[PDF] Fiche de révision1 : Les nombres réels

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Première Année MI-À distance

Module : Analyse1

Fiche de révision1:

Les nombres réels

2020
-2021

Réalisé par :

Mme Belkacem .K,

Mme Touil .A,

et Mme Merzougui .L. République Algérienne Démocratique Et Populaire

Université de Mustapha Ben Boulaid -Batna 2

Faculté de Mathématiques et informatique

Département du socle commun Mathématiques et Informatique

Dans la première partie de cette fiche, nous

allons mettre le vocabulaire principal introduit dans ce chapitre et dans la 2ème partie, nous présentons un rappel sur les nombres réels avec des exemples illustratifs. La 3ème partie est Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Table des matières

I In terprétationen arab edes principaux termes Mathématiqu esin troduitdans ce c ha- pitre3 II

Rapp elsur les nom bresréels

6 1

Les ensem blesusuels de nom bres6

2

Axiomes des nom bresréels 6

3 Rapp elsur le v ocabulairede base (ma jorant,minoran t,ensem bleb orné,maxim um,minim um,b orne supérieure et borne inférieure)8 III

En trainements12

4 Exercice corrigé 1 (Application de la propriété d"Arc himèdedans R)12 5

Exercice corrigé 2 (V aleurabsolue) 12

6

Exercice corrigé 3 (P artieen tière)13

7

Exercice corrigé 4 13

8 Exercice corrigé 5 (Sous ensem bled"un ensem bleb orné) 1 4 9 Exercice corrigé 6 (Union de deux ensem blesb ornés) 15 10 Exercice corrigé 7 (In tersectiond edeux ensem blesb ornés) 1 7 11 Exercice corrigé 8 (Calcul min, max, sup et inf ) 1 8 12 Exercice corrigé 9 (Calcul min, max, inf et sup) 2 0 13 Exercice corrigé 10 (Calcul du max, min, sup, inf ) 23
14 Exercice corrigé 11 (Ensem bleminoré, ma joréet b orné) 25
15 Exercice corrigé 12 (Ensem bleb orné,calc ulde sup, inf, max, min) 27
16 Exercice corrigé 13 (L"insuffisance des nom bresirrationnels) 30
2 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Première partie

Interprétation en arabe des principaux termes

Mathématiques introduit dans ce chapitre

3 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Le cours€PYË@

TD (Travaux Dirigés)

B@RappelQ

»YKSérie d"exercices

áK

×Introduction

éÓY®ÓThéorème

éK

Q¢Axiome

éÒʂÓProposition

éJ "¯Hypothèse éJ

“Q¯Définition

K

QªKRemarque

é¢kCÓOn remarque, on constate

¡kCKExempleÈA

JÓConclusion

éj.J

KPropriété

éJ

“AgLemme

J£ñKOn note

QÓQKNotation

Q

ÓQKOn distingue

Q

éËAgDans ce cas

éËAmÌ'@ èYë ú

¯Ci-dessusèC"

@Ci-dessousèA KX @RespectivementI

KQË@ú

Î"C"est à dire (c-à-d)ú

@Exercice áK áK

QÒJË@ ‘QuestionÈ@

ñƒRéponseH

.@ñk.SolutionÉm

Ì'@Montrer que

@I.K @Démontrer que

K.Démonstration

àAëQK.Prouver que

K.Preuve

HAJ.K@

,àAëQK.Vérifier que @‡®m'Vérification

‡®m',‡J

®m'JustifierPQK

.,ÉÊ"JustificationQK

Q.K ,ÉJ

ʪKDéterminerXYg

TrouverYg

@CalculerI .‚k @Opération éJ

ÊÔ"Usuelle

AÓAddition©Ô

g.MultiplicationH .Qå•CorpsÉ

®kCommutatifú

ÎK

YJ.KTotalement ordonnéAJ

Ê¿ I.KQÓPartiellement ordonnéAJ

KQk.I.KQÓRelation

é¯C"OrdreI

KQKRéflexive

éJ

ƒA¾ªK@Antisymétrique

éK

Q£AJK Y“Transitive

éK

YªJÓPartieZ

Qk.Non videÈA

gQ "Soit, Soient

áºJ

ËOn dit que

@ Èñ®KOn considèreQ .JªKAussiA @Pour toutÉ¿ Ég @áÓDonc, alors@ X@

MajorantúÎ

B@áÓ XAgMinorantú

GX

B@áÓ XAgUniqueYJ

kðAppartenirù

ÒJK

Ensemble borné

èXðYm×é"ñÒm.×Ensemble borné inférieurementú GX Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Déduirei

.JJƒ@Déductionh .AJJƒ@répondez par vraie ou fauxB ð @ ѪK H.I.k. @Les nombres réels éJ ®J

®mÌ'@ X@Y"

B@Ensemble

é"ñÒm.×MuniXð

QÓEnsemble borné supérieurementúÎ

B@áÓèXðYm×é"ñÒm.×Maximum (max)Qå"

J"Q.»

@Minimum (min)Qå"

J" Qª“

@Borne supérieure (sup)úÎ @ YgBorne inférieure (inf)ú GX @ Yg.Propriété de la borne supérieureúÎ

B@ YmÌ'@éJ

“AgCaractérisation de la borne supérieureúÎ

B@ YjÊËèQ

“AmÌ'@5

Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021.

Deuxième partie

Rappel sur les nombres réels

1

Les ensem blesusuels de n ombres

On rappelle les notations usuelles pour les ensembles de nombres : -Nest l"ensemble desentiers naturels positifsf0;1;2;:::::g. -Zest l"ensemble desentiers relatifsf::::;2;1;0;1;2;:::::g. -Qest l"ensemble desrationnelles, i.eQ=fab ;a2Z;b2Nf0gg. -Rreprésente l"ensemble desnombres réelset l"on a les inclusions suivantes :NZ Q R. L"ensem bleRn Qest appelé l"ensemble desirrationnelles. P ourc hacunde ces ensem bles,l"a joutdu signe signifie que l"on exclut0de l"ensemble :N;Z;QetR. 2

Axiomes des nom bresréels

On sait que :

i) L"ensem bledes réels Rest muni des opérations usuelles et internes : l"addition+: (x;y)2R27!x+y2Ret la multiplication: (x;y)2R27!xy2R constitueun corps commutatif, c"-à-d : 1) L"addition et la m ultiplicationson tcomm utatives:

8x; y2R:x+y=y+x et xy=yx:

2) L"addition et la m ultiplicationson tasso ciatives:

8x; y z2R:x+ (y+z) = (x+y) +z et x(yz) = (xy)z:

3) L"addition admet un élémen tneutre 0tel que : x+ 0 =x;8x2R: et la multiplication admet un élément neutre1tel que : x1 =x;8x2R: 4)

P ourtout x2R, il existex0=x2Rtel que :

x+x0= 0: et six6= 0, il existex=1x tel que : x:x = 1: 5) La m ultiplicationest distributiv epar rapp ortà l"addition :

8x; y; z2R:x(y+z) =xy+xz:

ii)

Il y a une relation d"ordre total sur R:Rmuni de la relation usuelle "inférieur ou égal" est totalement

ordonné. C"est à dire la relationvérifie les propriétés suivantes :

1.est réflexive :

En effet; pour toutx2R; xx.

2.est antisymétrique :

En effet; pour toutx;y2R, sixyetyx, alors,x=y.

3.est transitive :En effet; pour toutx;yetzdansR, sixyetyz, alorsxz.

4. De plus, p ourtout x;y2R, on a ou bienxy, ou bienyx(les éléments deRsont tous comparables). iii) 6 Première Année à distance-module : Analyse 1. S1.Année : 2020-2021. Théorème 2.1.(Propriété d"Archimède) RestArchimédien: pour toutx;y2Ravecx >0; il existen2Ntel que :nx > y. iv)

Définition 2.2.(Valeur absolue d"un réel)

Soitx2R. On définit la valeur absolue dex, notéejxj, par : jxj=xsix0; xsix0: Proposition 2.3.(Propriétés de la valeur absolue d"un réel) (a)

Pour tout x2R, on a :

jxj 0,jxj=j xj,jxj x,jxj x,jxj= max(x;x)etjxj= 0,x= 0. (b)

Pour tout x;y2R, on a :

jxyj=jxjjyj,jxj () x+;(0),jxj jyj jx+yj jxj+jyjetjxj jyj jxyj jxj+jyj. v) Définition 2.4.(Partie entière d"un réel)

Soitx2R,le plus grand entier inférieur ou égal àxs"appellela partie entière dex. Nous le noteronsE(x)

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