Y. On en d´eduit par ho- mog´en´eit´e ky+fk ¸±kfk pour tousf2F,y2Y. La projection naturelle P de Y+F sur F, d´efinie par P(y+f) =f, est donc de norme·±¡1, et la projection Id¡P de Y + F sur Y est alors de norme

·1 +±¡1, c"est-`a-dire que

ky+fk ¸±(1 +±)¡1kyk pour tousf2F,y2Y. Si¼Fd´esigne la projection de X sur X=F, on a donc pour tout y2Y (Q

F)k¼F(y)kX=F¸±(1 +±)¡1kyk:

Lemme.SiYest un sous-espace ferm´e d"un espace norm´eXetFun sous-espace de dimension finie, la sommeY + Fest ferm´ee dansX. Preuve. Supposons d"abord que Y\F =f0g; supposons qu"une suite (yn+fn)½Y+F tende vers un vecteurx2X. Soit P la projection (continue) de Y + F sur F; la suite (yn+fn) est born´ee puisque convergente versx, donc son image (fn) par P est born´ee dans F. Par Bolzano, on trouve une sous-suite (fnk) qui tend vers unf2F, et par diff´erence y nconverge aussi, vers uny2Y puisque Y est ferm´e. Finalement,x=y+f2Y + F. Dans le cas g´en´eral, on ´ecrit F = (F\Y)©F1et on constate que Y + F = Y + F1 avec Y\F1=f0g. 21

Plongements

A partir de maintenant il est important de supposer que les espaces X et Y consid´er´es sontcomplets. D´efinition.On dira que T2 L(X;Y) est unplongementde X dans Y s"il existe une constantec >0 telle que

8x2X;kTxk ¸ckxk:

Il est clair que les op´erateurs proches de T v´erifient encore la propri´et´e, mais pour

unc0< cvoisin dec: par l"in´egalit´e triangulaire, on aura pour toutx2X k(T + S)xk ¸ kTxk ¡ kSxk ¸(c¡ kSk)kxk ce qui montre que T

0= T + S est encore un plongement sikSk< c.

L"image par un plongement T de tout sous-espace ferm´e de X est ferm´ee dans Y (utiliser le caract`ere complet de Y au moyen de la remarque suivante : si T est un plonge- ment, une suite (Txn) est de Cauchy dans Y si et seulement si (xn) est de Cauchy dans

X; si on n"avait pas suppos´e X complet, la propri´et´e d"image ferm´ee serait ´evidemment

fausse : penser au plongement isom´etrique d"un espace norm´e non complet dans son compl´et´e). On peut remarquer que T est un plongement si et seulement s"il n"existe pas de suite (xn)½X de vecteurs de norme 1 telle que Txn!0 : si T n"est pas un plongement, il n"existe aucune constantec >0 v´erifiant la d´efinition de plongement, c"est `a dire que pour toutnil existe un vecteurxn2X tel quekTxnk<2¡nkxnk; en multipliantxn par un scalaire>0, on peut se ramener `a une suite (xn)½X de vecteurs de norme 1, telle que Txn!0. L"implication inverse est ´evidente. En particulier, un endomorphisme T2 L(X) est un plongement si et seulement si 0 n"est pas valeur propre approch´ee de T.

Stabilit´e de la codimension de l"image

Lemme 3.2.SiTest un plongement deXdansYet si la codimension deT(X)dans Y(finie ou infinie) est¸k, il en est de mˆeme pour les op´erateursT0voisins deT. SiTest un plongement et si la codimension deT(X)dansYest finie ´egale `ak, il en est de mˆeme pour les op´erateursT0voisins deT. SiTest un plongement et si la codimension deT(X)dansYest infinie, il en est de mˆeme pour les op´erateursT0voisins deT. Preuve. Si la codimension de T(X) dans Y est¸k, l"espace quotient Y=T(X) est de dimension¸k; on peut trouver un sous-espace de dimensionkdans le quotient, le relever en F½Y tel que T(X)\F =f0g; alors la projection¼Fest un plongement de T(X) sur T(X)=F d"apr`es l"in´egalit´e (QF), ainsi que¼F±T par composition ´evidente, k¼F(Tx)k ¸±(1 +±)¡1kTxk ¸±(1 +±)¡1ckxk; il en est de mˆeme pour les voisins T

0de T (car alors¼F±T0est voisin de¼F±T); en

particulier¼F±T0est injectif quand T0est voisin de T, donc F\T0(X) =f0get par cons´equent codimT

0(X)¸k.

22
Si la codimension de T(X) dans Y est =k, on aura Y = T(X)©F et¼F±T sera un isomorphisme de X sur Y=F; ceci passe aux voisins T0et donne le r´esultat voulu.

Soit T un plongement tel que codim

YT(X) = +1; soit B une boule ouverte dans

L(X;Y), centr´ee en T et de rayon assez petit pour que tous ses ´el´ements soient des

plongements; pour chaque entierk, l"ensemble des op´erateurs S2B v´erifiant l"in´egalit´e

codimS(X)¸kest ouvert dansL(X;Y) d"apr`es ce qui pr´ec`ede, ainsi que l"ensemble des S tel que codimS(X) =k. Il en r´esulte que l"ensemble des S2B tels que codimS(X) =k est aussi ferm´e dans B (son compl´ementaire est form´e de l"ouvert codim¸k+ 1 et des ouverts codim =j,j < k). Par la connexit´e de B, chacun de ces ensembles codim =k est vide ou ´egal `a B. Si codimT(X) est infinie, aucun de ces ensembles n"est ´egal `a B : ils sont donc tous vides, et B est enti`erement form´ee d"op´erateurs avec codim = +1. Faute de mieux, on adoptera ici la terminologie suivante. D´efinition.On dira que T2 L(X;Y) est unpresque-plongementde X dans Y s"il existe un sous-espace de codimension finie X

1½X et une constantec >0 tels que

8x2X1;kTxk ¸ckxk:

Il est clair que les op´erateurs proches de T v´erifient encore la propri´et´e, avec le mˆeme

sous-espace X

1mais pour unc0< cvoisin dec.

Si T est un presque-plongement, l"image de tout sous-espace ferm´e de X est ferm´ee dans Y : si Z est un sous-espace ferm´e de l"espace X

1de la d´efinition, il est clair que

T(Z) est ferm´e; en effet, toute suite de Cauchy (yn) dans T(Z) peut s"´ecrireyn= Txn avec (xn)½Z½X1, donc kxm¡xnk ·c¡1kTxm¡Txnk tend vers 0 avecm;n; la suite de Cauchy (xn) converge vers unx2Z puisque Z est complet, etyn= Txnconverge vers Tx2T(Z). Si Z est un sous-espace ferm´e quelconque, on ´ecrit Z = (Z\X1)©F avec F de dimension finie, puis T(Z) = T(Z\X1) + T(F) est ferm´e comme somme d"un sous-espace ferm´e et d"un sous-espace de dimension finie. Il est clair que le noyau N de T est de dimension finie, puisqu"il ne peut pas rencontrer le sous-espace X

1de codimension finie; si on choisit un suppl´ementaire X2de ce noyau,

on verra que la restriction de T `a X

2est un plongement. En effet, on pourra ´ecrire

X

2= (X2\X1)©F, avec F de dimension finie; d´esignons par P la projection continue

de la somme (X

2\X1)©F sur F; si la restriction de T `a X2n"est pas un plongement,

il existe une suite (xn)½X2de vecteurs de norme 1, telle que Txn!0. On peut supposer, en passant `a une sous-suite, que Pxnconverge vers un vecteurf2F; puisque x n¡Pxn2X1et que Txn¡TPxntend vers¡Tf, on en d´eduit que (xn¡Pxn) est de Cauchy, donc converge vers un vecteurz2X2\X1, et (xn) converge vers le vecteur x=z+f2X2, tel quekxk= 1 et Tx= 0; ceci contredit X2\N =f0g. Remarque.On peut voir que T est un presque-plongement si et seulement si l"image de T est ferm´ee et le noyau de dimension finie : on vient de voir un sens; pour le sens inverse, appliquer le th´eor`eme des isomorphismes de Banach (l"argument sera repris plus bas dans la premi`ere proposition sur les op´erateurs de Fredholm). 23

Op´erateurs de Fredholm

D´efinition.Soient X;Y deux espaces de Banach; on dit que T2 L(X;Y) est un op´erateur de Fredholms"il existe un sous-espace ferm´e X1½X de codimension finie, tel que la restriction de T `a X

1soit un isomorphisme de X1sur Y1= T(X1), et que

codim YT(X1)<+1. Autrement dit : on a codimXX1<+1, codimYT(X1)<+1et il existe une constantec >0 telle que

8x2X1;kTxk ¸ckxk:

La quantit´e

codim

XX1¡codimYT(X1)

ne d´epend pas du choix de X

1; on l"appellel"indicede T, qui est not´e ind(T).

L"ind´ependance de l"indice par rapport au choix de X

1est facile `a prouver si X2est

un autre choix avec X

2½X1; dans ce cas on peut ´ecrire X1= X2©E avec dimE<+1,

et T(X

1) = T(X2)©T(E). Comme T est injectif sur X1et que E est contenu dans X1,

on a dimT(E) = dim(E) et codim XX2¡codimYT(X2) = (codimXX1+ dimE)¡(codimYT(X1) + dimT(E)): Dans le cas g´en´eral on passera par l"interm´ediaire de l"espace X

3= X1\X2, qui est de

codimension finie. Remarque.Dans le langage du pr´ec´edent paragraphe, un op´erateur de Fredholm est un presque-plongement dont l"image est de codimension finie. Les op´erateurs de Fredholm ont donc les propri´et´es des presque-plongements : le noyau est de dimension finie, tout sous-espace ferm´e de X a une image T(X) ferm´ee dans Y. Proposition.Un op´erateurT2 L(X;Y)est de Fredholm si et seulement si son noyau est de dimension finie et son image ferm´ee de codimension finie. On a dans ce cas ind(T) = dimker(T)¡codimYT(X): Preuve. Supposons que T soit Fredholm au sens de la d´efinition ci-dessus; puisque T est un presque-plongement, on sait que dimkerT est finie, et on sait que l"image T(X) est ferm´ee; de plus, T(X) est de codimension finie dans Y puisque T(X

1) est d´ej`a de

codimension finie. Inversement, supposons kerT de dimension finie et T(X) ferm´e de codimension finie. D"apr`es le lemme 3.1, on peut trouver X

1ferm´e tel que X = X1©kerT; alors

T(X

1) = T(X) est un espace de Banach, et TjX12 L(X1;T(X)) est une bijection continue.

D"apr`es le th´eor`eme des isomorphismes de Banach, la bijection inverse est continue, donc T

1est un isomorphisme de X1sur T(X1). L"indice calcul´e avec ce choix de X1est ´egal `a

codim

XX1¡codimYT(X1) = dimker(T)¡codimYT(X):

24

Exemples.

1. Le shift S2 L(`2(N)) est une isom´etrie dont l"image est l"hyperplan ferm´e de`2(N)

constitu´e des vecteursx= (xn)n2Ntels quex0= 0. On voit que S est un op´erateur de

Fredholm, et ind(S) = 0¡1 =¡1.

L"adjoint S

C"est un fait g´en´eral : si T2 L(H1;H2) est de Fredholm, son adjoint est de Fredholm et ind(T

2. L"op´erateurf!f00est un op´erateur de Fredholm de C2(0;1) dans C(0;1). Il est

clairement surjectif et son noyau est de dimension 2 (fonctions affines). Pour un presque-plongement g´en´eral, l"image est ferm´ee dans Y mais elle peut ˆetre de codimension infinie. On dit dans ce cas que T estsemi-Fredholm, d"indice g´en´eralis´e ´egal `a¡1. On a aussi des semi-Fredholm d"indice +1, dont l"image est ferm´ee de codimension finie, mais le noyau de dimension infinie. Si T est Fredholm ou semi-Fredholm d"indice¡1, cela signifie exactement que T est un presque-plongement; il existe un sous-espace ferm´e X

1de codimension finie tel

que la restriction de T `a X

1soit un plongement; on sait que les voisins T0de T sont

aussi des plongements sur X

1, et codimYT0(X1) = codimYT(X1) d"apr`es le lemme 3.2.

Les voisins de T ont donc le mˆeme indice (g´en´eralis´e) que T.

Perturbations des op´erateurs de Fredholm

Proposition 3.3.Sit2[0;1]!Tt2 L(X;Y)est un chemin continu de[0;1]dans l"espace norm´eL(X;Y), et si chaqueTtest semi-Fredholm, alors l"indice est constant.

Preuve. C"est clair puisque l"indice g´en´eralis´e (qui est partout d´efini sur [0;1] d"apr`es

l"hypoth`ese) est localement constant. Lemme.Pour tout op´erateur compactT2 L(X;Y)et pour tout" >0, il existe un sous-espaceX1de codimension finie tel quekTjX1k ·".

Preuve. Consid´erons le compact K =

T(B

X)). Pour chaquey2K, on trouve par Hahn-

y

02K tels queky0k< "+j»y(y0)jest un voisinage ouvert dey. Par compacit´e, on peut

recouvrir K par un nombre fini de tels ouverts. On peut s´electionner ainsi un ensemble

On choisit pour X

25
Lemme.SiT2 L(X;Y)est un presque-plongement et siS2 L(X;Y)est compact, la sommeT + Sest un presque-plongement.

Preuve. On a un sous-espace X

1de codimension finie sur lequel T est un plongement,

c"est-`a-dire qu"il existe une constantec >0 telle que

8x2X1;kTxk ¸ckxk;

et on a un sous-espace X

2de codimension finie sur lequel S est de norme< c=2; par

l"in´egalit´e triangulaire, T + S est un plongement de constantec=2 sur X1\X2, qui est de codimension finie dans X. Th´eor`eme.SiT2 L(X;Y)est Fredholm etS2 L(X;Y)compact, la sommeT + Sest

Fredholm, de mˆeme indice queT.

Preuve. On passe de T `a T + S en suivant le chemin continuu!T +uS,u2[0;1]. Tous les ´el´ements sont semi-Fredholm par le lemme pr´ec´edent, et on conclut par la proposition 3.3.

Illustration.

1.Si'est une fonction continue¸0 sur [0;1], l"op´erateur T :f!f00¡'fest

surjectif de l"espace X form´e des fonctions de classe C

2sur [0;1], nulles en 0 et en 1, sur

l"espace Y = C([0;1]). On voit quef!f00est un isomorphisme de X sur Y, donc Fredholm d"indice 0; on montre que l"injection de X dans Y est compacte par le th´eor`eme d"Ascoli (les ´el´ements de la boule unit´e de X v´erifientjf00j ·1 etjf0j ·1 sur [0;1]), doncf!'fest compact de X dans Y. L"op´erateur T propos´e est donc Fredholm d"indice 0. Mais T est injectif car Z 1 0 (Tf)(t) f(t)dt=Z 1

0¡f00(t)¡'(t)f(t)¢

f(t)dt=¡Z 1

0¡jf0(t)j2+'(t)jf(t)j2¢dt

ne peut ˆetre nul que sif= 0. Il en r´esulte que T est surjectif.

2.On va g´en´eraliser en deux dimensions. Consid´erons l"espace H2des fonctionsf

de deux variables de la forme f(x;y)»X m;n2Zc m;neimxeiny pour lesquelles on suppose que kfk2=X m;n2Z(1 +m2+n2)2jcm;nj2<+1; la fonctionf! kfkd´efinit une norme d"espace de Hilbert sur H2. L"op´erateur L :u! ¡Δu+"u, avec" >0, agit sur les polynˆomes trigonom´etriques par X m;nc m;nemen!X m;n("+m2+n2)cm;nemen: 26

D"apr`es la d´efinition de la norme de H

2, il est clair que cet op´erateur est born´e de H2

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