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PCSI 1 - 2015/2016 www.ericreynaud.fr

Chapitre 18

Nombres réels.

1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés

2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison

5 Exercices

1

Chap 18Nombres réels.

Et s"il ne fallait retenir que cinq points?1.Savoir déterminer le sup, l"inf, le min et le max d"un sous-ensemble d"un ensemble

ordonné. a)

Si on arriv eà déterminer le max ,a vecla métho ded up ointsuiv ant,alors le sup est le max.

Sinon, il faut :Conjecturer la valeurMdu sup

Montrer queMest un majorant

Considérer un autre majorantM0et montrer queM0M b)

Si le sup a é tédéterminé a vecla mé thodeprécéden te,il sut de r egardersi le sup est dans

l"ensemble. Si c"est le cas c"est un max. Si le sup n"a pas été déterminé, on cherche un majorant

qui se trouve dans l"ensemble. S"il en existe un, c"est forcément le max.

2.L"axiome de la borne supérieure.

SurRTout sous ensemble non vide et majoré admet une borne supérieure Tout sous ensemble non vide et minoré admet une borne inférieure SurZTout sous ensemble non vide et majoré admet un maximum Tout sous ensemble non vide et minoré admet un minimum SurNTout sous ensemble non vide et majoré admet un maximum

Tout sous ensemble non vide admet un minimum

SurRTout sous ensemble admet une borne supérieure

Tout sous ensemble admet une borne inférieure

A noter qu"il n"existe pas de théorème de ce style surQ.

3.Autres propriétés deR.

a) b) Le caractère arc himédiende R:?a,b?R+,?n?N, nab c) Les parties con vexesd eRsont exactement les intervalles. Ainsi pour montrer qu"un sous- ensemble deRest un intervalle, on montre qu"il est convexe. d)

Les propriétés sur la pa rtieen tière:

ii.[x+n] = [x]+nsinest un entier. A noter que[x+y]?= [x]+[y]; de même[xy]?= [x][y] 1

4.Densité dansR.

a) Bien connaître la dénition d"un sous-ens embledense de R:Aest dense dansRsi et seulement si pour tout intervalle]x,y[deR, il existeadansA\]x,y[. b)QetRnQsont denses dansR. c) Si Aest dense dansRalors tout réel est limite d"une suite deA. 2

Chap 18Nombres réels.

Plan du coursI. Axiome de la borne supérieure........................................................2

1/ Rappels sur les éléments remarquables d"un ensemble ordonné................2

2/ Comment en est-on arrivé aux réels?............................................ 2

3/ L"axiome de la borne supérieure surR........................................... 2

4/ Caractérisation pratique de l"axiome de la borne supérieure...................2

5/ L"axiome de la borne supérieure surZ: théorème du plus grand élément.... 3

6/ L"axiome de la borne supérieure surR........................................... 3

7/ Pas d"axiome de la borne supérieure surQ.......................................3

II. Autres propriétés deR.................................................................3

1/ La fonction valeur absolue......................................................... 3

2/ Distance surR, forme des boules..................................................4

3/ Le caractère Archimédien..........................................................4

4/ Partie entière........................................................................4

5/ Intervalles deRet convexité.......................................................5

III. Structure de corps et relation d'ordre.............................................5

1/ Le corpsR........................................................................... 5

2/ Compatibilité deavec les opérations........................................... 6

3/ Exemples de majoration/minoration............................................. 6

IV. Relations entreR,QetD............................................................ 6

1/ Instabilité des irrationnels par + et............................................6

2/ Approximation des réels par des décimaux.......................................6

3/ Densité deRnQ,QetDdansR.................................................. 6

1

Chap 18Nombres réels.

Questions de cours1. Donner la dénition d"une relation d"ordre, d"une relation d"ordre totale, d"une rela-

tion d"ordre partielle, ainsi que trois exemples.(I)

2. Soit (E,) un espace ordonné etAune partie deE. Donner la dénition de majorant

deA, minorant deA, borne supérieure deA, borne inférieure deA, maximum deA et minimum deA.(I)

3. Rappeler l"axiome de la borne supérieure dansR, ainsi que les propriétés similaires

si elles existent surZ,Q,R (I)

4. Rappeler l"inégalité triangulaire ainsi que l"inégalité triangulaire inversée. (II)

5. Donner la dénition d"une distance sur un ensembleE. Quelle est la distance usuelle

surR? surC?(II)

6. Rappeler la propriété d"Archimède, puis la dénition de la partie entière et fraction-

naire d"un nombre réel.(II)

7. Montrer que :8x2R;8n2N;[x+n] = [x] +n. Est-ce vrai pourndansR? (II)

8. Rappeler la dénition d"un convexe deRn. Que peut-on dire sur les convexes deR? (II)

9. Donner la dénition d"un ensemble dense dansR, puis donner la caractérisation d"un

sous ensemble dense deRavec les suites. Nommer 3 sous-ensembles denses deR.(IV)

10. Montrer que la somme d"un rationnel et d"un irrationnel est un irrationnel.

Montrer que le produit d"un rationnel et d"un irrationnel est nul ou est un irrationnel. Montrer que le produit ou la somme de deux irrationnels peut être rationnel ou irrationnel.(IV) 1

Chap 18Nombres réels.

Exercices typesExercice 1 - Opérations et bornes supérieures. Partie I. Caractérisation de la borne supérieure dansR.

SoitEun sous ensemble deR.

1.

Mon trerque :

M=Sup(E)???Mest un majorant

2. Énoncer une propri étésimilaire p ourla b orneinfé rieure.

Partie II. Borne supérieure et opérations.

SoitAetBdeux parties non vides et bornées deR. On notera

AB=fab?R/(a,b)?ABg

oøpeut désigner+,-,. De plus on notera : -A=f-a?R/ a?Ag

Montrer que :

1.sup(A+B) =sup(A) +sup(B).

2.sup(-A) =-inf(A).

3.sup(A-B) =sup(A)-inf(B).

4. Si AR+etBR+alorssup(AB) =sup(A)sup(B). Que se passe-t-il si A ou B ont une partie négative?

Exercice 2 - Le seul morphisme de corps deR: l"identité.Soitfune application deRdansR, non nulle vériant pour toutxetydeR:8<

:f(x+y) =f(x) +f(y) f(xy) =f(x)f(y) f(1) = 1 Un telle application est appelée un morphisme de corps deR. 1.

Mon trerque : ?p?Z, f(p) =p.

2.

Mon trerque : ?p?Z,?q?N, q:fpq

=f(p). 3.

En déduire que : ?x?Q,f(x) =x.

4. Mon trerque : f(R+)R+. En déduire quefest croissante. 5. En utilisan tla de nsitéde QdansR, montrer quef=Id 6. Existe-t-il sur Cd"autres morphismes de corps que l"identité? 1

Chap 18Nombres réels.

Exercices"Rien n"est plus semblable à l"identique que ce qui est pareil à la même chose.

P. Dac.Vrai - Faux

Exercice 1.

Déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : 1. T outepartie non vide de Nadmet une borne inférieure. 2. T outepartie non vide et ma joréede Qadmet une borne supérieure.

3.Ent(-4,8) =-4

4. 5. Soien tfetgdes applications bornées deF(I,R)oøIest un intervalle deR, alors : Sup x?I[f(x) +g(x)] =Sup x?If(x) +Sup x?Ig(x) 6. T outepartie non vide de Radmet une borne supérieure. 7. L"in tervalle]1,2]n"a pas de plus petit élément.

8.?x,y?R, E(x) +E(y) =E(x+y)

≥1y

10.?x?R+,⎷x?R\Q.

11.Qest un corps commutatif.

12. T outin tervallede Rnon vide et non réduit à un point contient une innité de rationnels et d"irrationnels.

13.?x?R,|x|=Max{-x,x}

14. La somme de deux irratio nnelsest un irrationn el. 15. La somme d"un irrationnel et d"un rationnel e stun irrationnel. 16. Le pro duitd"un irratio nnelet d"un rationn elest un irrationnel . 1

Niveau 1

Exercice 2.

Soientaetbdeux réels tels quea > b >0. Les parties de suivantes deRsont-elles minorées, majorés?

Existe-t-il une borne supérieure? inférieure? un max? un Min?

1.{a+bn / n?N}

2.{a+b(-1)n/ n?N}

3.{a+bn

/ n?N?}

4.{(-1)na+bn

/ n?N?}

5.{a+b(-1)nn

/ n?N?}

Exercice 3.SoitAune partie deRtelle queSup(A)>0. Montrer queAcontient un élément strictement positif.

Exercice 4.Soitfune application deAdansR. On noteSup(f),Inf(f),Min(f),Max(f)les valeurs si elles existent deSup(f(A)),Inf(f(A)),Min(f(A)),Max(f(A)). De mêmefest dite majorée, minorée, bornée si et seulement sif(A)l"est. 1.

Mon trerque la fo nctionde ]0,1]dansRdénie par

f(x) = sin?1x est bornée. DéterminerSup(f)etInf(f). 2.

Déterminer, s"ils e xistent,Max(f)etMin(f)

Exercice 5.Déterminer les périodes de la fonctionχQ.

Exercice 6.Montrer que :

2.?a,b?R+,?|a-b| ≥???⎷a-⎷b

1. 2.

Si de plus, A?B=R, montrer quesup(A) =inf(B)

2

Niveau 2

Exercice 8.

SoitEun sous-ensemble deRnon majoré et non minoré vériant?x,y?E,x+y2 ?E. Montrer que

Eest dense dansR.

Exercice 9.Montrer que :?x?R,?n?Z?,?[nx]n

= [x]

Exercice 10.Montrer que pour toutndeZ, on a :

n3 +?n+ 26 +?n+ 46 =?n2 +?n+ 36

Exercice 11.Soitfetgdes applications continues deRdansRégales surQ. Montrer qu"elles sont égales surR.

Exercice 12.Pour toutndeN?, calculer la sommeS=n

k/1? ⎷k .Niveau 3

Exercice 13.

Montrer que :?n?Z,?x?R,n-1?

k/0? x+kn = [nx] Exercice 14.Montrer que pour toutaietbideR,i? {1,...,n}, on a : ?n? i/1a ibi? 2 n? i/1a 2i?? n? i/1b 2i? 3

Exercice 15.

Déterminer les applications continues deRdansRqui conservent la distance usuelle deR(C"est-à-dire

que la distance entre deux points est la même que la distance entre les images de ces points). Exercice 16.Soitfetgdes applications bornées deIdansR. 1.

Mon trerque Sup

x?I|f(x)|existe. On note cette borne supérieure?f?∞. 2. 3. Mon trerque : ?λ?R,?λ.f?∞=|λ|?f?∞.

Exercice 17.SoitEune partie non vide deRnetA,Bdes points deRn. On rappelle que si-→u(x1,...,xn)alors

?-→u?=?x

21+x22+...+x2n

1. Mon trerque d(A,B) =?--→AB?est une distance surRn 2. Mon trerque {d(A,M)/ M?E}a une borne inférieure notéed(A,E). 3. 4. 5.

On se place à présen tdans le cas oø n= 1. Les points sont donc des réels. Déterminerd(x,E)

selon les valeurs dexpourE= [a,b],E=]a,b[,E=Z,E=Q.

RExercice 18.On se propose de montrer dans cet exercice que toute application croissantefde[0,1]dans[0,1]admet

un point xe, c"est à dire qu"il existexdans[0,1]tel quef(x) =x. Considérons donc une applicationcroissantefde[0,1]dans[0,1]et le sous-ensembleEde[0,1] déni par : 1. Mon trerque Eadmet un borne supérieure que l"on notera parM. 2.

Mon trerque f(M)est un majorant deE.

3.

En déduire que Mappartient àE.

4.

Mon trerque f(M)est également dansE

5.

Conclure que f(M) =M

6. Mon trerque ce th éorèmeest faux si on rempla ce"croissan te"par "décroissan te". 4

Chap 18Nombres réels.

Quelques exercices corrigés??

RExercice 18.On se propose de montrer dans cet exercice que toute application croissantefde[0,1]dans[0,1]admet

un point xe, c"est à dire qu"il existexdans[0,1]tel quef(x) =x. Considérons donc une applicationcroissantefde[0,1]dans[0,1]et le sous-ensembleEde[0,1] déni par : 1. Mon trerque Eadmet un borne supérieure que l"on notera parM. 2.

Mon trerque f(M)est un majorant deE.

3.

En déduire que Mappartient àE.

4.

Mon trerque f(M)est également dansE

5.

Conclure que f(M) =M

6. Mon trerque ce th éorèmeest faux si on rempla ce"croissan te"par "décroissan te".

1.L"ensembleEest non vide car il contient par exemple 0 puisquef(0)est dans[0,1]et est majoré

par 1. Il admet donc une borne supérieure.

3.CommeMest le plus petit des majorants deEet commef(M)est un majorant deE, on a

f(f(M))et donc quef(M)est dansE.

6.Il sut de considérer la fonctionf(x) = 1sur[0,1/2]etf(x) = 0sur]1/2,1].

1

Chap 18Nombres réels.

Devoir maisonProblème - Non existence de l"axiome de la borne supérieur dansQCet exercice va permettre de montrer que l"axiome de la borne supérieure dansQn"existe pas. Consi-

dérons l"ensemble :

On veut montrer queAest non vide, majoré et pourtant ne possède pas de borne supérieure dansQ.

1. Mon trerque Aest non vide et possède un majorant dansQ(Attention, le majorant doit être dansQet pas dansR). 2. Supp osonsque Aadmette une borne supérieure dansQque l"on notera notonss(s?Q).

Montrer ques2?= 2.

3. On supp oses2<2. Montrer quesn"est pas un majorant de A. 4. Soit Bun sous ensemble quelconque deR, montrer que :

M=Sup(B)???Mest un majorant deB

5. En déduire que si s2>2alorssne peut être la borne supérieure. 6.

Conclure

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